针对市场模型的对数最优投资组合和num\eraire投资组合

对于这个随机时间，我们将非递减过程D和过滤G=（Gt）t联系起来≥0给定比亚迪：=I[[τ+∞[[，Gt：=Gt+其中Gt：=英尺∨ σ（Ds，s≤ t） 。（2.1）很明显，G ma表示τa停止时间。事实上，正是满足通常条件的最小过滤使τ成为停止时间并包含F。这是F随τ的逐步增大。在D和G侧，与τ密切相关的其他F适应过程在我们的分析中起着中心作用。其中，以下生存概率，在文献中也称为Az'e ma Supermartingales，由gt给出：=o，F（I[[0，τ[[]）t=P（τ>t | Ft）和gt：=o，F（I[[0，τ]]）t=P（τ≥ t | Ft），（2.2），而过程m：=G+Do，F，（2.3）是F-鞅。那么，感谢【3】和【10】，我们提出以下索赔。定理2.1以下断言成立。（a） 对于任何M∈ Mloc（F），过程t（M）：=Mτ-如-1I]]0，τ]]o[M，M]+I]]0，τ]]o十、MI{eG=0<G-}p、 F，（2.4）是G-局部m鞅。（b） 我们总是有：=D-如-1I]]0，τ]]oDo，F∈ 米（克）∩ 随机视界7和HoNG下的A（G），（2.5）对数相关投资组合∈ Mloc（克）∩ 属于OLOC（NG，G）的任何H的Aloc（G）：=nK∈ O（F）|K | GeG-1I{eG>0}oD∈ p的A+loc（G）o.（2.6）∈ [1, +∞) σ-代数HOhm × [0, +∞[，我们定义了Lploc（H，P D） 作为存在一系列F-stoppingtimes（Tn）n的所有进程X的集合≥1几乎可以肯定的是，这一数字会增加到整数倍（H，P D） 给定byLp（H，P D） :=X H-可测量E[| Xτ| pI{τ<+∞}] < +∞. （2.7）对（Sτ，G）所有指标集的明确描述对于我们在接下来的章节中进行的对数最优和数量组合分析至关重要。

因此，我们首先回顾delators的数学定义。定义2.2设X为H-半鞅，Z为过程。如果Z>0，则我们将Z定义为（X，H），并且对于任何∈ L（X，H）使得十、≥ -（X，H）的所有过滤器组将用D（X，H）表示。在本文中，D（X，H）的以下子集将非常有用dLog（X，H）：=nZ∈ D（X，H）E类[- ln（ZT）]<+∞o、 （2.8）以下引用自[8]，并明确地参数化了D（Sτ，G）。定理2.3假设G>0，并设T（·）为（2.4）中定义的运算符。那么下面的断言就成立了。（a） ZG是（Sτ，G）的一个定义（即ZG∈ D（Sτ，G））当且仅当存在唯一ZF、Д（o）、Д（pr）使ZF∈ D（S，F），（Д（o），Д（pr））属于OLOC（NG，G）×Lloc（Prog（F），P D） ，^1（pr）>-1.-eG/G<Д（o），Д（o）（eG- G） <例如，P D-a.e.，（2.9）和ZG=（ZF）τe（G-1.-om） τE（Д（o）oNG）E（Д（pr）oD）。（2.10）（b）对于任何K∈ M0，loc（F），我们总是有E（K）τ/E（G-1.-om） τ=ET（K- G-1.-om）∈ Mloc（G）。（c） 过程1/E（G-1.-om） τ是G-鞅，对于任何T∈ (0, +∞)我们用eqt表示概率度量由deqt给出：=ET公司∧τG-1.-om级-1dP。（2.11）8 Tahir Choulli，Sina Yansori3 N um'eraire随机水平下的投资组合本节讨论τ对num'eraire e投资组合的影响。为此，我们首先给出定义1.1的数学意义，如下所示。定义3.1设（X，H，Q）为市场模型，其中H为过滤，qi为概率测度，X为Q下的H-半鞅。（a）投资组合θ是一个可预测的过程，是X-可积的（即θ∈ L（X，Q，H））。与投资组合和初始资本对（θ，x）（即x>0）相关的财富过程Wθ由Wθ给出：=x+θox.（3.1）（b）设θ为投资组合A，x>0为初始资本l。

