具有内生监控技术的最优激励契约

在信息论中，一位被定义为二元随机变量的最大信息熵。导致低效率的问题是标准的。根据激励相容性约束和有限责任约束，从代理人处获得高回报的最优激励合同（简称最优激励合同）可最大限度地降低高回报下的总实施成本：minhP，w（·）iXA∈PP（A）w（A）+u·H（P，1）s.t.（IC）和（LL）。在下文中，我们将指出hP针对上述问题的解决方案*, w*（·）i.2.2监控成本我们首先在呼叫中心绩效管理的背景下说明假设1：示例1。在第1节所述的示例中，一段性能数据包括以二进制数字编码的呼叫历史的主要特征（例如，客户情绪和语音质量），监控技术表示将二进制数字分类为性能评级的语音分析程序。为了使设计灵活性正式化，我们允许监控技术将性能数据划分为任意N个≤ K类，其中K可以是大于1的任何整数。假设运行监控技术的成本随着处理信息的数量而增加，信息的定义因情况而异。例如，如果监控技术在许多相同的数据中多次运行，那么优化设计应尽量减少查找包含原始数据点的性能类别所需的平均步骤。到目前为止，众所周知，这个量大约等于输出信号的熵。相比之下，如果监测技术仅对少数代理运行几次，则最坏情况下（或未摊销）的处理信息量最好由输出信号携带的信息位捕获（参见Cover和Thomas（2006））。

在这两种情况下，我们感兴趣的数量只取决于输出信号的概率分布，而不是其他。接下来，我们将介绍设置成本的概念，并将其与监控成本的概念区分开来：示例1（续）。顾名思义，安装成本是指建立便于数据处理和分析的基础设施所产生的成本，例如快速傅立叶变换（FFT）芯片（将声波转换为二进制编码的主要特征）、记录设备等。。设置成本的主要作用是改变概率空间(Ohm, ∑，Pa）。例如，FFT芯片的设计改进能够更频繁地对声波和原因进行采样(Ohm, ∑，Pa）更改。在下面的内容中，我们将采用给定的概率空间，忽略设置成本。这就是说，我们当然可以将我们的分析嵌入到两个阶段的设置中，其中本金首先产生设置成本，然后产生监控成本。以下结果将保留到此新设置。3分析3.1预览示例2。假设u（w）=√w、 Z均匀分布在[-对于某些严格递增函数f：{1，···，K}，在a=1和H（P，a）=f（| P·）下的1/2，1/2]→R+。下面我们将介绍解决最优激励合同的关键步骤，给出封闭形式的解决方案，并讨论其实际含义。最优工资方案正如Holmstrom（1979）所述，我们首先求解任何给定监控技术P的最优工资方案。具体而言，将性能类别标记为A、·····、AN，并将πn=P（AN）和zn=z（AN）写入n=1、····、n。对于某些j、k，假设zj6=ZK∈ {1，···，N}使分析有趣。校长的问题是thenmin{wn}NXn=1πnwn，s.t.NXn=1πn√wnzn公司≥ c、 （IC）和wn≥ 0，n=1，···，n。

（LL）直接代数给出了最小激励成本的表达式：cNXn=1πnmax{0，zn}！-仔细检查可以发现Holmstrom（1979）的有效统计原则，即zvalue是绩效数据中唯一为代理人提供激励的部分。优化监控技术我们接下来解决的是优化监控技术。首先，请注意，委托人应仅根据其z值划分绩效数据，不同的绩效类别必须获得不同的z值和工资。原因是将有效的统计原则与假设1（b）相结合，即合并相同z值的绩效类别可以节省监控成本，同时不影响激励成本，从而构成对原始监控技术的改进。一个更有趣的问题是，我们应该如何将由z值确定的各种数据点分配给不同的性能类别。在以单一代理和二元效应为特征的基线模型中，这个问题的答案是相对的直截了当：将高（或低）z值分配给高工资（或低工资）类别。这是对这一结果的一个快速证明：由于（IC）约束的左侧是工资和z值的超模，如果我们的猜测是错误的，那么在保持绩效类别概率不变的情况下重新设置上述数据点可以减少激励成本，同时保持监控成本不变。当将上述直觉扩展到具有多个代理或多个动作的一般设置时，我们面临两个挑战。首先，在z值和wagesar是向量的情况下，排序这些对象的方向在先验上是不明显的。

