期望效用最大化与条件风险价值

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英文标题：
《Expected Utility Maximization and Conditional Value-at-Risk
  Deviation-based Sharpe Ratio in Dynamic Stochastic Portfolio Optimization》
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作者：
Sona Kilianova, Daniel Sevcovic
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we investigate the expected terminal utility maximization approach for a dynamic stochastic portfolio optimization problem. We solve it numerically by solving an evolutionary Hamilton-Jacobi-Bellman equation which is transformed by means of the Riccati transformation. We examine the dependence of the results on the shape of a chosen utility function in regard to the associated risk aversion level. We define the   Conditional value-at-risk deviation ($CVaRD$) based Sharpe ratio for measuring risk-adjusted performance of a dynamic portfolio. We compute optimal strategies for a portfolio investment problem motivated by the German DAX 30 Index and we evaluate and analyze the dependence of the $CVaRD$-based Sharpe ratio on the utility function and the associated risk aversion level.
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中文摘要：
本文研究了一类动态随机投资组合优化问题的期望终端效用最大化方法。我们通过求解演化的Hamilton-Jacobi-Bellman方程来数值求解它，该方程通过Riccati变换进行变换。我们检验了结果对所选效用函数形状与相关风险厌恶水平的依赖性。我们定义了基于条件风险价值偏差（CVaRD$）的夏普比率，用于衡量动态投资组合的风险调整绩效。我们计算了一个由德国DAX 30指数驱动的组合投资问题的最优策略，并评估和分析了基于美元CVaRD的夏普比率对效用函数和相关风险厌恶水平的依赖性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Expected_Utility_Maximization_and_Conditional_Value-at-Risk_Deviation-based_Shar.pdf (599.9 KB)

2022-6-11 01:38:40 上传

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关键词：效用最大化 期望效用 风险价值 最大化 Optimization

K Y B E R N E T I K A-M A N U S C R I P T P E V I E E E E E E E E E E E E E V I E E预期效用最大化和基于条件价值风险偏差的SHARPE比率的动态随机投资组合优化soˇna Kilianov'A和DanielˇSev Iˇcovi在本文中，我们研究了动态随机投资组合优化问题的预期终端效用最大化方法。我们通过求解一个演化的Hamilton-Jacobi-Bellman方程进行数值求解，该方程通过Riccatitransformation进行变换。我们检验了结果对所选效用函数形状与相关风险厌恶水平的依赖性。我们定义了基于风险偏差条件值（CV aRD）的夏普比率，用于衡量动态投资组合的风险调整绩效。我们计算了一个由德国DAX 30指数激励的组合投资问题的最优策略，并评估和分析了基于CV aRD的Sharpe比率对效用函数和相关风险规避水平的依赖性。关键词：动态随机投资组合优化、Hamilton-Jacobi-Bellman方程、条件风险价值、基于CV-aRD的Sharpe比率分类：35K55、34E05、70H20、91B70、90C15、91B161。引言与风险度量相关的预期效用理论是一个有趣的话题，许多作者在文献中对此进行了研究。在实践中，了解最大效用法与风险度量之间的关系，如示例风险值（V aR）或条件风险值（CV aR），对投资者很有用。塞克等人在[35，3]中研究了风险度量和损失储蓄效用函数的参数化家族之间的联系。

对于每个风险度量，它们提供了一类关联效用函数，对于这类函数，风险度量约束下的收益最大化问题和效用函数类上的最大-最小优化问题是等价的。他们发现所考虑的效用函数的参数与相应风险度量的给定水平相等。郑[43]研究了终端财富预期效用最大化和效用损失CV aro最小化的有效前沿问题。作者通过加权参数惩罚其中一个或另一个，寻求效用最大化和CV aR最小化之间的最佳权衡。Denuit等人在【10】和其他来源中研究了风险度量和效用概念之间的关系。DOI:2 S.KILIANOV\'A和D.SEVˇCOVIˇ在本文中，我们研究了非常数风险厌恶对多期投资组合优化结果的影响。我们通过在分母中使用CV aRD度量值而不是标准偏差来评估另一种夏比。据我们所知，所提出的基于CV ARD的Sharpe比率是一个新概念，因此它与效用最大化方法无关。我们分析了基于信用卡的夏普比率如何取决于所选效用函数的形状，重点是相关的风险规避参数。

