期望效用最大化与条件风险价值

方程（10）属于一类广泛的一般形式的拟线性抛物方程：tИ+xA（x，t，ν）+xB（x，t，Д）+C（x，t，Д）=0，x∈ R、 t型∈ [0，T），（14）满足T=T的终端条件。特别是对于（10），其中a（x，T，Д）=α（x，T，Д），B（x，T，Д）=-α（x，t，Д）Д（x，t），C≡ 0、我们通过eД（x，τ）：=Д（x，T）将方程从向后时间转换为向前时间- t） 。我们获得τeД（x，τ）=xeA（x，τ，eД）+xeB（x，τ，eД）+eC（x，τ，eД），对于任何x∈ R、 τ∈ （0，T），（15）初始条件为eД（x，0）=eД（x）≡ ^1（x，T）。我们有ea（x，τ，Д）=α（x，T- τ、 Д），eB（x，τ，Д）=-α（x，T- τ、 Д）Д（x，T- τ） ，eC≡ 为方便起见，我们将在以下内容中删除esign，但我们应记住，我们使用的是转换后的函数。让我们考虑有界计算域[xL，xR]和空间离散点xi=xL+ih，对于i=0，···，n+1，其中h=（xR- xL）/（n+1）。我们有x=xl和xn+1=xR。内部网格点xi，i=1，···，n是细网格单元（xi）的中心-, xi+，我们将其表示为（xi-, xi+为简单起见。我们有H=xi+- xi-. 设离散化时间步长为τj=jk，j=0，···，m，其中k=T/m是所考虑时域中的时间步长数。积分有限体积上的方程（15），在左侧积分上应用中点规则，8 S.KILIANOV\'A和D.ˇSEVˇCOVIˇCapproximating时间导数，通过向前有限差与时间步长k，wearive在方程组中：Дj+1i=kh（I+I）+Дji，I=1，··，n，j=0，··，m，（16）I=Zxi+xi-x个(xA（x，τ，Д）+B（x，τ，Д））dx=[Ax+AДxИ+B]xi+xi-,I=Zxi+xi-C（x，τ，Д）dx=hC（xi，τ，Дi）。（17） 根据上述积分是在第j个时间层还是在第（j+1）个时间层上计算，我们得到了不同的近似值。在指定如何处理之前，我们将使用符号？表示j或j+1。

如果我们表示？i±=AИ（x，τ，Д）| xi±，τ±？，φ?i±，E？i±=Ax（x，τ，Д）| xi±，τ±？，φ?i±，F？i±=B（x，τ，Д）| xi±，τ±？，φ?i±，x| |？i±=xИ（x，τ）| xi±，τ？。并用x| |？我+≈^1（xi+1，τ？）- ^1（xi，τ？）h、，x| |？我-≈^1（xi，τ？）- ^1（xi）-1, τ?)h、 接下来，我们应用半隐式数值格式来计算新时间层j+1的解。我们接受条款D？i±，E？i±，F？i±上一个时间层的？=jand术语x| |？i±从新层开始，带？=j+1。将新图层术语重新排列到左侧，将旧图层术语重新排列到右侧，我们得出-khDji+Дj+1i+1+（1+kh（Dji++Dji-))^1j+1i-khDji-^1j+1i-1=kh（Ij+Eji+- Eji公司-+ Fji公司+- Fji公司-) + ^1ji，这是一个三对角系统，可通过Thomas算法有效解决。作为边界条件，我们在左边界xl上使用Robin条件，在右边界xR上使用Neumann条件。更准确地说，在x=xL时，xД（x，τ）=1+Д（x，τ），对于所有τ，在x=xR时，xИ（x，τ）=0∈ （0，T）.边界条件遵循x的方程（10）的渐近行为→ ±∞. 离散化后，边界条件的形式为Дj=Дj/（1+h）- h/（1+h），Дjn+1（τ）=Дjn（τ）。7、具有常数和递减风险规避的动态投资组合优化在本节中，我们将前一节中的数值格式应用于动态随机投资组合优化的一个示例。我们使用该方案寻找最优投资组合预期效用最大化和条件风险价值偏差9权重，作为预期效用最大化的结果。选择特定的效用函数直接关系到投资者的风险厌恶程度。它可以通过众所周知的绝对（或相对）风险厌恶的Arrow-Pratt系数来衡量[4，32]。终端条件（11）是与效用函数U相对应的绝对风险规避系数。