如果对（θ，x）的财富过程满足Wθ>0和Wθ-> 0，则过程ν（θ）：=θ/Wθ-被称为投资组合利率，（3.2）备注3.2（a）重要的是要备注，投资组合利率Д（θ）不取决于初始资本x，而仅取决于投资组合θ。此外，三重t（θ，x，Д（θ））也满足Wθ=xE（Д（θ）ox）。（b） 如果D（X，H）6=, 对于Wθ>0的任何对（θ，x），我们也有Wθ-> 0且投资组合利率存在。因此，在这种情况下，假设x=1，则解决问题（1.2）不会失去普遍性。（c） 通过比较定义2.2和1.1，很明显，如果存在（X，H）的数字raireportfolio rateφ，则nez：=1/e（eφoX）属于D（X，H）。下面，我们详细说明本节的主要结果。定理3.3假设G>0。那么下面的断言就成立了。（a） （S，F）的num'eraire投资组合存在，当且仅当（Sτ，G）的num'eraire投资组合也存在时。（b） 如果eД是（S，F）的num'eraire投资组合利率，则eДI]]0，τ]]是（ST）的num'eraire投资组合利率∧τ、 G，eQT），对于任何T∈ (0, +∞), 式中，等式由（2.11）给出。（c） 如果eДGis为（Sτ，G）的num'eraire投资组合利率，则p，F（eДGI]]0，τ]]）/G-（Sσ，F，bQσ）的isnum'eraire投资组合利率，对于任何F-停止时间σ，e（G-1.-om） σ是mart ingale，其中dbqσ：=Eσ（G-1.-om） dP。（3.3）在此，我们讨论了该定理的一些组成部分及其重要意义和贡献，随后将给出其证明。[8，命题3.4和定理4.2]的因维（适用于常数过程≡ 1） ，过程(-G-1.-oT（m））=1/E（G-1.-om） τ是G-鞅，henceeqt是任何T∈ (0, +∞). 由于[12，Theo-rem 2.8]（se e也[32]）与[1，定理2.15]和[2，定理2.4或2.7]的结合，很明显，在G>0的条件下，断言（a）的证明紧随其后。

因此，在随机视界9定理下，我们的日志相关投资组合的主要贡献在于准确而明确地描述（Sτ，QG，G）的num'eraire投资组合如何从（S，QF，F）的num'eraire投资组合和viceversa中获得，其中QG和QF分别是GT和FTF上的概率，它们随机量化了τ如何承担相关风险。定理3.3的证明。根据上述讨论，该证明仅涉及断言（b）和（c），将分两部分给出。第1部分。这里，我们证明断言（b）。假设存在（S，F）的num'eraire投资组合，并用e^1表示其num'eraire投资组合比率。因此，对于任何∈L（S，F）∩ L（S，F），进程x：=E（ДoS）/E（EДoS）是一个F-超鞅。因此，根据命题B.2-（a），存在唯一的M∈ Mloc（F）anda非减量和F-可预测过程V，使得X=E（M）exp(-V）。因此，根据定理2.3-（b）（另见[8，命题3.4]），表明E（M）τ/E（G-1.-om） τ是G-局部鞅，我们推导出Xτ/E（G-1.-om） τ是G-超鞅，或等价于Xτ∧在（2.11）中给出的等式下，对于任何T∈ (0, +∞). As^1跨越集合L（S，F）∩ L（S，F），则a定理（b）的证明遵循引理a.1-（b）和（c）。第2部分。这一部分证明了断言（c）。假设（Sτ，G）存在num'eraire p ortfolio，并通过eGits p ortfolio rate表示。然后将φF：=p，F（eφGI]]0，τ]]）/G-,并注明：ДF=eДGon]]0，τ]]，和ДF∈ L（S，F）∩ L（S，F）由于LemmaA。1-（b）和（c）。然后对于任何∈ L（S，F）∩L（S，F），过程E（ДoS）τ/E（ДFoS）τ是G-超鞅。因此，对于F-停止时间σ，e（G-1.-om） σ是鞅，对于任何0≤ s≤ t型≤ σ、 我们有Et公司∧τ（ДoS）Et∧τ（ДFoS）Gs公司I{τ>s}≤Es（ДoS）Es（ДFoS）I{τ>S}。通过对两边的Fson取条件期望，我们得到Et公司∧τ（ДoS）Et∧τ（ДFoS）I{τ>S}Fs公司≤ GsEs（ДoS）Es（ДFoS）。