用于预期效用最大化问题的方法基于数值求解演化Hamilton-Jacobi-Bellman方程，该方程首先通过Riccati变换进行变换。我们计算了一个由德国DAX 30指数激励的组合投资问题的最优策略，并评估和分析了基于CV ARD的Sharpe比率对效用函数和风险厌恶的依赖性。作为解决相关终端效用最大化问题的工具，我们推广了Kilianov\'a和_Sev_covi_c[16]中的数值方法，其中作者考虑了启用定期储蓄的动态投资组合选择问题。利用优化问题值函数的Riccati变换，提出并分析了相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的解。本文将变换过程推广到具有任意漂移和波动函数的更一般过程。这允许考虑更一般的过程，例如上述论文中研究的标准动态投资组合选择问题，或Kilianov\'a和Trnovsk\'a论文[17]中研究的最坏情况投资组合优化，或任何其他具有任意漂移和波动函数的问题。本文的组织结构如下。在下一节中，我们将总结对潜在随机过程所做的基本假设。在第三节中，我们提出了基于终端效用函数最大化的随机动态投资组合优化方法。由此导出了一个完全非线性的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的解。在第四节中，我们提出了一种通过Riccati变换将HJB方程转换为拟线性抛物方程的方法。第5节致力于分析投资组合优化过程中产生的价值函数。

第6节介绍了求解HJB方程的数值方法。最后，第7节重点介绍了风险度量及其在投资组合绩效评估中的应用。我们引入了所谓的基于CV-aRD的Sharpe比率，并针对各种风险规避设置，基于效用最大化方法计算该比率以进行最优投资组合选择。2、广义随机过程我们考虑一个满足随机微分方程（SDE）的基本随机过程{xt}：dxt=u（xt，t，θt）dt+σ（xt，t，θt）dWt（1），其中控制过程{θt}被采用到过程{xt}。这里{Wt}是标准维纳过程和函数（x，t，θ）7→ u（x，t，θ）和（x，t，θ）7→ σ（x，t，θ）是x，t和θ变量中的Csmooth。例2.1。作为随机过程（1）的一个例子，我们可以考虑一个定期储蓄的组合优化问题。在这种情况下，波动率函数由σ（x，t，θ）=θt∑θ给出，其中∑是资产回报的正定义协方差矩阵。预期效用最大化和条件风险值偏差3漂移函数由u（x，t，θ）=utθ给出-σ（x，t，θ）+εe-x+r，其中u是资产平均回报的向量，ε表示投资组合的流入/流出，可能取决于x和t变量。参数r≥ 0是无风险债券的利率。随机过程{xθt}是随机过程{y￠θt}t的对数变换≥0由随机微分方程dyθt=（ε+（r+u（θ））yθt）dt+σ（θ）yθtdWt驱动，其中θ（y，t）=θ（x，t），x=ln y（c.f.Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc[16]）。示例2.2。另一个例子是Kilianov\'a和Trnovsk\'a在[17]中研究的所谓最坏情况投资组合优化问题，其中波动率函数由σ（x，t，θ）=max∑给出∈KθT∑θ，其中K是正定协方差矩阵的不确定性集。

漂移函数由u（x，t，θ）=minu给出∈EuTθ-σ（x，t，θ）+εe-x+r，其中E是平均回报的给定不确定性集。3、动态随机优化问题在一个动态随机优化问题中，我们的目的是使投资组合的终端效用的条件期望值最大化：maxθ|[0，T）EU（xθT）xθ=x, （2） 其中{xθt}是有限时间范围内形式（1）的o随机过程[0，t]，U:R→ R是给定的终端效用函数，xa是给定的{xθt}在t=0时的初始状态条件。函数θ：R×[0，T）→ RN表示一个控制潜在随机过程{xθt}的未知控制函数。我们假设控制参数θ属于一个闭凸集 紧凸单纯形的Sn={θ∈ Rn |θ≥ 0，1Tθ=1} Rn，其中1=（1，···，1）T∈ 注册护士。如果我们引入值函数v（x，t）：=supθ|[t，t）EU（xθT）| xθT=x（3） 那么V（x，T）：=U（x）。根据Bertsekas【7】，值函数V=V（x，t）满足完全非线性Hamilton-Jacobi-Bellman HJB抛物方程（另见Kilianov\'aandˇSevˇcoviˇc【16】）：tV+最大θ∈u（x，t，θ）xV+σ（x，t，θ）十五= 0，（x，t）∈ R×[0，T），（4）V（x，T）=U（x），x∈ R、 （5）4。HJB方程到拟线性方程的RICCATI变换在求解HJB方程的背景下，RICCATI变换由Abe和Ishimura在[1]中提出，随后由Ishimura和ˇSevˇcoviˇc[14]，Xia[41]，4 S.KILIANOV\'A和D.ˇSevˇcoviˇc研究-1 0 1 2 3 4 5-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.2φα(φ)-1 0 1 2 3 4 500.20.40.60.81φα0(φ)-1 0 1 2 3 4 5-6.-5.-4.-3.-2.-101Дα00（Д）图1。关于函数α及其前两个导数的图解，例如4.1。Macov\'a和ˇSevˇcoviˇc【24】、Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc【16】、Kilianov\'a和Trnovsk\'a【17】。值函数V的Riccati变换定义如下：Д（x，t）=-xV（x，t）xV（x，t）。

