具有内生监控技术的最优激励契约

函数ui:R+→ 满足度ui（0）=0，ui>0和ui<0，ci（1）=ci>ci（0）=0。每个输出文件a=aa生成一个概率空间(Ohm, ∑，Pa），其中Ohm 一个包含代理性能数据的有限维欧几里德空间，∑Borel-sigma代数Ohm, 概率测度是(Ohm, Σ). 假设Pa的区域是相互绝对连续的，它们所诱导的概率密度函数Pa是明确的，并且处处都是正的。在此新设置中，监视技术P可以是Ohm atmost K单元格都是积极措施，工资方案w:P→ R+将P的单元格A映射到非负工资的向量w（A）=（w（A），w（A））>。对于任何数据点ω，设A（ω）为包含ω的唯一性能类别，设w（A（ω））为与A（ω）相关的工资向量。时间演变如下：1。委托人向惠普承诺，w（·）i；2、代理人i私自选择ai∈ {0，1}，i=1，2；3、大自然从Ohm 根据Pa；4、监测技术输出A（ω）；委托人向代理人i=1，2支付wi（A（ω））。考虑诱导两种药物发挥高效力的问题。为（1，1）>写入1，并定义向量值随机变量Z=（Z，Z）>byZi（ω）=1-pai=0，a-i=1（ω）p（ω）ω ∈ Ohm, i=1，2。定义任意集合A的z值∈ 正测度的∑by（z（A），z（A））>，其中Zi（A）=E[Zi | A；A=1]i=1，2。合同与代理人i ifXA的激励相容∈PP（A）ui（wi（A））zi（A）≥ ci、（ICi）及其满足代理人i的有限责任约束ifwi（A）≥ 0A.∈ P、 （LLi）根据代理人的激励相容性约束和有限责任约束，最优合同可最大限度地降低高绩效下的总实施成本：minhP，w（·）iXA∈PPa（A）Xi=1wi（A）+u·H（P，1）s.t.（ICi）和（LLi），i=1，2.4.2分析下一个定义概括了Z-凸性：定义3。

A组A∈ ∑是Z-凸的，如果以下条件适用于所有ω，ω∈ Z（ω）6=Z（ω）：{ω∈ Ohm : Z（ω）=（1）- s） ·Z（ω）+s·Z（ω）对于某些s∈ (0, 1)}  A、 接下来的两个假设对委托人的问题施加了规律性，类似于假设2和3：假设5。Z在连接集Z上无原子分布(Ohm) 在Rundera=1时。假设6。Z(Ohm) 在RW中设置紧凑，尺寸为Z(Ohm) = 下一个定理扩展了定理1和2，以涵盖多个代理：定理3。假设假设1、5和6。然后，任何优化监控技术都包含构成R中凸多边形的Z-凸单元。定理4。在假设1、4、5和6下，存在一个能够从两个代理中获得高回报的最优激励合同。证据见附录A.2。证明草图第3.3节中开发的证明策略对于处理向量值z值和工资非常有用。如前所述，固定任何 > 0，并取任何子节和A分别为AJ和Ak两个不同的绩效类别，例如P（A) = P（A) =  和z（A) = z6=z（A) = z（附录A.2.1引理5证明了满足较弱性质的集合的存在性）。在第3.3节中的扰动后，主体的拉格朗日变为（忽略（LLi）约束）：L() =XnπnXiwi，n() - λi() ui（wi，n()) zi，n() - ci！，式中，πndente表示()) a=1，wi，n下()代理人i的最佳工资() 和λi() 与（ICi）约束相关的拉格朗日乘子。假设可微性，我们得到l（0）=-Xnπn·u>nλ（0）00λ（0）！dd公司锌()=0=（英国- uj）>（bz-bz），其中un=（u（wi，n（0）），u（wi，n（0）））>nandbz=λ（0）00λ（0）！z表示z=z，z。自L（0）起≥ 0根据最优性，将拉格朗日乘数加权Z值分配到性能类别中必须是“正分类”，其中排序方向由代理的效用向量给出。