（3.4）这是我们永远的天堂∧τ（ДoS）Et∧τ（ДFoS）I{τ>S}=Et（ДoS）Et（ДFoS）I{τ>t}+ZtsEu（ДoS）Eu（ДFoS）dDu。通过插入此和G=GE(-如-1oDo，F）E（G）-1.-om） 在（3.4）中，我们导出了bqσEt（ДoS）Et（ДFoS）Et(-eGoDo，F）+ZtsEu（ДoS）Eu（ДFoS）Eu(-例如，Do，F）dDo，府谷Fs公司≤Es（ДoS）Es（ДFoS）Es(-如-1oDo，F）10 Tahir Choulli，Sina YansoriThen put Xu：=欧盟∧σ（ДoS）/欧盟∧u的σ（ДFoS）≥ 0，并推导出上述不等式等价于(-eGoDo，F）σ+XGEu公司(-例如，Do，F）oDo，Fσ是（F，bQσ）-上鞅。通过组合E(-如-1oDo，F）/G=E-(-如-1oDo，F）/eG通过partformula积分，我们推导出上述事实等价于E-(-如-1oDo，F）oxb是F-上下界qσ。因此，我们得出结论，X是qσ下的非负F-局部上鞅，因此断言（c）紧随其后。这就结束了定理m的证明。推论3.4以下断言成立。（a） 假设E（G-1.-om） 是鞅。那么（Sτ，G）的num'eraire组合存在当且仅当对于任何T∈ (0, +∞), 存在（ST、F、bQT）的num'eraire投资组合，其中bQT由（3.3）给出。Fu r thermore，两个portfolioscoincide开]]0，τ∧ T]]。（b） 假设τ是一个伪停止时间（即，对于任何有界f鞅，e[Mτ]=e[M]）。（Sτ，G）的num'eraire组合存在当且仅当（S，F）的n um'eraire组合存在，且两个组合在]]0，τ]]上重合。证明断言（a）是定理3.3的直接结果，而断言（b）则是将断言（a）与τ为伪停止时间时，则m≡ 需要nc e e（G-1.-om） =1，对于任何T，Ft上的Bqt=P∈ (0, +∞). 这就结束了推论的证明。4（Sτ，G）的对数最优投资组合：存在性和二元性本节量化了τ对对数最优投资组合存在性的影响，从而得出了答案（1.6），这完全不是技术性的。

根据【9，定理1】，见附录中的定理D.1，处理对数最优投资组合的实用且简单的方法是查看对偶集，即（2.8）给出的集Dlog（Sτ，G），或等效地解决对偶最小化问题minz∈Dlog（Sτ，G）E[- ln（ZT）]。（4.1）我们从定义Hellinger过程开始，之前在[15,17]中定义过。这些过程在量化τ所承载的信息时显得很自然。定义4.1设N为H-局部鞅，使得1+N>0.1）我们称为N的ze-ro阶Hellinger过程，用h（0）（N，h）表示，过程h（0）（N，h）：=H（0）（N，H）p、 当该投影存在时，其中H（0）（N，H）：=hNciH+X(N- ln（1+N） ）。（4.2）随机视界下的对数相关投资组合112）我们称N为熵海林格过程，用h（E）（N，h）表示，过程h（E）（N，h）：=H（E）（N，H）p、 当该投影存在时，其中H（E）（N，H）：=hNciH+X（（1+N） ln（1+N）- N） 。（4.3）3）设Qand Q是两个概率，使得Q<< Q和T∈ (0, +∞).如果QiT：=QiHT表示Qion HT（i=1，2），然后Hh（QT）的限制QT）：=等式dQTdQTlndQTdQT. （4.4）现在，我们正处于陈述本节主要结果之一的阶段。定理4.2假设G>0。那么以下断言是等效的。（a） 存在（Sτ，G）的对数最优投资组合，且eДGdenotes其投资组合率。（b） 存在K∈ Mloc（F）和一个非减量且F可预测的过程V，使得K=V=0，E（K）exp(-五）∈ D（S，F），安第斯例如o（V+H（0）（K，P））T+（G-oh（E）（G）-1.-om、 P）T- 香港，miFTi<+∞.（c） 对偶问题（4.1）有一个独特的解决方案，即存在一个唯一的问题∈ Dlog（Sτ，G）使minz∈D（Sτ，G）Eh- ln（ZT）i=Eh- ln（eZGT）i.（d）存在SEZF∈ D（S，F），使得（eZF）τ/E（G-1.-om） τ∈ Dlog（Sτ，G）和infzg∈D（Sτ，G）Eh- ln（ZGT）i=Eh- ln（eZFT∧τ/Eτ∧T（克-1.-om） ）i。

