具有内生监控技术的最优激励契约

直截了当的代数表明zj公司() = zj+z（￠A) - z（A)πj,zk公司() = zk公司-z（yenA) - z（A)πk,锌() = 锌n 6=j，k，（A.10）和thatkz（￠A) - z（A) k≤ kz（yenA)k+kz（A) k≤ 2最大ω∈OhmkZ（ω）k.（A.11）考虑工资福利hwn()iNn=1如此（1）w() = w=0和（2）所有（ICa）约束松弛0() 扰动后，即0≤NXn=1πnu（wn()) za，n() -NXn=1πnu（wn）za，n~ O() 一∈ D.（A.12）仔细检查方程式（A.10）-（A.12）可以发现M>0的存在，当 由于规模非常小，因此存在上述满足| wn()-wn |<米 对于所有n，因此为（LL）约束。写入˙wn=（wn()-wn）/ 和˙zn() = （锌() - 锌）/. 什么时候 是一个很小的扩展方程（A.12），使用u（·）和| wn的二次微分() -wn |~ O()将结果乘以λyieldsNXn=1πn·u（wn）·λ>zn·˙wn() = -NXn=1u（wn）·πn·λ>˙zn() + O() .使用˙w简化() = 0，u（wn）=1/λ> 锌对于n≥ 2（引理6）和方程（A.10）yieldsNXn=1πn˙wn() = s（u（周）- u（wj））λ> z- λ> z+ O() . （A.13）为了了解原因，定义κA=PNn=2πnu（wn）za，nand Sa=nhxniNn=2∈ 注册护士-1： PNn=2xnza，n≥ 每个a的κAo∈ D、 注意hπnu（wn）iNn=2∈ ∩一∈DSa。如果我们无法构建上述工资比例，则存在∈ D使∩a=a，anhxniNn=2∈ 注册护士-1： PNn=2xnza，n≥ κao=nhxniNn=2∈ 注册护士-1： PNn=2xnza，n=κAo，因此za，n=-za，NfN=2，····，n和κa=-κa.与此同时，κa≥ c（a*) - 所有a的c（a）>0∈ D、 从而产生矛盾。微扰（b）重复上述微扰（b）的参数yieldsNXn=1πn˙wn() = -(1 - s） （u（周）- u（wj））λ> z- λ> z+ O() . （A.14）由于引理6中的u（wk）6=u（wj）且λ>z6=λ>zby假设，方程（A.13）和（A.14）的右侧在以下情况下具有相反的符号： 很小。证明的剩余部分与定理1相同，因此省略。A、 3.3定理6的证明。

定义∧=nλ：λ∈ R | D |+和kλk | D |=1o，其中k·k | D |表示| D |维欧氏范数。根据定理5，任何最大N∈ {2，···，K}性能类别由λ完全接受∈ ∧和N- 1切割点bz、···、bzN-1使最小ω∈Ohmλ> Z（ω）≤bz公司≤ ··· ≤ bzN公司-1.≤ 最大ω∈Ohmλ> Z（ω）。Writebz=（bz，···，bzN-1). 定义Zn（λ）=bz：最小ω∈Ohmλ> Z（ω）≤ bz公司≤ ··· ≤ bzN公司-1.≤ 最大ω∈Ohmλ> Z（ω）,用sup范数k·k装备ZN（λ），注意ZN（λ）根据假设3是紧的。对于任何给定对（λ，bz），写出诱导*asW（λ，bz），注意W（λ，bz）存在并且是有限的，当且仅当λa>0表示ALA∈ D和最小ω∈Ohmλ> Z（ω）<bzn<最大ω∈Ohmλ> 对于某些n，Z（ω）。第一个条件是必要的：否则存在∈ D使得za（A）≡ 在（λ，bz）下形成的所有性能类别A中为0，因此将违反（ICa）约束。我们分两步进行。步骤1表明，对于任何给定的N，W（λ，bz）在（λ，bz）中是连续的∈ {2，···，K}。固定任意λ∈ ∧和BZ∈ ZN（λ），使得W（λ，bz）是有限的。W、 l.o.g.考虑bzn都不同的情况。对于非常小的δ>0，设λδ和bzδ为∧和ZN的任意元素λδ, 分别使kλδ- λk | D |，kbzδ-bzk<δ。设πnand zn（分别为πδnand zδn）表示概率（在a=a的情况下*) 和| D |-与性能类别An相关的Z值向量=ω：λ>Z（ω）∈ [bzn-1，bzn）（分别为Aδn=ω：λδ>Z（ω）∈ [bzδn-1，bzδn）), 分别地让Wn表示最佳工资atAn。修复任何 > 0，并考虑支付wn+ 在Aδnif zδA时，对于所有A，n>0∈ D和wn，否则。通过施工，该工资比例满足（LL）约束。

