针对市场模型的对数最优投资组合和num\eraire投资组合

（4.16）那么以下断言是等效的，并且对于模型（Sτ，G）的对数最优投资组合的存在性是有效的。随机水平15（a）（eU，S，F）下的对数相关投资组合允许最优投资组合，其中eU（t，x）：=Et（G-1.-om） ln（x）对于x>0，即存在θ*∈ Aadm（S，eU），使maxθ∈Aadm（S，eU）EheU（T，1+（θoS）T）i=EheU（T，1+（θ*oS） T）i.（4.17）（b）存在（S，bQ，F）的对数最优投资组合，其中dbQ：=ET（G-1.-om） dP。此外，这三个投资组合在]]0，τ]]上一致。证明备注，通过组合[15，命题3.6]或[16，定理2.9]和G-= 通用电气-(-如-1oDo，F）E-（G）-1.-om）≤ E-（G）-1.-om） ，我们deriveEhET（G-1.-om） ln公司ET（克-1.-om）i=E“中兴通讯-（G）-1.-om） dh（E）s（G-1.-om、 P）#≥ 呃G-oh（E）（G）-1.-om、 P）Ti。因此，如果（4.16）成立，则条件（4.13）成立，例如（G-1.-om） t是一个非均匀可积鞅，且dbQ：=ET（G-1.-om） dP是一个定义良好的概率度量，具有有限的熵。因此，一方面，直接计算表明Aadm（S，eU）=Θ（S，F，bQ）。另一方面，对于任何θ∈ Aadm（S，eU），EheU（T，1+（θoS）T）i=EbQ[ln（1+（θoS）T）]。这证明了断言（a）和（b）之间的等价性。该证明的其余部分集中于证明这些断言意味着（Sτ，G）存在对数最优投资组合。为此，我们假设（S，F，bQ）的对数最优投资组合存在。多亏了orem D.1，这个事实等价于Z的存在：=E（K）E-五、∈ D（S，F），其中K∈ Mloc（F）和V是一个非减量且F可预测的，因此Z/E（G-1.-om）∈ Dlog（S、F、bQ）。由于（4.16），K- 香港，G-1.-omiF公司∈ Mloc（F，bQ）和直接Ito的计算，我们导出了bQ- 自然对数ZT/ET（G-1.-om）= EbQ公司[- ln（ZT）]+EbQ自然对数ET（克-1.-om）= G-1E“中兴通讯-（G）-1oDo，F）-1dUs#+EET（克-1.-om） ln公司ET（克-1.-om）,≥ G-1E【UT】+EhET（G-1.-om） ln公司ET（克-1.-om）i、 其中U：=G-oV+eGoH（0）（K，P）- 香港，miF。

这证明，在（4.16）下，条件EbQ- 自然对数ZT/ET（G-1.-om）< +∞ 意味着E[UT]<+∞,这等价于定理4.2中（Sτ，G）的对数最优投资组合的存在性。这就结束了定理的证明。16 Tahir Choulli，Sina Yansoricollary 4.6假设G>0，存在（S，F）的对数最优投资组合。那么以下条件都是（Sτ，G）的对数最优投资组合存在的充分条件。此外，两个投资组合在]]0，τ]]上重合。（a） τ是一个伪停止时间。（b） τ与F.（c）无关。每个F-鞅都是G-局部鞅（即浸入保持）。一方面，很容易注意到断言（a）由断言（b）或断言（c）隐含。另一方面，当断言（a）成立时，（Sτ，G）的对数最优投资组合的存在是定理4.5的直接应用，并且m≡ m–由于[44]–这是rτ作为伪停止时间的特征，这意味着（4.16）。这证明了推论。5（Sτ，G）的对数最优投资组合：描述和应用本节根据模型的F-o可观测数据，明确计算r（Sτ，G）的对数最优投资组合和对数最优投资组合，这将是一个完整的答案（1.10）。根据[9]，另见定理D.1，这只有通过使用半鞅的可预测特性才可能实现，半鞅是参数化的技术性但强大的统计工具。因此，本节开始回顾在完全概率空间上定义的一般模型（X，H）的这些特征(Ohm, F、 P），其中H是满足一般完备性和rig ht连续性条件的过滤比，X是H-半鞅。我们表示EO（H）：=O（H） B（Rd），eP（H）：=P（H） B（Rd），其中B（Rd）是Rd上的Borelσ场，分别是Rd上的H-可选和H-可预测σ场Ohm × [0, +∞) ×路。

