具有内生监控技术的最优激励契约

对于所有A∈ ∑使得P（A）>0和 ∈ （0，P（A）]，存在A A使得P（A) =  和z（A) = z（A）。证据让A如上所述。由于padmit是一个密度，因此对于所有t∈（0，P（A）]，存在Bt A使得P（Bt）=t和Z（ω）≤ Z（ω）表示所有ω∈ Btandω∈ A\\b.同样，也存在Ct A使得P（Ct）=t和z（ω）≥ Z（ω）表示所有ω∈ Ctandω∈ A\\Ct。对于t=0，定义B=C=.允许 如上所述。考虑英国电信∪ C-t、 t型∈ [0, ]. 自z（Bt）起≥ z（A）和z（C-t）≤ z（A）表示所有t∈ (0, ) 和z（Bt∪ C-t） 在t中是连续的（因为Padmits是密度），存在t∈ [0, ] 使z（Bt∪ C-t） =z（A）。平均值（Bt∪ C-t） = 通过构造，所以让= 英国电信∪ C-我们完成了。A、 1.2定理1的证明。取任何能从代理人那里获得高回报的最优激励合同，并将hAn，πn，zn，wniNn=1作为相应的元组。相反，假设一些aj不是Z凸的。根据定义1，存在 Ajand▄AAk，k 6=j，使得（i）P（A），P（A），P（|A）>0，和（ii）z=（1- s） z+sz，其中z：=z（A）6=z：=z（A），~z：=z（~A）和s∈ (0, 1). 引理3 ∈ （0，min{P（A），P（A），P（￠A）}），存在 A、 A A和▄AA测量（i）P（A) = P（A) = P（yenA) = , 和（ii）z（A) = z、 z（A) = zandz（▄A) = ~z.考虑监控技术的两个干扰：（a）移动a至AkandA至Aj；（b） 移动▄A至Ajand A致Ak。通过构造，扰动都不会影响高干扰下输出信号的概率分布，从而降低监测成本。下面，我们证明其中一个与原始（最优）合同相比，严格降低了总成本。扰动（a）Let hAn(), πn，zn()iNn=1be扰动后与监控技术相关的元组（a）。

按结构，Aj() = （Aj∪A) \\ A.,sozj公司() =πjzj- z+~zπj=zj+s（z- z） πj.同样，Ak() = （Ak∪ A.) \\A和() = 对于n 6=j，k，以及类似的代数操作，如上所述zj公司() = zj+s（z- z） πj,zk公司() = zk公司-s（z- z） πk,锌() = 锌n 6=j，k.（A.1）考虑工资比例hwn()iNn=1如此w() = 0和（IC）约束在扰动后保持不变，即NXn=1πnu（wn()) 锌() =NXn=1πnu（wn）zn=c.（A.2）仔细检查方程式（A.1）和（A.2）发现M>0的存在与 这样，当 如果规模较小，则存在上述满足| wn的工资利润() - wn |<米 对于所有n，因此引理2的（LL）约束。稍微滥用符号，写出˙wn() = （wn）() - wn）/ 和˙zn() =（锌() - 锌）/,请注意˙w() = 0、何时 是一个很小的扩展方程（A.2），使用u（·）和| wn的二次微分() - wn |~ O() yieldsNXn=1πnu（wn）zn=NXn=1πnu（wn）+u（wn）·wn() ·  + O（zn+˙zn() · ) .将上述方程乘以扰动前与（IC）约束相关的拉格朗日乘子λ>0。重新排列产量Snxn=1πn·u（wn）·λzn·˙wn() = -λNXn=1u（wn）·πn˙zn() + O() ,并使用˙w简化() = 0，对于n，u（wn）=1/（λzn）≥ 2（引理1和2）和方程（A.1）yieldsNXn=1πn˙wn() = s（u（周）- u（wj））（λz- λz）+O() . （A.3）微扰（b）重复上述微扰参数（b）yieldsNXn=1πn˙wn() = -λ (1 - s） （u（周）- u（wj））（z- z） +O() . （A.4）准确地说，回想一下n的u（wn），zn>0≥ 引理2。因此，当 很小，zn() > n为0≥ 2和solvingPNn=2πnu（xn）zn() =PNn=2πnu（wn）Zn产生如上所述的工资利润。请注意，我们不假设wn的差异性() 或锌() 关于.