这意味着Z凸性的原因与第3.3节中的相同。解决最佳凸多边形的含义在计算上很困难。也就是说，请注意，凸多边形的边界由z中的直线段组成(Ohm), 结合假设5，得出以下观察结果：o任何双边合同都以团队或锦标赛的形式出现，并且完全由图2所示的直线截距和斜率捕捉；W1=0%W2=0%W1>0%W2>0%Z2%Z1%Z1#Z2#W1>0#W2=0#W1=0#W2>0#图2：双方合同：团队和锦标赛在个人基础上评估和奖励代理人的合同完全由个人绩效系数决定，如图3所示。W1>0%W2>0%W1>0%W2=0%W1=0%W2=0%W1=0%W2>0%Z1%Z2%图3：个人激励合同。4.3应用：个人与团体评估本节从监控成本的角度比较个人和团体绩效评估。为了获得最敏锐的洞察力，假设代理在技术上是独立的：假设7。存在概率空间{(Ohmi、 ∑i，Pi，ai）}i，第2节中的AIA(Ohm, ∑，Pa）=(Ohm× Ohm, Σ ∑，P1，a×P2，a）对于所有a∈ {0, 1}.在契约理论的语言中，假设7排除了任何技术联系（即ωidepends on a-i） 或代理人之间的共同生产率冲击（即ω，ω与a相关）。下一个定义是标准：定义4。（i） P是一种单独的监控技术∈ P、 存在一个∈ ∑和A∈ ∑使得A=A×A；否则P是一种组监控技术；（ii）设P为任何单独的监测技术。

然后w:P→ 如果wiAi×A-i；P= wi公司Ai×A-i；P对于所有i=1、2和i×A-i、 Ai×A-我∈ P否则w:P→ R+是一种集体工资方案；（iii）hP，w:P→ 如果P是个人监控技术，w:P，则R+i是个人激励合同→ R+是个人工资计划；另一方面，这是一项集体激励合同。根据定义，集团激励合同要么进行集团绩效评估，要么将个人绩效评估与集团激励薪酬配对。在假设7下，根据有效统计原理Holmstrom（1982），第二种选择是次优的，从而将个人和团体激励合同之间的比较减少到个人和团体绩效评估之间的比较。让我来表示实施双边激励合同的最低成本与实施个人激励合同的最低成本之间的比率（根据定义，后者至少有四个绩效类别）。I<1是一个明确的指标，小组评估是最佳的，而个人评估不是。下一个结果是直接的：推论2。在假设1、4（a）、5、6和7下，当u较大时，I<1。除了推论2中所考虑的情况之外，我们可以根据之前关于如何参数化双边和个人激励契约的讨论来计算I。图4描绘了在特殊情况下获得的解决方案。1.01.11.20 5 10 15 20 25uI图4：绘图I与u：熵成本，ui（w）=√w、 Zi公司~ U型[-1/2，1/2]和ci=1，对于i=1，2。我们的结果正式证明了Alchian和Demsetz（1972）以及Lazear andRosen（1981）的观点，即当个人绩效评估成本太高而无法进行时，团队或锦标赛应该是主要的激励系统。

它丰富了Holmstrom（1982）、Green and Stokey（1983）和Mookherjee（1984）的分析，这些分析将集体激励合同的使用归因于代理人之间的技术依赖性，同时抽象出数据处理和分析问题。最近，Bloom和Van Reenen（2006、2007）对这些观点进行了调和，他们发现——正如我们的理论所预测的那样——尽管在技术上相似，但公司在个人和团体评估之间做出了不同的选择，并且当筛选个人层面信息的能力受到限制（例如，缺乏IT访问）时，团体评估最为普遍。未来，确定it在Bloom和Van Reenen（2006、2007）中的作用，并复制这些研究，以获得数据技术的最新进展，将是一件有趣的事情。5扩展：多个动作在本节中，假设代理的动作空间A是一个有限集，在A中执行动作A会给代理带来成本c（A），并生成概率空间(Ohm, ∑，Pa）如第2节所述。委托人希望采取最昂贵的行动*,i、 e.，c（a）*) > c（a）适用于所有a∈ D=A- {a*}. 对于与*到a∈ D、 定义随机变量Za：Ohm → R byZa（ω）=1-pa（ω）pa*(ω)ω ∈ Ohm.对于任何a∈ D和设置A∈ 正值测度的∑，defineza（A）=E【Za | A；A】*] .如果对所有人而言∈ D： XA公司∈购电协议*（A） u（w（A））za（A）≥ c（a*) - c（a）。