其次，排序算法的变化通过激励约束的拉格朗日乘数内在地影响工资，产生使用标准方法难以评估的新影响。第3.3节中提出的证明策略克服了这些挑战，表明将拉格朗日乘数加权z值分配给性能类别必须在代理实用程序的方向上是正的。几何上，这意味着任何最佳监控技术都必须包含z值空间或其变换中的凸单元。定理1、3和5将上述陈述形式化。影响最佳监控技术的一个重要特征是信息聚合，人力资源从业者使用该术语来指将潜在的高维绩效数据聚合为排名有序的评级，如“满意”和“不满意”最佳监测技术的几何结构揭示了第3.4、4.3和5.1节中涉及的实际问题。例如，考虑最佳性能网格。在当前示例中，可以显示最优的N分区监控技术划分了空间[-z值的1/2，1/2]到N个不相交区间[bzn-1，bzn），n=1，···，n，其中bz=-1/2，bzN=1/2。最优割点{bzn}N-1n=1可按如下方式求解：min{bzn}cNXn=1πnmax{0，zn}！-1.- u·f（N），其中πN=Zbznbzn-1dZ=bzn- bzn公司-1，andzn=πnZbznbzn-1ZdZ=（bzn-1+bzn）。直代数yieldsbzn=2n- 14牛顿- 2，n=1，··，n-1、根据这一结果以及f的函数形式，我们可以求解最优评级量表N，从而完全得到最优激励契约。3.2主要结果本节分析最优激励合同。下面的结果是正确的，除了测量零数据点集。

同样的免责声明也适用于本文的其余部分。我们首先定义Z-凸性：定义1。A组A∈ ∑是Z-凸的，如果以下条件适用于所有ω，ω∈ Z（ω）6=Z（ω）：{ω∈ Ohm : Z（ω）=（1）- s） ·Z（ω）+s·Z（ω）对于某些s∈ (0, 1)}  A、 换句话说，A集A∈ ∑是Z-凸的，如果每当它包含不同Z值的数据点时，它还必须包含中间Z值的所有数据点。设Z（A）表示任意集合A的图像∈ ∑在映射Z下。在其中Z(Ohm) 是R中的一个连通集，上述定义等价于R中Z（A）的凸性。在我们详细讨论之前，先做一些假设。下一个假设是Z的分布没有原子或空穴：假设2。Z在连通集Z上无原子分布(Ohm) 在R中，A=1。下一个假设是Z(Ohm) 是R中的紧集：假设3。Z(Ohm) 是R中的一个紧集。下一个假设对监控成本函数施加了规则性：其中（a）部分表示输出信号所携带的信息位，而（b）部分表示输出信号的熵：假设4。功能h：K→ R+满足以下条件之一：（a）h（π（P，a））=某些严格递增函数f（| P |）{1，···，K}→ R+；（b） h是连续的。我们现在陈述我们的主要结果。下一个定理表明，任何最优激励契约都会将高（或低）z值的数据点分配给高（或低）工资类别。在假设2中，这可以通过首先将z值划分为不相交的区间，然后相应地取消原始数据空间的分区来实现。其结果是将潜在的高维数据聚合到按等级排序的评级中，以及在这些评级中严格增加的工资方案：定理1。