这一点同样适用于本文的其余部分。然后从u（wj）6=u（wk）（引理2），z6=z（假设）和λ>0，可以得出方程（A.3）或（A.4）的右侧严格为负很小。因此，无论是扰动（a）还是扰动（b），我们都可以构建一个比原始最优合同产生更低激励成本的工资比例，这会导致一种冲突。A、 1.3定理2的证明。根据定理1，任何最多N∈ {2，···，K}细胞完全以N为特征-1切割点bz、···、bzN-1满足最小Z(Ohm) ≤ bz公司≤··· ≤ bzN公司-1.≤ 最大Z(Ohm). Writebz=（bz，···，bzN-1)>. 定义Z={bz：最小Z(Ohm) ≤ bz公司≤ ··· ≤ bzN公司-1.≤ 最大Z(Ohm)},为zn配备sup范数k·k，并注意zn在假设3下是紧的。让W（bz）成为在bz形成的监控技术下从代理人那里获得高回报的最小激励成本。请注意，W（bz）存在且是有限的当且仅当min Z(Ohm) < bzn<最大Z(Ohm) 对于一些n，因为z（A）6≡ 0穿过性能类别A形成的下界Z，所以W（bz）可以通过应用引理1来求解。我们分两步进行。步骤1表明，对于任何给定的N，W（bz）是连续的inbz∈ {2，···，K}。修复anybz∈ Zn使得W（bz）是有限的。W、 l.o.g.考虑bzn\'s完全不同的情况。对于非常小的δ>0，设bzδ为zn的任何元素，使kbzδ-bzk<δ。设πnand zn（分别为πδnand zδn）表示概率（在a=1下）和z值An={ω：z（ω）∈ [bzn-1，bzn）}（分别为Aδn=ω：Z（ω）∈ [bzδn-1，bzδn）),分别地让Wn表示a的最佳工资。修复任何 > 0，并考虑支付wn+ 在Aδnif zδn>0，否则为wn。通过施工，该工资比例满足（LL）约束。

在假设2和3下，当δ足够小时，它满足（IC）约束：limδ→0Xnπδnuwn+1zδn>0·zδn=Xnπnu（wn+1zn>0·）) zn>c，其中不等式成立，因为Pnπnzn=0和zn6≡ 对于某些氮，0 so zn>0。此外，sincelimδ→0Xnπδnwn+1zδn>0·=Xnπn（wn+1zn>0·) ,因此，当δ非常小时，Wbzδ- W（bz）≤Xnπδnwn+1zδn>0·-Xnπnwn<,其中，第一个不平等之所以成立，是因为构建的工资比例不一定是zδ下的最优值。最后，在上述推导中交换Nbz和bzδ之间的作用，得到W（bz）- Wbzδ< , 意味着Wbzδ- W（bz）<  当δ非常小时。步骤2在假设4（a）下，以下数量：WN：=minbz∈ZNW（bz）存在，并且对所有N都是有限的∈ 第1步{2，···，K}和ZN的致密性。Letmn表示WN获得的最小评分量表。Solvingmin2解决方案≤N≤KWN+u·f（mN）得出了负责人问题的解决方案。在假设4（b）下，委托人的问题可以写为：minbz∈ZKW（bz）+u·h（π（bz）），其中π（bz）是在z下形成的概率向量，并且在z内明显连续。然后从步骤1和ZK的紧性得出解的存在性。A、 2第4节的证明在本附录中，写出任何N部分合同hP，w（·）i作为对应的整数hAn，πN，zn，wniNn=1，其中Anis是P，πN=P（An），zn=（z1，N，z2，N）>：=（z（An），z（An））>和wn=（w1，N，w2，N）>：=（w（An），w（An））>。A、 2.1有用引理下一个引理将引理1和2推广为包含多个代理：引理4。假设假设1。然后，在任何从两个代理人那里获得高回报的最优激励契约下，（i）存在λ，λ>0，使得ui（wi，n）=1/（λizi，n），当且仅当wi，n>0；（ii）对于所有j 6=k证明，wj6=WK。