（ICa）参见Bloom和Van Reenen（2006、2007）关于个人和团体评估之间选择的调查问题，例如，“员工根据其对公司的个人贡献获得奖励”，“薪酬基于轮班/工厂级别的结果。”前者被视为一种先进但昂贵的管理实践，在其他条件相同的情况下，前者在拥有更好IT接入的公司中更为普遍。最优激励契约*, w*（·）i导致*solvesminhP，w（·）iXA∈购电协议*（A） w（A）+u·H（P，A*) s、 t.（ICa）一∈ D和（LL）。为（Za）>a写入Z∈D、 对于任何| D |-向量λ=（λa）>a∈Din R | D |+，定义随机变量Zλ：Ohm → R byZλ（ω）=λ>Z（ω）ω ∈ Ohm.下一个定义概括了Z-凸性：定义5。A组A∈ 如果以下所有ω、ω均成立，∑为Zλ-凸∈ Zλ（ω）6=Zλ（ω）：{ω：Zλ（ω）=（1- s） ·Zλ（ω）+s·Zλ（ω）对于某些s∈ (0, 1)}  A、 接下来的定理扩展了定理1和2，以涵盖多个动作：定理5。假设所有a的假设1和假设3∈ D、 然后，对于任何最优激励合同，hP*, w*（·）i导致*, 存在λ*∈ R | D |+带kλ*k>0，使P的所有细胞*是Zλ*-凸面，可标记为asA，····，ANsuch，0=w*（A） <···<w*（AN）。此外，假设所有a∈ D、 那么就存在-∞ ≤ bz<···<bzN<+∞ 使得an={ω：Zλ*(ω) ∈ [bzn-对于n=1，···，n，定理6。假设假设1和4，以及ALA的假设2和3∈ D、 然后，一个最优激励契约*存在。证据见附录A.3。在存在多个动作的情况下，每个数据点都与许多值相关联，每个值对应于*代理可以潜在地进行通信。

通过确定拉格朗日乘数加权Z值在工资类别中的分配是正分类的，定理5将数据处理和分析的重点与代理人的内生偏差倾向联系起来。直觉上，当λ*ais很大，因此代理很容易犯偏差a，应将重点放在有助于检测偏差a的信息ZA上，k·k表示本文其余部分中的sup范数。最终绩效评级应随Za的评估而显著变化。下一节给出了该结果的应用。5.1应用：多任务单个代理可以发挥高或低效率ai∈ {0，1}在两个任务中的每一个任务中，si=1，2，并且每个任务独立地生成一个概率空间(Ohmi、 ∑i，Pi，ai）如第2节所示。风险中性原则的目标是在这两项任务中都能产生高效果。写a=aa，ω=ω，a={11，01，10，00}，a*= 11和D={01，10，00}。对于任何i=1、2和ωi∈ Ohmi、 definezi（ωi）=1-pi，ai=0（ωi）pi，ai=1（ωi），其中pi，ai是由pi，ai诱导的概率密度函数。对于任意ω∈ Ohm× Ohmλ=（λ，λ，λ）>∈ R+，定义λ（ω）=（λ+λ）·Z（ω）+（λ+λ）·Z（ω）- λ·Z（ω）Z（ω）。下一个推论是定理5的直接推论：推论3。假设所有a的假设1和假设3∈ D、 然后，对于任何最优激励合同，hP*, w*（·）i在两项任务中都会产生很高的效果，存在λ*∈ R+带λ*+ λ*, λ*+ λ*> 0，这样P的所有单元格*是Zλ*-凸面可以标记为A、····、ANsuch，即0=w*（A） <···<w*（AN）。假设，除此之外，假设2适用于所有a∈ D