通过c\'adl\'ag H-adapted processX，我们将可选随机测量值euxd与uX（dt，dx）关联：=Xu>0I{Xu6=0}δ（u，Xu）（dt，dx）。对于可测量的产品功能W≥ 0开Ohm×R+×Rd，我们表示WuX（或有时滥用符号，W（X）） uX）工艺（W uX）t：=ZtZRd \\{0}W（u，X）uX（du，dx）=X0<u≤tW（u，Xu）我{Xu6=0}。在…上Ohm ×R+×Rd，我们定义了测量值MPuX：=P uXbyMPuX（W）：=ZW dMPuX：=E[（W u)∞] ,（当预期明确时）。产品可测量函数W的条件期望值，用MPuX（W）表示eP），随机视界下的唯一相关投资组合17eP可测函数满足E[（W I∑] uX）∞] = Eh（fW I∑） uX）∞对于属于P的任何∑。为方便读者阅读，我们回顾了X的正则分解（有关更多相关细节，请参考[30，定理2.34，第二节2]）X=X+Xc+h （uX- νX）+boAX+（X- h） uX，（5.1），其中h，定义为h（X）：=xI{| X|≤1} ，是截断函数，h （uX- νX）是唯一的纯跳H-局部鞅，跳数由H给出(十） 我{X6=0}-p、 H（H(十） 我{X6=0}）。对于条目Cij：=hXc，i，Xc，ji和νX的矩阵cX，我们可以找到满足cX=cXoAX，νX（dt，dx）=dAXtFXt（dx），FXt（{0}）=0，Z（| X）的版本|∧1） FXt（dx）≤ 这里，轴递增和可预测，bx和cx是可预测的过程，fx（dx）是可预测的核，bXt（ω）是ird中的向量，cx（ω）是对称的d×d矩阵，对于所有（ω，t）∈ Ohm ×R+。对于W≥ 0和P可测量，我们计算cwt：=ZW（t，x）νx（{t}，dx），at：=bt=νx（{t}，Rd）。（5.2）四组（bX、cX、FX、AX）是（X、H）的可预测特征。（5.3）除附录（X，H）外，其余部分∈ {（S，F），（Sτ，G）}。

因此，在本文的整个研究过程中，为了简单起见，与S的跳跃相关的随机测度u将用u表示，而Sc表示S的连续F-局部鞅部分，而q uadruplet（b，c，F，A）是（S，F）的可预测特征。或者等效地，S的正则分解（详见[30]第II.2节定理2.34）由S=S+Sc+h给出 (u - ν） +boA+（x- h） u，h（x）：=xI{| x|≤1}. （5.4）在本节的其余部分中，我们考虑了脱鞅G的Jacod分解-1.-om、 se e定理C.1详情，G-1.-om=βoSc+U（m） (u - ν） +总经理 u+m⊥, （5.5）U（m）：=fm- 1+cfm- a1级- aI{a<1}。我们通过定义空间L（S，F）和函数Klog来结束本小节，这将在本文中使用，如下所示。L（S，F）：=nθ∈ P（F）1+xtrθt（ω）>0 P dA公司 F-。a、 e.o，（5.6）Klog（y）：=-y1+y+ln（1+y）对于任何y>-1.（5.7）18 Tahir Choulli，Sina Yansorith本节其余部分分为三个小节。

第一小节陈述了主要结果，而其证明将在第二小节中详细说明。最后一小节说明了初始模型（S，F）遵循跳跃扩散模型的情况下的主要结果。5.1主要结果及其应用和财务解释本小节使用仅从F中看到的模型数据明确描述了（Sτ，G）的对数最优投资组合，并随后讨论了其应用。定理5.1假设G>0，设klog为（5.7）给出的函数。那么以下三个断言是等价的。（a） （Sτ，G）的对数最优投资组合，表示为θG，Exists。（b） 存在e^1∈ L（S，F）使得，对于任何θ∈ L（S，F），以下保持（θ- eх）tr（b+c（β- eД））+Z（θ- e^1）trfm（x）1+e^1trxx- h（x）F（dx）≤ 0，（5.8）Eh（G-oeV）T+（G-eДtrc eДoA）T+（G-Klog（eДtrx）f（m） ν） Ti<+∞, （5.9）电动汽车：=eхtrb+eхtrc（β- e^1）oA+fm（x）eИtrx1+eДtrx- eхtrh（x） ν. （5.10）（c）存在（Sτ，G）的Num'eraire投资组合，其利率为egsaties（5.9）。此外，过程EseθG、eД、eДG、eZGsolution to（4.1）和Zf∈ 通过（4.5）描述的D（S，F）通过以下θG相互关联1+（eθGoSτ）--1=eД=eДGon]]0，τ]]，（5.11）e（eДoS）τ=eZG：=e（eKG）e(-eVτ）=E（eKF）τE(-eVτ）E（G-1.-om） τ=：（eZF）τE（G-1.-om） τ，（5.12）eKF：=- eхoSc+eΓG-om级-eΓ（eΓtrx）fm1+eΓtrx (u - ν) -eΓ（eΓtrx）gm1+eΓtrx u. （5.13）心电图：=- eхoT（Sc）+-eΓeΓtrx1+eΓtrxI]]0，τ]] (u - fm·ν）（5.14）eΓ：=1.-cfm+\\ fmf（op）-1，f（op）（x）：=1+eДtrx-1.（5.15）由于[1 0，定理2.17和2.20]，τ的不确定性具有三种正交风险。