（4.5）此外，当三重态（eхG，eZG，eZF）存在时，它满足以下条件：e（eхGoSτ）=eZG=e（G-1.-om） τ（eZF）τ。（4.6）这个定理的重要性在于断言（b）和（d）以及（4.6）中的第二个等式。断言（b）为我们提供了一种检验（Sτ，G）的对数最优投资组合存在性的实用方法，而断言（d）和第二等式（4.6）描述了对数最优投资组合的最优偏差对偶的结构。在fa-ct中，根据[8]——另见定理2.3—，任何偏差ZGfor（Sτ，G）都是三个正交正局部鞅的乘积，这三个正局部鞅分别是三个o正交风险的偏差，并由F-可观测过程的一组（ZF，Д（0），Д（pr））表示。断言（d）声称，最优债务减免根本不承担“纯违约”风险，其三重特征采用（eZF，0，0）的形式。12 Tahir Choulli，Sina YansoriProof定理4.2（a）的证明<==> （c） 是TheoremD的直接应用。1对于模型（X，H）=（Sτ，G）（见等效值（c）<==> （d） ，而（d）==> （c） 这是显而易见的。因此，其余的证明集中于剩余的等价性和含义。为此，我们开始得出一些重要而有用的评论，我们在下面的引理中总结这些评论。引理4.3以下断言成立。（i） 对于任何ZG∈ Dlog（Sτ，G），存在ZF∈ D（S，F）使e- ln（ZGT）≥ 呃- 自然对数ZFT公司∧τ/ET∧τ（G-1.-om）i、 （4.7）（ii）我们总是有INFZG∈D（Sτ，G）E- ln（ZGT）= infZF公司∈D（S，F）Eh- 自然对数ZFT公司∧τ/ET∧τ（G-1.-om）i。

（4.8）（iii）如果采埃孚∈ D（S，F），使得（ZF）τ/E（G-1.-om） τ∈ Dlog（Sτ，G），有∈ M0，loc（F）和一个非减量且F可预测的过程V，使得V=K=0，ZF：=E（K）exp(-V）、andE“- lnZFT公司∧τET∧τ（G-1.-om） ！#=（4.9）Eh（G-oV+eGoH（0）（K，P））T- 香港，miFT+G-ohE（G-1.-om、 P）Ti。然后证明（c）==> （d） 将引理的（4.8）和断言（i）结合起来应用于ZG。因此，定理m的证明将随着我们证明（c）而结束<==> （b） 。为此，根据定理D.1，断言（c）等价于Dlog（Sτ，G）6=. 再次感谢（4.8），后一种说法成立的条件是且仅当存在ZF∈ D（S，F），使得（ZF）τ/E（G-1.-om） τ∈ Dlog（Sτ，G）。因此，等效性（c）<==> （b） 将这些事实与引理4.3-（iii）结合，立即形成如下形式。因此，本证明的其余部分分两部分重点介绍provingLemma 4.3。第1部分。在这里，我们证明引理4.3的断言（i）和（ii）。一方面，对于任何ZG∈ D（Sτ，G），我们应用定理2.3并推导出三重态的存在性ZF、Д（o）、Д（pr）属于D（S，F）×Ioloc（NG，G）×Lloc（Prog（F），P D） 和满意度（pr）>-1，P D- a、 e。，-蛋<Д（o）<eGeG- G、 P Do，F-a.e。。andZG=（ZF）τE（G-1.-om） τE（Д（0）oNG）E（Д（pr）oD）。（4.10）这意味着- ln（ZG）=- ln（（ZF）τ/E（G-1.-om） τ）- ln（E（Д（0）oNG））- ln（E（Д（pr）oD））。随机视界下的对数相关投资组合13因此，由于命题B.2-（c），我们得出ZG∈ Dlog（Sτ，G）i且仅当（ZF）τ/E（G-1.-om） τ属于Dlog（Sτ，G），且- 自然对数E（Д（0）oNG）和- 自然对数E（Д（pr）oD）是一致可积的G-子鞅，且（4.7）紧随其后。这证明了引理的断言（a）。