因此，改变风险规避会改变ν的准线性偏微分方程的终端条件，从而改变最优解。假设投资者的风险厌恶程度随着财富的增加而降低，这是很自然的：投资者越富有，他们对风险头寸的开放程度就越高，有可能获得更高的回报。我们将研究当投资者从一个风险厌恶情绪持续的投资者转向一个风险厌恶情绪降低的投资者时，结果（在回报和风险方面）是如何变化的。7.1. 数据和参数我们考虑了一个多期随机投资组合优化问题，其中n=30资产包含在德国DAX 30指数中。我们将解决两个指数效用函数的问题（2），第一个具有恒定的绝对风险规避（CARA），另一个具有递减的绝对风险规避（DARA）：CARA:U（x）=-e-ax，a=常数。，（18） 达拉：W（x）=(-e-斧头- c*, x个≤ x个*,-（答）e-ax+（a-a） x个*, x>x*,（19） 其中c*= e-斧头*（a）- a） /a是常数，a>a>0和x*∈ R是风险规避变化的点。DARA Ccontinuous函数W代表了一个风险厌恶程度不断降低的非常数投资者：财富越高，风险厌恶程度越低，因此投资组合对风险越高的资产的暴露程度越高。就Post、Fang和Kopa的论文[31]而言，分段指数ARA效用函数在分析Vickson[39]引入的递减绝对风险厌恶随机优势中起着重要作用。我们注意到，上述效用函数的绝对风险规避系数为-U（x）/U（x）≡ A和-W（x）/W（x）≡ a（x≤ x个*) 或a（x>x*) 取决于x的值。

我们的目标是比较与持续风险厌恶和增加风险厌恶相对应的投资组合绩效。我们使用了以下参数值：定期流入投资组合ε=1（时间单位设置为一年），利率r=0，时间范围T=10年。用于求解φ的准线性PDE（10）的数值离散化参数为h=0.05，k=0.05h。我们在有界空间域中求解（10）[xL，xR]=[ln（0.01），10]。我们从（9）中计算出函数α，然后求解（10）在ν的域上∈ [-1，15]中的离散化步骤0.005。德国DAX 30指数中包含的30项资产的参数u和∑是根据2010年8月至2012年8月期间的历史数据（与[16]中使用的数据集相同）计算得出的，表1总结了其中的一部分。表中选择的资产在【16】中产生了最高的投资组合权重。我们考虑了∈ {1，····，15}用于函数U和a∈ {4，···，15}，a=a- 3，x*= 2用于功能W。我们选择了下降3/10的S.KILIANOV\'a和D.SEVˇCOVIˇCTab。1、摘自DAX 30指数六支股票的协方差矩阵∑partand mean Returns：默克、大众、SAP、费森尤斯医疗、林德、费森尤斯。根据2010年8月至2012年4月的历史数据。资料来源：财务。雅虎。com，[16]。∑partMerck VW SAP Fres Med Linde Fres Mean returnMerck 1.6266-0.0155-0.0104-0.0146-0.0017-0.0033 0.7315VW-0.0155 0.1584 0.0345 0.0292 0.0569 0.0238 0.3413SAP-0.0104 0.0345 0.0516 0.0183 0.0240 0.0143 0.1877 Fres Med-0.0146 0.0292 0.0183 0.0434 0.0227 0.0248 0.2202Linde-0.0017 0.0569 0.0240 0.0227 0.0530 0.0201 0.1932参考图-0.0033 0.0238 0.01430 0.0248 0.0201 0.0386 0.1351因此，结果的差异更为显著。

在实践中，可以任意选择参数a中的仓位和跳跃大小。下面我们定义了一个新的投资组合绩效度量。为了说明其价值和行为，我们对投资期T内的投资组合价值演变进行了模拟，从投资组合价值x=0开始，在常规时间实例1/dt=20，dt=0.05.7.2中，基于最优θ进行再平衡。风险调整后的投资组合绩效为了比较最优投资组合在风险厌恶程度不变和降低的情况下的绩效，我们基于每个效用函数的最优θ进行了5000次模拟，并评估了它们的风险性。为此，我们首先假设，如果v是从蒙特卡罗模拟中获得的随机变量的实现向量，则风险值和条件值的经验估计值为β级∈ （0，1）（通常β在0.01和0.05之间）计算为v aRβ（v）=F-1（β），CV aRβ（v）=E（v | v≤ V aRβ（V）），其中F-1（β）是随机变量v的相应经验分布的分位数（参见风险度量文献，如McNeil等人【25】或P flug和R¨omisch【30】等）。此外，我们可以定义所谓的条件值A风险偏差，即CV aR与期望值的距离，CV aRDβ（v）=E（v）- CV aRβ（v），（c.f.[30]）。该指标根据回报率与其预期值的向下偏差来评估投资风险的大小。Wiesinger[40]中还提供了其他风险调整措施的可能性。