假设假设1，让hP*, w*（·）我是任何能从代理人那里获得高度回报的最佳激励合同。然后是P*包括标记为A、···、An的Z凸单元，其中0=w*（A） <···<w*（AN）。此外，假设2。然后存在inf Z(Ohm) = bz<bz<···<bzN=sup Z(Ohm) 这样an={ω：Z（ω）∈ [bzn-1，bzn）}对于n=1，···，n。在假设2下，（有限）切割点集的测度为零，因此切割点所属的两个相邻区间并不重要。选择将所有间隔表示为右半开的间隔纯粹是出于美学考虑。下一个定理证明了最优激励契约的存在性：定理2。在假设1-4下，最佳激励合同可从代理商处获得高回报。证据见附录A.1.3.3证明草图定理1的证明包括三个步骤。示例2中已经讨论了步骤1和步骤2的直觉。第三步是新的。第一步，我们首先采用给定的任何监控技术，并解决Holmstrom（1979）中的最优工资方案：minw:P→R+XA∈PP（A）w（A）s.t.（IC）和（LL）。（3.1）下一个引理重申了Holmstrom（1979）的有效统计原理：引理1。让w*（·；P）是问题的任何解决方案（3.1）。然后存在λ>0，使得u（w*（A；P））=1/（λz（A）），对于所有A∈ P使w*（A；P）>0。证据见附录A.1。第二步，我们接下来演示不同的绩效类别必须获得不同的z值和工资：引理2。假设假设1。让hP*, w*（·）我是任何最佳的激励合同，可以从代理人那里获得高回报，并标记P*作为A，···，ANsuchthat z（A）≤ ··· ≤ z（AN）。然后z（A）<0<···<z（AN），0=w*（A） <···<w*（AN）。证据见附录A.1。第三步，我们最终证明将z值分配到工资类别是正分类的。

在示例2中，我们勾画了一个基于超模性的证明，并指出了将该论证扩展到多维环境的困难。下面的论点克服了这些困难。采取任何具有不同绩效类别的最佳激励合同。从引理2中，我们知道z（Aj）6=z（Ak）。修复任何 > 0，拿anyA Ajand A公司 AK使P（A) = P（A) =  和z（A) = z6=z（A) = z、 换句话说，A和A具有相同的概率 在a=1的情况下，但不同的z值独立于. 附录A.1.1引理3证明了安达什么时候 很小。考虑对“交换”a的监控技术的干扰和A.在扰动之后，新的性能类别由()’s、 变得成熟() = （Aj\\A) ∪A., Ak公司() = （Ak\\A) ∪A.和() = anf对于n 6=j，k。由于扰动对a=1下性能类别的概率没有影响，因此它不会影响假设1（a）下的监测成本。同时，它将主体的拉格朗日变换为以下（忽略（LL）约束）：L() =Xnπn（wn() - λ()u（wn()) zn）+λ() c、 式中，πndente表示()) a=1时，wn()最佳工资(), 和λ() 与（IC）约束关联的拉格朗日乘子。

对拉格朗日函数的仔细检查会导致以下猜测：最小化L(), 拉格朗日乘数加权z值对绩效类别的分配必须在代理效用的方向上是正组合的。为了发展直觉，我们假设差异性，并得到l（0）=Xnπnwn（0）- λ（0）Xnπnu（wn（0））zn（0）- c！|{z}（1）=0- λ(0)Xnπn·u（wn（0））zn（0）{z}（2）=1/λ（0）·wn（0）+Xnπnu（wn（0））zn（0）=Xnπnwn（0）- 0-Xnπnwn（0）- λ（0）Xnπnu（wn（0））zn（0）=- λ（0）Xnπnu（wn（0））zn（0）=λ（0）（z- z） （u（wk（0））- u（wj（0）））。在上面的表达式中，（1）=0，因为（IC）约束在原始契约下绑定，并且（2）=1/λ（0）通过引理1。这些发现解决了我们在第3.1节中提出的担忧，表明我们的扰动对拉格朗日乘数和工资的影响可以忽略不计。要完成证明，请注意L（0）≥ 因为λ（0）>0，z6=zand wj（0）6=wk（0）（引理2）。组合得到L（0）>0，所以我们的猜测确实是真的。Z-凸性是即时的：如果performancecategory包含极端的Z-值，但不包含中间的Z-值，则Z值的分配方向错误，可以构建改进。上述证明策略产生了将原始数据排序为性能类别的内生方向，这在基线模型中相对简单，但在以后的扩展中就不那么简单了。附录A.1中的证明没有假设差异，也处理了有限责任约束。3.4含义严格的MLRP定理1意味着，任何最佳监测技术产生的信号必须满足严格的单调似然比特性（此处为严格的MLRP），关于z值引起的顺序：定义2。对于任何A，A∈ 积极措施的∑，写Az Aif z（A）≤ z（A）。推论1。