另一方面，由于定理2.3-（c），过程Zτ/E（G-1.-om） τ始终在Z时延伸至D（Sτ，G）∈ D（S，F）和henceinfZG∈D（Sτ，G）Eh- ln（ZGT）i≤ infZ公司∈D（S，F）Eh- ln（ZT∧τ/Eτ∧T（克-1.-om） 因此，通过将后一个不等式与引理的断言（i）相结合，我们得出结论，（4.8）a始终成立，并且证明了ass rtion（ii）。第2部分。这里，我们证明引理的断言（iii）。为此，我们考虑ZF∈ D（S，F）。因此，由于命题B.2-（a），我们推导出K的存在性∈ M0，loc（F）和一个非减量且F-可预测的过程V，使得V=K=0且ZF=E（K）exp(-V）。在此之前，我们推导出- ln（ZF）τE（G-1.-om） τ！=- ln（（ZF）τ）+ln（E（G-1.-om） τ）=G-局部鞅-一] ]0，τ]]G-ohK，miF+H（0）（K，P）τ+Vτ+I]]0，τ]]G-ohmiF- H（0）（G-1.-om、 P）τ。（4.11）注意两个过程I[[0，τ]]G-2.-ohmiFand H（0）（G-1.-om、 P）τhavevariance是F-局部可积的，并且一] ]0，τ]]G-ohmiF- H（0）（G-1.-om、 P）τp、 F=G-ohmiF-eGoH（0）（G-om、 P）p、 F=2G-ohmciF+G-oX个(mG公司-)p、 F级-XeG公司(mG公司-- ln（1+mG公司-))p、 F=2G-ohmciF+XG公司-(1 +mG公司-) ln（1+mG公司-) -mG公司-p、 F=G-oh（E）（G）-1.-om、 P）。（4.12）因此，通过将其与（4.11）、命题B.2-（B）和简单的事实相结合，U∈ A+（G）i ff Up，F∈ A+（F）对于任何非减量过程U，质量（4.9）立即遵循。这就结束了引理的证明。在实践层面上，我们从一个初始模型（S，F）开始，承认对数最优投资组合，并试图描述允许（Sτ，G）接受对数最优投资组合的τ模型。这归结为问题（1.7），其答案来自定理4.2，如下所示。14 Tahir Choulli，Sina YansoriTheorem 4.4假设G>0，存在（S，F）的对数最优投资组合。则（Sτ，G）的对数最优投资组合存在，当且仅当ifHG（PTeQT）=Eh（G-oh（E）（G）-1.-om、 P））Ti<+∞.

（4.13）此处h（E）（N，P），对于任何N∈ M0，loc（F），带1+N≥ 0和entropyHG（PT定义4.1给出了eQT），定义见（2.11）。定理D.1和命题B.2-（B），（S，F）的证明承认存在对数最优投资组合K∈ Mloc（F）和一个非减量且F-可预测的过程V，使得K=V=0，Z：=E（K）exp(-五）∈ D（S、F）、andE[- ln（ZT）]=E[VT+H（0）（K，P）T]<+∞.因此，由于引理B.1，我们得出结论，p[K，K]是一个可积过程（或等价地，K是一个鞅，使得sup0≤t型≤T | Kt |∈ 当m是BMO F鞅时，Mif具有可积变分。一、 e.存在一个正常数C>0，对于任何F-停止时间σ，σ，σ≤ σ、 我们有(mσ）+E[米，米]σ- [米，米]σFσ≤ C P-a.s。。因此，程序-oV+（例如H（0）（K，P））P，F- 香港，MIF属于A（F）。因此，根据定理4.2，当且仅当（4.13）中的第二个条件成立时，才存在r（Sτ，G）的对数最优投资组合。因此，定理的证明直接来自以下两个等式PeQT= Eln（ET∧τ（G-om） （）= EG-oh（E）（G）-om、 F）T. （4.14）最后一个等式是（4.12）的直接结果。这证明了定理。在本节的剩余部分，我们自然地将（Sτ，G）的对数最优投资组合与（S，F）的对数最优投资组合在适当的可能性变化下进行了连接，并将其与经济模型（S，F，eU）的最优投资组合进行了连接，其中eU是一个随机的现场效用，将被指定。为此，我们将可接受的投资组合定义为如下aadm（S，eU）：=（θ∈ L（S，F）1+θoS>0，Ehmax（0，-eU（T，1+（θoS）T））i<+∞).（4.15）定理4.5假设G>0 andEhET（G-1.-om） ln公司ET（克-1.-om）i<+∞.