为了查看经过风险调整的性能，我们可以考虑标准夏普比[36]SR（v）=E（v）- rStD（v）或条件夏普比率，该比率首次由Agarwal和Naik【2】用于性能测量，定义为SRCV aRβ（v）=（E（v）- r） /CV aRβ（v），另见Lin和Ohnishi【23】。Biglova等人[8]分析的Rachev比率是衡量预期效用最大化和条件风险价值偏差11a投资组合风险调整后绩效的另一个重要指标（其他投资组合绩效指标调查也见[11]）。标准夏普比率背后的思想是将投资组合收益率调整为风险，在这种情况下，风险由所考虑回报的标准偏差表示，表征随机回报实现在平均值周围的分布程度。平均回报率越高，CV aRβ的值就越高。从这个意义上讲，条件夏普比率可以提供神秘的结果。另一方面，CV aRDβ测量与平均值的一定距离，因此它是夏普比率分母中标准偏差的更合适替代品。有鉴于此，我们定义了一种新的风险调整绩效衡量标准。定义7.1。设β>0为风险水平下的给定条件值，r为利率，v为随机变量。我们定义了基于风险偏差的条件值，即夏普比率，即β（v）=E（v）- rE（v）- CV aRβ（v）。（20） 我们将评估标准夏普比率及其基于CV aRD的版本。7.3. 结果图2显示了从求解（9）中获得的最佳权重θ（ν），在我们的示例中，该权重与效用函数、时间t甚至财富x无关。在下一行中，该图显示了效用函数U和W在每个整数实例τ={0，1，···，t}下的解ν（x，τ）到PDE（10）。

解ν（x，τ）的有界性遵循抛物线最大值原理（c.f.[16]）。对于常数a，函数Д（x，τ）是递增的。然而，对于阶跃风险规避，Д（x，τ）不再是单调的。与^θ（Д）图相关的^的界限决定了哪些资产将进入具有非零权重的最优投资组合（有关该资产的更多信息，请参见[16]）。注意，在我们设置的函数α中，最优^θ与x和t变量无关。图中的第3行和第4行显示了在所选时间实例τ=0、1和T/2时，最优投资组合权重^θ作为x的函数。我们可以看到，只有少数股票以非零权重进入投资组合。表2总结了效用函数U和W的平均值E（xT）、标准偏差StD（xT）和CV aRβ（xT），β=0.05，使用最优θ和Euler-Maruyama数值积分法对过程（1）进行5000次模拟计算得出。这些度量值以及其他一些度量值如图2所示（左和中）。结果表明，效用函数W在风险厌恶参数a中具有阶跃递减性，可以产生较高的平均收益，但通过标准差或条件风险值衡量的风险值也较高。这让人怀疑这是否意味着投资组合表现更好或更差。为了能够回答这个问题，我们计算了夏普比率。效用函数U和W的夏普比如图3（右）所示，并在表3中汇总。我们可以看到，效用函数W的两个夏普比率都较低，风险厌恶程度降低，这说明（至少在本例中）风险厌恶程度较低时，相关投资组合的风险调整绩效较差。12秒。

KILIANOV\'A和D.ˇSEVˇCOVIˇC0 5 10 1500.20.40.60.81θ作为ДДθ（Д）的函数-5 0 5 10-20246810xД（x，τ）溶液Д（x，τ）-5 0 5 10-20246810xД（x，τ）溶液Д（x，τ）-4.-2 0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81xθ（x，τ=0）τ=0时的最佳投资组合权重-4.-2 0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81xθ（x，τ=1）τ=1时的最佳投资组合权重-4.-2 0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81xθ（x，τ=T/2）τ=T/2时的最佳投资组合权重-4.-2 0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81xθ（x，τ=0）τ=0（t=t）时的最佳θ（x，τ）-4.-2 0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81xθ（x，τ=1）τ=1时的最佳投资组合权重-4.-2 0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81xθ（x，τ=T/2）τ=T/2Fig时的最佳投资组合权重。2、顶行：最佳θ作为ν的函数。第2行：常数a=9（左）的效用函数U和a=9、a=6、x的DARA效用函数W的解Д（x，τ）*= 2（右）。第3行和第4行：τ=0，1，T/2时的最优投资组合权重θ（x，τ），分别对应于效用U和W。预期效用最大化和条件风险价值偏差13选项卡。2.