信号X：Ohm → P*由任何最佳监控技术生成*满足有关Z的严格MLRP, i、 e.任何A、A∈ P*满足Az Aif且仅当z（A）<z（A）时。而任何监测技术产生的信号都很容易满足关于z的弱MLRP （即，将“<”替换为“≤” 在推论1）中，如果有多个性能类别达到相同的Z值，则违反了严格的MLRP。相比之下，任何优化监测技术产生的信号必须满足关于z的严格MLRP, 因为合并相同z值的绩效类别可以节省监控成本，同时不影响激励成本。比较静态参数u捕获影响数据处理和分析（机会）成本的因素。降低u的因素包括但不限于：90年代基于IT的人力资源管理系统的出现、语音分析的进步、计算能力的提高等。。为了便于比较静态分析，我们将任何最佳激励合同的选择写为hP*（u），w*（·；u）i使其对u的依赖明确化：命题1。固定任何0<u<u。对于hP的任何选择*（u），w*（·；u）i和HP*（u），w*（·；u）i：（i）XA∈P（u）P（A）w*（A；u）≤XA公司∈P（u）P（A）w*（A；u）；（ii）H（P*(u) , 1) ≥ H（P*(u) , 1);（iii）| P*(u)| ≥ |P*（u）|根据假设4（a）。证据第（i）部分来自P的最优性*（u）和P*(u). 第（ii）和（ii）部分是直接的。命题1表明，随着数据处理和分析变得更便宜，校长平均支付的工资更少，输出信号所携带的信息变得更丰富。如果监测成本是评级量表的递增函数（参见Hook、Jenkins和Foot（2011）），则最佳评级量表以u为单位不递增。

对于熵等其他监控成本函数，我们可以首先计算cuto ffz值，然后计算最佳评级量表，如例2所示。图1绘制了在特殊情况下获得的数值解。上述发现与多条经验事实相一致。在其他公司中，事实证明，在保持其他因素不变的情况下，使用IT可以提高制造公司绩效网格的灵活性（Bloom和Van Reenen（2006、2007、2010）；Bloom、Sadun和Van Reenen（2012））。众包对实时数据的处理和分析实现了“精确的个人诊断”，将GE和Zalando等公司的优秀表现与平庸表现区分开来（Ewenstein、Hancock和Komm（2016））。一般来说，这不是一项容易的任务，因为cuto fff z值的扰动（与第3.3节中考虑的扰动不同）通过激励约束的拉格朗日乘数内生地影响工资。有关性能网格的完整性的调查问题，请参见Bloom和Van Reenen（2006、2007）的附录，例如：。，“每个员工都会被授予红灯（表现不佳）、数灯（表现良好并达到目标）、绿灯（始终达到目标，表现非常好）和蓝光（表现出色的员工可以晋升到两个级别），”而“奖励是基于个人对公司的承诺，以资历衡量。”23450.0 0.5 1.0 1.5 2.0uP |图1：根据u：熵成本，u（w）绘制最佳评级尺度=√w、 Z~U型[-1/2，1/2]，c=1，K=100.4扩展：多个代理4.1设置两个代理中的每一个i=1，2获得一个PayoffUI（wi）- ci（ai）来自支出非负性工资wi≥ 0和私下施加高或低效率ai∈ {0, 1}.