给定监控技术下的工资最小化问题hAn，πn，zniNn=1isminh▄wi，niXi，nπn▄wi，n-XiλiXnπnui（~wi，n）zi，n- ci！-Xi，nηi，nwi，n，其中λi和ηi，n分别说明与wi，n处的（ICi）约束和（LLi）约束相关的拉格朗日乘子。将目标函数与▄wi、nyields区分为第（i）部分中的一阶条件。第（ii）部分的证明与引理2的证明相同，因此省略。下一个引理起着与引理3类似的作用：引理5。假设假设6。固定任意δ>0和任意A∈ ∑使得P（A）>0。那么对于所有人来说 ∈ （0，P（A）]，存在 A使得P（A) =  andkz（A) - z（A）k<δ。证据稍微滥用一下符号，让P是Ohm 这样每B∈ P是可测的，kZ（ω）- Z（ω）k<δ，对于所有ω，ω∈ B、 P存在，因为Padmits a density和Z(Ohm) 是R.definep+={B中的紧集∈ P:P（A∩ B） >0}且P={B∈ P:P（A∩ B） =0}，两者都是有限的。注意PB∈PP（A∩ B） =0，PB∈P+P（A∩ B） =P（A）和Z（A）=PB∈P+P（A∩ B） z（A∩ B） 。由于Padmits是a密度，因此对于所有B∈ P+，存在CB A.∩b这样P（CB）=P（A∩ （B）/P（A）。还应注意kz（CB）-z（A∩ B） k<δ的构造。让A= ∪B∈P+CB。然后P（A) =PB∈P+P（A∩ （B）/P（A）=andkz（A) - z（A）k=kXB∈P+P（A∩ B） P（A）（z（CB）- z（A∩ B） ）k≤XB公司∈P+P（A∩ B） P（A）kz（CB）- z（A∩ B） k<δ。A、 2.2定理3的证明。取任何能从两个代理中获得高回报的最优激励合同，并让hAn，πn，zn，wniNn=1为相应的元组。相反，假设一些aj不是Z凸的。根据定义，存在 Ajand▄A∈ Ak，k 6=j，使得（i）P（A），P（A），P（|A）>0，和（ii）z=（1- s） z+z，其中z：=z（A）6=z：=z（A），~z：=z（~A）和s∈ (0, 1).

通过引理5，对于所有δ>0和 ∈ （0，min{P（A），P（A），P（￠A）}），存在 A、 A A和▄AA测量（i）P（A) = P（A) = P（yenA) = , 和（ii）kz（A) - zk，kz（A) - zk，kz（￠A) -zk<δ。考虑对监控技术的两个干扰：（a）移动a至AkandA至Aj；（b） 移动▄A至Ajand A致Ak。根据假设1，在a=1的情况下，扰动都不会影响输出信号的概率分布，因此也不会影响监控成本。下面，我们证明其中一个与原始最优合同相比，严格降低了激励成本。扰动（a）Let hAn() , πn，zn()iNn=1在扰动（a）后，删除与监控技术相关的元组，其中Aj() = （Aj∪A) \\A., Ak公司() =（Ak∪ A.) \\A和() = Anfor n 6=j，k。简单代数表明zj公司() = zj+z（￠A) - z（A)πj,zk公司() = zk公司-z（yenA) - z（A)πk,锌() = 锌n 6=j，k，（A.5）和thatkz（￠A) - z（A) - （￠z）- z） k级≤kz（yenA) -zk+kz（A) - zk<最小值2δ，4最大ω∈OhmkZ（ω）k. （A.6）对于i=1，2，定义Bi={n:wi，n=0}。考虑工资福利hwn()iNn=1对于i=1，2：（1）wi，n() = wi，n=0表示n∈ Bi；（2） agent i的激励相容性约束在扰动（a）后仍具有约束力，即NXn=1πnui（wi，n()) zi，n() =NXn=1πnui（wi，n）zi，n=ci。（A.7）仔细检查方程式（A.5）-（A.7）发现M>0的存在与 δ使得当 由于规模非常小，上述工资水平满足kwn的要求() - wnk<米 对于所有n，因此（LLi）约束。稍微滥用符号，写出˙wn() = （wn）() - wn）/ 和˙zn() =（锌() - 锌）/, 注意˙wi，n() = 0表示i=1、2和n∈ Bi。