这些风险是相关风险，其生成器是非鞅m（或等价的E（G-1.-om） 、由（2.5）中定义的NGD产生的第一类纯违约风险，以及第二类纯违约风险，其形式为koD，其中k跨越空间Lloc（e）Ohm, 程序（F），P D） 和满意度E[kτI{τ<+∞}Fτ]=0 P-a.s。。根据理论ms 3.3和4.2，很明显，相关性风险是随机水平19风险下唯一与g相关的投资组合，它会影响num'eraire和lo g-optimal投资组合。定理5.1给出了τ对对数最优投资组合的影响的更深入的描述。为了更准确地分析，我们求助于（5.5）和被写者（G-1.-om） =EβoSc+U（m） (u - ν)!|{z}S-相关源×E（gm/fm） u+m⊥!|{z}S-非相关源。（5.16）这将τ和F之间的相关性风险源分解为S-相关性和S-非相关性风险生成器的产物，这自然导致以下定义。定义5.2设X为F-半鞅。如果[m，MX]，τ与X“不相关”∈ 任何MX的Mloc（F）∈ Mloc（F）由X生成，即其形式为MX=ДoXc+W （uX- νX），以满足定理C.1的可积条件。这定义了一大类包含伪停止时间的随机时间，它具有与它们类似的“好”特性。事实上，很容易证明τ是F-伪停止时间，当且仅当它与任何有界F-鞅无关时。此外，根据（5.5），可以清楚地看出τ与S无关，当且仅当（β，fm）≡ （0，1）P A.F-a.e。。因此，与伪停止时间相比，与S无关的假设要弱得多。

此外，我们的“非相关性”定义5.16的概念允许我们比Coro llaries 3.4和4.6更深入地描述更大类别的随机时间τ，这些时间τ在从（S，F）传递到（Sτ，G）时不会影响数值和对数最优投资组合。这是以下内容的目的。命题5.3假设D（S，F）6=, 让T∈ (0, +∞). 那么下面的断言就成立了。（a） 如果τ与S无关，则（Sτ，G）和（S，F）的数值在[[0，τ]]上重合。（b） 假设τ与S无关。如果（S，F）存在对数最优投资组合，则（Sτ）存在对数最优投资组合∧T、 G）也存在，且两个投资组合在[[0，T]上一致∧ τ]].（c） 假设S是连续的，表示λ为（S，F）的投资组合利率。则以下属性有效。（c.1）存在（Sτ，G）的Num'eraire投资组合利率，并由eД=eλ+β给出。（c.2）e是（ST）的对数最优投资组合利率∧τ、 G）如果且仅限于ifE“ZTGs-e#trscse#sdAs#+∞.20 Tahir Choulli，Sina Yansori（c.3），如果EhRTeλtrscseλsdAsi<+∞, 然后记录（ST）的最优投资组合利率∧τ、 G）如果且仅当ifE“ZTGs”存在-dhmc，mcis#=E“ZTGs-βtrscsβsdAs#<+∞.为了简单的解释，我们将这个推论的证明放在第5.2小节，而在这里，我们重点讨论其结果的意义及其与公理的联系。两种断言（a）和（b）都解释了影响结构和/或存在数量和对数最优投资组合的唯一风险是τ和之间的相关性所产生的风险。

断言（c）考虑了连续S的情况，这在（或全部）内幕信息文献中占大多数，请参见[4,5,6,21,26,33,36]。因此，断言（c）显示了在我们的渐进式设置中，利用信息漂移得到的内幕信息框架的结果将是什么。断言（b）的相反说法通常不正确。换句话说，在某些情况下，τ可能会对（S，F）产生积极影响。事实上，对于模型（S，F）采用ra-teeλ（局部为对数最优投资组合，而非全局），我们总能找到τ的模型，使得（ST∧τ、 G）一旦概率空间(Ohm, F、 P）足够丰富。这一主张也可以被视为定理4.4的补充结果，因为它增加了（S，F）的对数最优投资组合可能不存在的情况。定理5.4假设S是准左连续的（即它不会跳到可预测的停止时间上），并且(Ohm, F、 P）支持与F无关的指数分布随机变量ξ∞:= σ(∪s≥0Fs）和E[ξ]=1。如果（Dlog（S，F））loc6=, 然后存在一个随机时间τ，具有正的Az'ema上鞅，且（Sτ，G）允许对数最优投资组合。此外，该投资组合与num'eraire投资组合（S，F）on]]0，τ]]一致。当num'eraire投资组合r ateeλ存在时（参见orem D.1），eψ：=eλtrb-eλtrceλoA+ln（1+eλtrx）-eλtrh ν（5.17）是一个定义明确、可预测且不减损的过程，其值为[0+∞].根据orem D.1，以下断言等效于（Dlog（S，F））loc6=:i） （S，F）的对数最优投资组合在本地存在（有关此概念，请参见[12]）。