CARA/DARAutility函数的预期终端财富xu和xwt，以及从5000个风险规避参数的各种常数值模拟中获得的相关风险1≤ 一≤ 15英寸U和4英寸≤ 一≤ 15和a=a- 3英寸宽，β=0.05。a E（xUT）E（xWT）StD（xUT）StD（xWT）CV aRβ（xUT）CV aRβ（xWT）1 4.8268–0.91408–2.9881–2 4.7217–0.83286–3.0682–3 4.4761–0.63456–3.1974–4 4 4.4191 4.8218 0.60852 0.91187 3.2022 2 2.99095 4.2885 4.623 0.54216 0.73034 3.1983 3.15216 4.2558 4.5464 0.5300.53 68741 3.193 3.17627 4.1762 4.3673 0.49907 0.57756 3.1733 3.20458 4.1498 4.3252 0.49078 0.56093 3.1662 3.20239 4.0764.2031 0.47382 0.52577 3.1222 3.133710 4.0452 4.1755 0.45697 0.49899 3.1266 3.172811 3.9955 4.1267 0.45243 0.48209 3.065 3.157412 3.9779 4.1024 0.44967 0.47511 3.0617 3.149613 3.9643 4.0429 0.44432 0.45673 3 3 3 3 3.0676 3.124914 3.9528 4.0239 0.43877 0.45198 3.0687 3.117315 3.9652 4.0742 0.44389 0.48028 3.0846 3.12810 5 10 152345678最终平均值和风险度量E（xT）E（xT）±Std（xT）VaRβ（xT）CVaRβ（xT）0 5 10 150.511.522.5最终风险偏差E（xT）-VaR（xT）E（xT）-CVaR（xT）0 5 10 15246810aSharpe比率，用于常数a SRStdSRCVaRD0 5 10 152345678最终平均值和风险度量E（xT）E（xT）±Std（xT）VaRβ（xT）CVaRβ（xT）0 5 10 150.511.522.5最终风险偏差E（xT）-VaR（xT）E（xT）-CVaR（xT）0 5 10 15246810aSharpe比率-常数a SRStdSRCVaRDFig。3、效用函数U（ora=a，a=a）风险规避参数a的各种常数值的预期终端财富和相关风险（左）- 3对于第二行的W），终端风险偏差（中间）和相应的基于StD和基于CV aRDβ的Sharperatios（右）。结果来自5000次模拟。14 S.KILIANOV\'A和D.SEVˇCOVIˇCTab。3.

风险规避参数1各种常数值的基于StD和基于CV aRDβ的Sharperatios数值≤ 一≤ 15英寸U和a=a和a=a- 3英寸宽（见图3）。a SR SRCV aRDaaSR SRCV aRD1 5.2805 2.6251---2 5.6693 2.8556---3 7.0539 3.5005---4 7.2620 3.6314 4 1 5.2878 2.63365 7.9100 3.9337 5 6.3299 3.14306 8.0218 4.0043 6 3 6 6.6138 3.31817 8.3680 4.1641 7 4 7 7.5616 3.75588 8 8 8 4.4555 4.2190 8 7.7108 3.85189 8 8 8.6024 4 4.2734 9 6 7.999 42 3.930310 8.8522 4.4037 10 7 8.3679 4.164311 8.8312 4.2939 11 8 8 8.5600 4.257412 8.8463 4.3417 12 9 8.6346 4.3056138.9222 4.4210 13 10 8.8518 4.404014 9.0088 4.4710 14 11 8.9028 4.438515 8.9328 4.5028 15 12 8.4830 4.30638. 结论我们比较了基于终端效用最大化的随机动态投资组合优化的结果。对于不同的终端效用函数，我们评估了基于风险偏离条件值的夏普比率来衡量动态投资组合的风险。我们分析了基于CV aRD的Sharpe比率如何依赖于achosen效用函数的形状。我们表明，采用递减的绝对风险厌恶效用函数会产生更高的平均回报，但同时，与与恒定的绝对风险厌恶效用函数对应的结果相比，通过标准偏差或条件风险值测量的风险值更高。此外，我们还通过基于风险偏差的夏普比率的条件值对投资组合绩效结果进行了比较。我们发现，风险厌恶程度越低，关联投资组合的风险调整绩效越差。致谢我们感谢裁判们的宝贵意见和建议，这些意见和建议改善了比赛结果的呈现。作者得到VEGA 1/0062/18拨款和斯洛伐克共和国教育部DAAD拨款的支持。R E F E R E N C E S【1】R.Abe和N.Ishimura。