（6） 假设值函数V（x，t）在x变量中增加。当终端效用函数U（x）是x变量中的递增函数时，这是一个自然的假设。HJB方程（4）可改写如下：电视- α（x，t，ν）xV=0，V（x，T）=U（x），（7），其中α（x，T，Д）是以下参数优化问题的值函数：α（x，T，Д）=minθ∈-u（x，t，θ）+Дσ（x，t，θ）. （8） 示例4.1。在随机动态投资组合优化问题中，我们有u（x，t，θ）=utθ-θT∑θ+εe-x+r，σ（x，t，θ）=θt∑θ，其中∑是正定义协方差矩阵。因此，函数α（x，t，Д）可以写成如下：α（x，t，Д）=α（Д）- εe-x个- r、 式中，|α是参数二次优化问题的值函数|α（Д）=minθ∈-uTθ+Д+1θT∑θ. （9） 图1描述了从DAX30数据集获得u和∑的函数α的图形示例。在下面的内容中，我们将使用符号xα表示函数α（x，t，ν（x，t））的总差值，即。xα（x，t，Д（x，t））：=αx（x，t，Д（x，t））+αД（x，t，Д（x，t））xД（x，t），其中αxa和αД分别表示函数α=α（x，t，Д）相对于x和Д的偏导数。期望效用最大化和条件风险值偏差5在【16】中，我们研究了一类具有上例中讨论的漂移和方差函数的问题。下一个定理的目标是将Riccatitransformation方法（见[16，定理3.3]）扩展到形式（1）更广泛的随机过程，具有一般漂移和方差函数，包括Kilianov\'a和Trnovsk\'a在[17]中研究的最坏情况下动态投资组合优化的特别重要应用。定理4.2。假设U:R→ R是一个不同的增长函数。

当且仅当变换后的函数φ=-xV（x，t）/xV（x，t）是拟线性抛物型偏微分方程的解：tИ+x个(xα（·，Д）- α（·，Д）Д）=0，（x，t）∈ R×[0，T），（10）Д（x，T）=-U（x）/U（x），x∈ R、 （11）andV（x，t）=a（t）+b（t）Zxxe-RξxД（η，t）dηdξ（12），其中b（t）=U（x）e-RTtω（τ）dτ，a（t）=U（x）-RTtγ（τ）b（τ）dτ以及函数γ和ω由γ（t）：=α（Д（x，t），x，t），ω（t）：=xα（Д（x，t），x，t）-α（Д（x，t），x，t）Д（x，t），其中x∈ R是一个固定的实数。设V是满足终端条件（5）的HJB方程（4）的解，并且xV（x，t）>0（x，t）∈ R×[0，T）。因此V解（7），即。tV=α（x，t，ν）xV式中，Д=-十五/十五。自从tД=-x个电视十五+十五x个电视(xV）=-x个电视十五- φx个电视十五、，xV=-φ十五、和xV=-x（^1）xV）=（Д）- x^1）xV，根据方程式电视- αxV=0，满足：tД=-十五xα十五+二xαxV+α十五+五xαxV+Дα十五= -十五xα十五- φxαxV+α（Д- x^1）十五- φα 十五= -xα- φxα- α xх=-x个(xα- αφ) .这意味着函数Д是柯西问题（10）–（11）的解决方案。此外，通过对（7）中x的微分，我们得到t型xV=x（α十五）=xαxV+αxV=(xα- α φ)十五。取x=x，我们得出结论t型xV（x，t）=ω（t）xV（x，t）。像xV（x，T）=我们得到的U（x）xV（x，t）=U（x）e-RTtω（τ）dτ=b（t）。此外，作为tV（x，t）=α（x，t，ν（x，t））xV（x，t）=γ（t）b（t）和V（x，t）=U（x），我们得到V（x，t）=a（t）。自Д（x，t）=-xV（x，t）/xV（x，t）我们得到a（t）+b（t）Zxxe-RξxД（η，t）dηdξ=a（t）+b（t）ZxxeRξxηV（η，t）/ηV（η，t）dηdξ=a（t）+b（t）xV（x，t）ZxxξV（ξ，t）dξ=V（x，t），6 S.KILIANOV\'A和d.SEVˇCOVIˇCas声称。现在，如果ν解（10）–（11），则（12）给出的函数V（x，t）满足-xV（x，t）/xV（x，t）=Д（x，t）。