这意味着存在一系列的停止时间（Tn）n，其增加到n，使得每个（STn，F）都允许对数最优投资组合。ii）存在数量投资组合，比率λ和非减损过程ψ由（5.17）公顷的限定值定义（即ψt<+∞ P-所有t的a.s∈ [0, +∞)).我们认为，在较弱的假设D（S，F）6=. 一、 e.我们相信以下猜测成立：如果（S，F）承认num'eraire投资组合和(Ohm, F、 P）足够丰富，如定理5.4所示，则存在τ，使得（Sτ，G）允许对数最优投资组合。随机视界下的对数相关投资组合21定理5.4的证明考虑一个非负且F-可预测的过程Φ，使得Φ=0且过程ss sup0<s≤·Φs确定值，并将τ：=inf（t≥ 0Φt≥ ξ） andeΦt：=ess s up0<s≤tΦs.（5.18），由于F∞ξ，我们计算三重态（G，eG，G-) 与τ相关，如下所示。Gt：=P（τ>tFt）=P（ξ>eΦtFt）=exp(-eΦt）>0，eGt：=P（τ≥ t型Ft）=P（ξ≥eΦt-Ft）=exp(-eΦt-) = 燃气轮机-.这证明了，在我们当前的情况下，我们将浸入情况视为非减量过程。因此m≡ m、 把定理5.1应用到这个例子中，让T+∞, 我们推导出（Sτ，G）的投资组合数存在，且其r速度与λon]]0，τ]]重合。因此，为了完成定理的证明，我们需要证明eλful fills（5.9）。为此，鉴于上述讨论（理论后的段落），我们重新命名为ψ∈ A+位置。

因此，通过选择Φ=eψ，我们推断出Φ=eψ和由于fm≡ 1,β ≡ 0和A的连续性-这由S的准左连续性所暗示，即（5.10）满足v+eλtrceλoA+Klog（eλtrx）的pro c esseV ν=eψandEZ∞Gs公司-deψs= EZ∞锿-(-eψ）deψs= Eh1型- E∞(-eψ）i≤ 这证明了eλI]]0。τ]]是（Sτ，G）的对数最优投资组合利率，完成了定理的证明。以下定理通过计算uT（Sτ，G）来回答（1.9）- uT（S，F）并挑出其重要部分，然后进行分析。定理5.5假设G>0，存在（S，F）的对数最优投资组合比率λ，且（4.13）成立。那么就存在eД∈ L（S，F）满足（5.8），以及T（S，τ，F）：=uT（Sτ，G）- uT（S，F）=- 呃-（eGoeH（G））T+（eGoeH（F））T+heKF-eLF、miFTi |{z}相关风险（5.19）- 呃(1 -eG）oeH（F）提前离开的成本- EhheLF，miFTi |{z}NP（F）-相关+汞PeQT|{z}信息溢价，=- 呃(1 -eG）oeH（F）提前离开的成本- EhheLF，miFTi |{z}NP（F）-相关+E“ZTeRtGt-dAt |{z}num'eraire change premium（5.20）22 Tahir Choulli，Sina YansoriFurthermore，“相关性风险”，“提前离开成本”，“信息溢价”和“num'eraire change premium”是非负数量。这里，eQT、eV和kf分别由（2.11）、（5.10）和（5.13）给出，而processeseR、eH（G）和h（F）由ERT给出：=（eνt-eλt）trbt+eДtrtct（βt-e^1t）-eλtrtct（βt-eλt）（5.21）+Zfm（t，x）ln（（1+etrtx）（1+eλtrtx）-1) - （eхt-eλt）trh（x）Ft（dx）eH（G）：=eV+X(-电动汽车- ln（1- eV））+H（0）（eKF，P），（5.22）eH（F）：=eVF+X(-eVF公司- ln（1- eVF））+H（0）（eLF，P），（5.23），其中eLF定义为eLF：=-eλoSc-eΞeλtrx1+eλtrx (u - ν） ，eΞ-1t：=1- at+Zν（{t}，dx）1+eλtrtx，（5.24）eVF：=eλtrb-eλtrceλoA+eλtrx1+eλtrx-eλtrh！ ν.