在假设2和3下，当δissmall:limδ时，它满足每个（ICa）约束→0Xnuwn+Ya∈Dzδa，n>0·!πδnzδa，n=Xnuwn+Ya∈Dza，n>0·!πnza，n>Xnu（wn）πnza，n，其中不等式成立，因为对于所有∈ 所以存在n这样的qa∈Dza，n>0=1。要完成防护，请注意LIMδ→0Xnπδnwn+Ya∈Dzδa，n>0·!=Xnπnwn+Ya∈Dza，n>0·!,因此，当δ足够小时，以下公式成立：Wλδ，bzδ- W（λ，bz）≤Xnπδnwn+Ya∈Dzδa，n>0·!-Xnπnwn<.最后，在（λ，bz）和λδ，bzδ在上述推导中，得到W（λ，bz）- Wλδ，bzδ< , 意味着Wλδ，bzδ- W（λ，bz）<  当δ非常小时。步骤2在假设4（a）下，以下数量：WN：=最小λ∈∧，bz∈ZN（λ）W（λ，bz）存在，并且对所有N都是有限的∈ {2，···，K}与∧和zn（λ）的紧性。在假设4（b）下，委托人的问题可以写为：minλ∈∧，^z∈ZK（λ）W（λ，bz）+u·h（π（λ，bz）），其中π（λ，bz）表示在（λ，bz）下形成的概率向量，并且在其参数中是连续的。证明的其余部分与定理2相同，因此省略。B其他扩展B。1个人理性在本附录中，除了代理人受个人理性而非有限责任的约束外，一切都应与基线模型一样：XA∈PP（A）u（w（A））≥ c+u（IR）工资方案为w:P→ R、 而一个能从代理人那里获得高额回报的最优激励合同（简称最优激励合同）在（IC）和（IR）约束条件下，将总实施成本降至最低。推论4。在假设1下，任何诱导药剂产生影响的最佳监测技术都包含Z凸细胞。证据取任意最优激励契约，让hAn，πn，zn，wniNn=1为对应的元组。

在不丧失一般性的情况下，假设z≤ ··· ≤ 锌。步骤1显示z<···<ZN和w<···<wN。给定hAn，πn，zniNn=1isminhwniNXn=1πnwn的工资最小化问题- λNXn=1πnu（~wn）zn- c- γNXn=1πnu（~wn）- （c+u）！，其中λ和γ分别表示与（IC）和（IR）约束相关的拉格朗日乘子。将目标函数与wn进行微分，并将结果设置为零，我们得到u（wn）=λzn+γ。因此，如果zj=zk，对于某些j 6=k，则wj=wk。但是，合并AJA和AK对激励成本没有影响，但通过假设1（b）严格降低了监控成本，这与原始合同的最优性相矛盾。步骤2显示Z-凸性。相反，假设一些aj不是Z凸的。考虑定理1证明中的第一个扰动（a）。接受任何工资比例hwn()iNn=1使得（IC）和（IR）约束在扰动后仍具有约束力，即NXn=1πnu（wn()) 锌() =NXn=1πnu（wn）zn，（B.1）和NXn=1πnu（wn()) =NXn=1πnu（wn）。（B.2）仔细检查方程式（A.1）、（B.1）和（B.2）可以发现M>0的存在，因此当 如果规模足够小，则存在如上所述的工资比例，即| wn() - wn |<米 对于所有n.写入˙wn() = （wn）() - wn）/ 和˙zn() = （锌() - 锌）/, 设λ>0和γ>0分别表示扰动前与（IC）和（IR）约束相关的拉格朗日乘子。利用u（·）和| wn的二次微分展开λ（B.1）+γ（B.2）() -wn |~ O() 当 较小：NXn=1πn·u（wn）·（λzn+γ）·˙wn() = -λNXn=1u（wn）·πn˙zn() + O() . （B.3）要了解原因，请确定κ=PNn=1πnu（wn）zn，κ=PNn=1πnu（wn），S=nhxniNn=1∈ RN：PNn=1xnzn≥ κo和S=nhxniNn=1∈ RN：PNn=1xn≥ κo，注意hπnu（wn）iNn=1∈ S∩S