什么时候 是使用ui（·）和| wi，n的二次微分的小型扩展方程（A.7）() -wi，n |~ O() 将结果乘以与扰动屈服前的（ICi）约束相关的拉格朗日乘数λi>0 snxn=1πn·ui（wi，n）·λizi，n·˙wi，n() = -λiNXn=1ui（wi，n）·πn˙zi，n() + O() .使用˙wi，n简化() = 如果为n，则为0∈ Bi，u（wi，n）=1/（λizi，n）如果n/∈ Bi（引理4）和方程（A.5）yieldsXi，nπn˙wi，n=（英国- uj）>∧（z（~A）) - z（A)) + O() ,其中，对于n=k，j和∧，un=（u（w1，n），u（w2，n））>=λ0 λ. 进一步简化方程（A.6）和▄z=（1- s） 当δ较小时，z+sz产生以下结果：Xi，nπn˙wi，n=（uk- uj）>∧（￠z- z） +O()+ （英国- uj）>∧（z（≈A) - z（A) - （￠z）- z） ）=s（英国- uj）>∧（z- z） +O() + O（δ）。（A.8）微扰（b）重复上述微扰参数（b）yieldsXi，nπn˙wi，n=-(1 - s） （英国- uj）>∧（z- z） +O() + O（δ）。（A.9）考虑两种情况：情况1（英国- uj）>∧（z- z） 6=0。在这种情况下，方程式（A.8）和（A.9）的右侧具有相反的符号 和δ非常小，证明的剩余部分与定理1相同。案例2（英国- uj）>∧（z- z） =0。在这种情况下，请注意（英国- uj）>通过引理4∧6=0>，其中0表示零的2向量。然后从假设5（Z在连通集上无原子分布）出发，存在B A、 B类 A和BA使得P（B），P（B），P（￠B）>0，z（￠B）=（1- s） 对于某些s，z（B）+sz（B）∈ （0，1）和（英国- uj）>∧（z（B）- z（B））6=0。在上述参数中，分别将A、A和▄A替换为B、频带▄B，将得到所需的结果。A、 2.3定理4Proof的证明。根据定理3，任何最多N∈ {2，···，K}单元的充分特征是（1）顶点z，····，zqNin z的有限个qNof(Ohm),（2）一个qN×qnAdjacenty矩阵M，如果zland zm由线段连接，则其lm\'th条目等于1，否则为0。

根据定义，M是对称的，因此由其上部三角形条目确定，该条目可以是0或1。ThusM属于MN：={0，1}qN×（qN-1） /2，这是一个有限集。为（z，···，zqN）>写入~z。对于任意N∈ {2，··，K}与邻接矩阵M∈MN，definezn（M）={~z：（~z，M）分区z(Ohm) 对于至多N个凸多边形}，用sup范数k·k装备ZN（M），并注意，根据假设6，ZN（M）是紧的。让W（~z，M）表示在（~z，M）形成的监控技术下，从两个代理诱导高回报的最小激励成本。W（~ z，M）存在且有限当且仅当所有i=1，2，zi（A）6≡ 在（~ z，M）下形成的绩效类别A\'s中为0。我们分两步进行。步骤1表明，对于任何给定的N，W（~ z，M）在第一个参数中是连续的∈{2，···，K}和M∈ 明尼苏达州。固定任意z∈ ZN（M），使得W（~ z，M）是有限的。对于非常小的δ>0，设~zδ为ZN（M）的任何元素，使得k~zδ-~zk<δ。标记（~ z，M）下形成的绩效类别，以及~zδ，M分别作为An和Aδn，因此，对于n=1，2，·····，zl是cl（Z（An））的顶点当且仅当Zδ是cl的顶点ZAδn.设πnand zi，n（分别为πδnand zδi，n）分别表示An的概率（在a=1的情况下）和zi值（分别为aδn）。让wi，ndente在一个时间点上给出代理i的最佳工资。修复任何 > 0、考虑支付wi、n+/如果zδi，n>0和wi，则为2，因此满足（LLi）约束。