此外，V（x，T）=a（T）+b（T）Rxxe-RξxД（η，T）dηdξ=U（x）+U（x）RxxeRξxU（η）/U（η）dηdξ=U（x）。函数V（x，t）在x变量中增加为xV（x，t）=b（t）e-RxxД（ξ，t）dξ>0。现在，当da/dt=γb和db/dt=ωb和xV（x，t）=b（t）e-我们得到的RxxД（η，t）dηtV（x，t）=dadt（t）+Zxxdbdt（t）e-RξxД（η，t）dη- b（t）e-RξxД（η，t）dηZξxtД（η，t）dηdξ=γ（t）b（t）+ω（t）（V（x，t）- a（t））-Zxx公司ξV（ξ，t）ZξxtИ（η，t）dη！dξ。自从tД=-x个(xα- αД）和ZxxξV(ξα - αД）dξ=α十五- γ（t）b（t）+Zxx-ξVα- ξVαДdξ=α十五- γ（t）b（t）我们有xxtД（η，t）dη=- (xα（x，t，ν（x，t））- α（x，t，Д（x，t））Д（x，t））+ω（t）。因此tV（x，t）α（x，t，Д（x，t））xV（x，t）=α（x，t，-十五/十五）xV（x，t），这意味着V（x，t）解（7），从而解HJB方程（4）–（5）。参数二次规划问题在本节中，我们分析通过凸优化问题（8）定义的最优值函数α（x，t，ν）的定性性质。用Ck表示k阶导数为Lipschitz连续的所有函数的空间。以下结果是[16，定理4.1]对于更一般漂移和波动率函数的一般化。定理5.1。假设函数（x，t，θ）7→ u（x，t，θ）和（x，t，θ）7→ σ（x，t，θ）是x，t和θ变量中的Csmooth，因此目标函数f（x，t，Д，θ）：=-u（x，t，θ）+Дσ（x，t，θ）在θ变量中严格凸∈ （最小值），∞).假定  SNI是一个闭凸集。那么（8）中定义的最优值函数α（x，t，Д）是x的C1,1连续函数∈ R、 t型∈ [0，T），Д>Д最小值。此外，Д7→ α（x，t，Д）是一个严格递增函数，αД（x，t，Д）=σ（x，t，^θ（x，t，Д）），（13），其中^θ（x，t，Д）∈   sni是（8）的唯一最小值，对于Д>Дmin。此外，函数R×[0，T）×（Дmin，∞) 3（x，t，Д）7→^θ（x，t，ν）∈ Rnis Lipschitz连续。P r o f。

映射（x，t，ν）7→^θ（x，t，ν）∈ Rn是连续的，可以直接从紧凸集上最小化的严格凸函数的基本性质推导出来  序号：。预期效用最大化和条件风险价值偏差7f（x，t，Д，θ）：=-假设（8）中的u（x，t，θ）+Дσ（x，t，θ）在变量θ中是严格凸的。因此存在一个唯一的极小值^θ≡^θ（x，t，Д）至（8）。此外，由于^θ（x，t，Д）的连续性，f^（x，t，Д），^θ（x，t，Д））=σ（x，t，Д，^θ（x，t，Д）在（x，t，Д）中是连续的。根据米尔格罗姆（Milgrom）和西格尔（Segal）[27，定理2]提出的包络定理，函数α（x，t，Д）可微分为（x，t，Д）∈ R×[0，T）×（Дmin，∞).函数f（x，t，ν，θ）对于任何（x，t，θ）都是线性的。因此，对于任何θ，它都是绝对连续的。再次，应用[27，定理2]，我们得到αД（x，t，Д）=fД（x，t，Д，^θ（x，t，Д））=σ（x，t，Д，^θ（x，t，Д））>0。因此Д7→ α（x，t，ν）是一个连续且递增的函数，其ν>Дmin。αИ（x，t，ν）的局部Lipschitz连续性现在来自Klatte在[18]中证明的一般结果（另见Aubin[5]）。根据【18，定理2】，函数^θ（x，t，ν）是Lipschitz连续的。因此，导数αД（x，t，Д）=σ（x，t，Д，^θ（x，t，Д））也是局部Lipschitz连续的。备注5.2。函数Д7→ α（x，t，ν）不需要Csmooth，正如Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc在【16】中所示。如果设置 如果不是凸的，则^θ（x，t，ν）不必是连续的，因此，α不必是光滑的。数值近似模式在本节中，我们回顾了一种半隐式数值方法，用于解决[16]中提出和分析的柯西问题。该方法基于有限体积近似方案（参见LeVeque[22]），结合Mikula和K’utik在[21]中提出的非线性方程迭代求解方法。