那么就存在-∞ ≤ bz<···<bzN<+∞这样An={ω：Zλ*(ω) ∈ [bzn-Holmstrom和Milgrom（1991）在一篇开创性的论文中表明，当代理面对多个任务时，过度激励生成精确性能数据的任务可能会阻止生成嘈杂性能数据的任务的完成。该分析从监控成本中抽象出来，重点关注（线性）薪酬方案的威力。推论3传递了一个不同的信息：当涉及到在多个任务绩效评估中分配有限的资源时，最佳分配应该反映代理逃避每个任务的内生倾向。下一个示例：示例3说明了此结果的有用性。出纳面临两项任务：扫描物品和向客户传递温暖。一段性能数据包括销售点（POS）系统记录的扫描仪数据以及从客户处收集的反馈。根据推论3，以下比率：R=λ*+ λ*λ*+ λ*捕获校长应如何在扫描项目和温暖度的技能评估中分配有限的资源。直觉上，当顾客不愿意向顾客提供温暖时，会出现一个小的R，在这种情况下，应该利用资源来评估温暖度，最终的绩效评级应该明显取决于这种评估。我们研究了最优资源分配如何随rawperformance数据的精度而变化。

正如Holmstrom和Milgrom（1991）所述，我们假设oωi=ai+ξifor i=1，2，其中ξi是独立的正态随机变量，平均值为零，方差σi；o出纳拥有消费的CARA效用u（w）=1- 经验值(-γw）。与Holmstrom和Milgrom（1991）不同，我们并不将自己定义为线性下注方案。如果监测成本是评级尺度的递增函数，我们计算σ不同值的R，保持σ=1和| P |=2固定。我们的发现如图5所示。假设我们的参数选择是合理的，我们得出以下结论：由于高质量扫描仪数据的出现，熟练程度变得更容易衡量，出纳变得更害怕逃避扫描任务，而对客户的冷淡感则更少；为了纠正出纳的激励，应将资源转向处理和分析客户反馈，而不是扫描数据。未来，人们可以像Bloom等人（2013）那样，通过现场实验来检验这一预测。例如，可以将扫描仪数据的质量随机分配到其他类似的商店中，并检查扫描仪数据和客户反馈之间的资源分配效果。0.50.60.70.80.91.00.25 0.50 0.75 1.00σ2r图5：R与σ的曲线图：H（P，a）=f（| P |），P |=2；u（w）=1- 经验值(-.5w）；c（00）=0，c（01）=0.3，c（10）=0.2，c（11）=0.5；ξ和ξ正态分布，平均值为零，σ=1.6结论我们通过提出开放性问题得出结论。首先，我们的工作与新兴的信息设计文献有着广泛的联系（参见Bergemann和Morris（2019）的调查），我们希望这能激发新的研究问题，例如如何在长期雇佣关系中进行成本高昂但灵活的监控。

其次，我们的理论可以指导对经验问题的调查，例如，大数据技术的进步如何影响监控技术的设计和实施，以及它们是否可以部分解释其他类似企业内部组织的异质性。我们希望将来有人，也许是我们自己，将继续这些研究议程。省略的证据A。1在本附录第3节的证明中，写出任何N部分合同hP，w（·）i作为对应的整数hAn，πN，zn，Wnin=1，其中Anis是P，πN=P（An），zn=z（An）和wn=w（An）的通用单元。假设w.l.o.g.z≤ ··· ≤ 锌。A、 1.1引理1的有用引理证明。引理1中给定监控技术hAn，πn，zniNn=1as的工资最小化问题是minhwniNXn=1πnwn- λNXn=1πnu（~wn）zn- c-NXn=1ηn▄wn，其中λ和ηndenote分别表示与▄wn处的（IC）约束和（LL）约束相关的拉格朗日乘数。将目标函数与▄wn区分开来，并将结果设置为零，得出λznu（wn）=1- ηn/πn，意味着u（wn）=1/（λzn）当且仅当wn>0时。引理2Proof的证明。确定任何能从代理人那里获得高回报的最优激励合同，并让hAn，πn，zn，wniNn=1作为相应的元组。请注意，N≥ 2、根据假设1（b），如果wj=wk对于某些j 6=k，则合并aj和ak对激励成本没有影响，但严格降低了监控成本，这与原始合同的最优性相矛盾。然后从引理1和假设z≤ ··· ≤ zN，0之后≤ w<···<Wn和z<···<zN。特别地，我们必须使z<0，因为epnn=1πnzn=0。这意味着w=0，因为如果w=0，则会降低预期工资，并放松（IC）约束，同时保持（LL）约束满足。最后，对于n，将wn>0结合起来≥ 2和引理1得出n的zn>0≥ 引理3。