在假设5和6下，当δ足够小时，满足（ICi）约束：limδ→0Xnπδi，nuwi，n+1zδi，n>0·/2.zδi，n=Xnπnuwi，n+1zi，n>0·/2.zi，n>ci，其中不等式成立，因为nπnzi，n=0和zi，n6≡ 0 so zi，对于某些n，n>0。此外，sincelimδ→0Xi，nπδnwi，n+1zδi，n>0·/2.=Xi，nπnwi，n+1zi，n>0·/2.,因此，当δ非常小时，W~zδ，M- W（~ z，M）≤Xi，nπδnwi，n+1zδi，n>0·/2.-Xi，nπnwi，n<,如果第一个不平等仍然存在，因为根据~zδ，M. 最后，在上述推导中互换~zδ和~z之间的角色，得到W（~z，M）-W~zδ，M< , 意味着W~zδ，M- W（~ z，M）< 当δ非常小时。步骤2在假设4（a）下，以下数量：WN：=最小∈MN，~ z∈ZN（M）W（~ z，M）存在，并且对所有N都是有限的∈ {2，···，K}步骤1，ZN（M）的致密性和MN的完整性。在假设4（b）下，委托人的问题可以写成如下：∈MK，~ z∈ZK（M）W（~ z，M）+u·h（π（~ z，M）），其中π（~ z，M）是在（~ z，M）下形成的概率向量，并且在~ z中明显连续。证明的其余部分与定理2相同，因此省略。A、 3第5节的证明在本附录中，写出z（A）=（za（A））>A∈D对于任何集合A∈ 正测度的∑，以及任何N-分合同hP，w（·）i作为对应的tuplehAn，πN，zn，wniNn=1，其中Anis是P的泛型单元，πN=Pa*（An），zn=z（An），wn=w（An）。假设w.l.o.g.w≤ ··· ≤ wN。A、 3.1有用引理下一个引理将引理1和2推广为包含多个代理：引理6。假设假设1。然后对于任何最优激励合同*, （i） 存在λ∈ R | D |+，kλk>0，使得u（wn）=1/λ> 锌i仅当wn>0时；（ii）λ>z<0<λ>z<····························。证据

给定监控技术的工资最小化问题hAn，πn，zniNn=1isminhwniXnπnwn-Xnπnu（~wn）·λ>zn-Xnηnwn，其中λ表示与（ICa）约束相关的拉格朗日乘子，ηn与wn处的（LL）约束相关的拉格朗日乘子。请注意，kλk>0，因为否则所有（ICa）约束都是松弛的，Hencesubtracing较小 > 所有正工资中的0表示改善。将目标函数与wn进行区分，得出第（i）部分中的一阶条件。第（ii）部分的证明与引理2的证明相同，因此省略。A、 3.2定理5的证明。采取任何最佳激励合同，以诱导*. 设hAn，πn，zn，wniNn=1b为对应的元组，λ为与（ICa）约束相关的拉格朗日乘子的函数。相反，假设一些ajis不是Zλ-凸的。那么就有一个，一个 Ajand▄A Ak，k 6=j，使得（i）Pa*（A） ，宾夕法尼亚州*（A） ，宾夕法尼亚州*（￠A）>0，和（ii）λ>￠z=（1- s） λ>z+sλ>z，其中z：=z（A），z：=z（A），~z：=z（~A），λ>z6=λ>zand s∈ (0, 1). 引理3 ∈ （0，最小值{Pa*（A） ，宾夕法尼亚州*（A） ，宾夕法尼亚州*（▄A）}），存在 A、 A A和▄AA使得（i）Pa*（A）) = 帕*（A）) = 帕*（A) = , 和（ii）λ>z（A) = λ> z，λ>z（A) = λ> zandλ>z（￠A) = λ> ~z.考虑监控技术的两个干扰：（a）移动a至AkandA至Aj，和（b）移动▄A至Ajand A致Ak。根据假设1，在动作a下，任何扰动都不会影响输出信号的概率分布*因此需要监控成本。下面，我们将证明其中一个与原始（最优）合同相比，严格降低了激励成本。扰动（a）Let hAn(), πn，zn()iNn=1e扰动后与监控技术相关的元组（a），其中Aj() = （Aj∪A) \\ A., Ak公司() =（Ak∪ A.) \\A和() = Anfor n 6=j，k。