然后从z<···<zN，可以得出尺寸S∩S=N，并结合方程式（A.1）得出所需结果。使用u（wn）=1/（λzn+γ）和方程（A.1）yieldsNXn=1πn˙wn进行简化() = s（u（周）- u（wj））（λz- λz）。（B.4）考虑下一个扰动（B）。与上述类似的代数运算yieldsNXn=1πn˙wn() = -(1 - s） （u（周）- u（wj））（λz- λz）。（B.5）由于u（wj）6=u（wk）和z6=z，我们必须有sgn（B.4）6=sgn（B.5），证明的剩余步骤与定理1相同。B、 2随机监测技术本附录扩展了基线模型，以涵盖随机监测技术q：Ohm → K将原始数据点映射到K-dimensionalsimplex中的元素。时间演变如下：1。委托人向总部、wi承诺；2、代理人私自选择∈ {0, 1};3、自然绘制ω∈ Ohm 根据Pa；4、监测技术输出n∈ 概率为qn（ω）的{1，···，K}；5、委托人支付承诺工资wn≥ 0、在hq、wi下，如果代理人发挥了较高的效力，则其被分配到绩效类别n，概率πn=Zqn（ω）dP（ω）。定义N={N：πN>0}。对于n∈ N、 definezn=ZZ（ω）qn（ω）dP（ω）/πnas性能类别N的z值。对于N/∈ N、 设wn=0。然后hq、wi与ifXn完全兼容∈Nπnu（wn）zn≥ c、 （IC）在这种情况下，监控成本与高输出条件下的原始数据和输出信号的互信息成比例：H（q，1）=Xn∈NZqn（ω）logqn（ω）Rqn（ω）dP（ω）dP（ω）。最优激励契约hq*, w*一种能从代理人solvesminhq、wiXn处获得高效能的方法∈Nπnwn+u·H（q，1）s.t.（IC）和（LL）。下一个定理给出了最优激励契约的特征：定理7。对于任何最佳激励合同，总部*, w*如果能从代理人那里获得高回报，我们有（i）q*: Z(Ohm) → K（ii）最小值{w*n： n个∈ N*} = 0; （iii）对于所有j、k∈ N*, w*j6=w*坎德q*k（z）/q*如果w，则j（z）在z中严格增加*j<w*k、 证明。

由于激励成本在q（ω）中是线性的，而监控成本是converxin q（ω），因此q*: Z(Ohm) → K那个w*j6=w*k所有j、k∈ N*. 已写入*= {1，···，N}并假设w.l.o.g*< ··· < w*N、 然后w*= 0的原因与引理2的证明相同。将委托人的目标函数与q（z）进行区分，得到以下一阶条件：- w*n+λu（w*n） z=ulogq公司*n（z）q*（z）- 对数π*nπ*n=2，···，n，（B.6），其中λ>0表示与（IC）约束相关的拉格朗日乘数。方程（B.6）的左侧在z上严格递增，从而证明了该定理的第（iii）部分。下一个定理证明了最优激励契约的存在性：定理8。假设假设2和3。然后，存在一个能从代理人那里获得高回报的最优激励合同。证据对于任意给定的q，当且仅当zj6=zk时，对于某些j，k，工资最小化问题才有解∈ N、 在这种情况下，我们表示最小激励成本byW（q）。主体问题是minqw（q）+u·H（q，1），它的任何解在Z上都必须是连续可微的(Ohm) 根据方程式（B.6）和假设2和3（通常注意端点处的导数）。定义Z(Ohm) , K作为上述q的集合，并配备CZ(Ohm) , K具有超范数k·k，即kq-qk=supz，n | qn（z）-qn（z）|。将校长的问题改写如下：minq∈C（Z(Ohm),K） W（q）+u·H（q，1），注意目标函数在q中是连续的。要证明解的存在性，请注意infq∈C（Z(Ohm),K） W（q）+u·H（q，1）是一个有限的数字，以下用x表示。Letqk公司是C中的任意序列Z(Ohm) , K这样limk→∞Wqk公司+ u·Hqk，1= x、 显然，qkis对所有k一致有界，并且族qk公司根据假设3和ofC的定义是等连续的Z(Ohm) , K.

因此qk公司一致收敛于某个q∞byHelly选择定理和W（q∞) + u·H（q∞, 1） =x乘以目标函数的连续性。参考文献Alchian，A.A.和H.Demsetz（1972）：“生产、信息成本和经济组织”，《美国经济评论》，62（5），777-795。Baiman，S.和J.S.Demski（1980）：“经济最优绩效评估和控制系统”，《会计研究杂志》，18（S），184-220。Bergemann，D.和S.Morris（2019）：“信息设计：统一的视角”，《经济文学杂志》，57（1），44-95。Blackwell，D.（1953）：“实验的等效比较”，《数理统计年鉴》，24（2），265-272。Bloom，N.、B.Eifert、A.Mahajan、D.McKenzie和J.Roberts（2013）：“管理重要吗？来自印度的证据”，《经济学季刊》，128（1），1-51。Bloom，N.、R.Sadun和J.Van Reenen（2012）：“美国人做得更好：美国跨国公司和生产率奇迹”，《美国经济评论》，102（1），167-201。Bloom，N.和J.Van Reenen（2006）：“衡量和解释企业和国家的管理实践”，经济绩效讨论文件中心，第716号。--（2007）：“衡量和解释企业和国家的管理实践”，《经济学季刊》，122（4）：1351-1408。--（2010）：“为什么各国的管理实践有所不同？”经济展望杂志，24（1），203-224。Cover，T.M.和J.A.Thomas（2006）：信息理论要素，新泽西州霍博肯：John Wiley&Sons，第二版。Cr'emer，J.，L.Garicano和A.Prat（2007）：“语言与企业理论”，《经济学季刊》，122（1），373-407。Dilm\'e，F.（2017）：“最佳语言”，工作文件。Dye，R.A.（1986）：“机构的最佳监控政策”，《兰德经济杂志》，17（3），339-350。Ewenstein，B.、B.Hancock和A。

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