针对市场模型的对数最优投资组合和num\eraire投资组合

在这种情况下，我们有d=1和u（dt，dx）=ΔζtSt-（dx）dNt，ν（dt，dx）=ΔζtSt-（dx）λdt，Ft（dx）=λΔζtSt-（dx），At=t，c=（S-σ） ，b=（u- λζI{|ζ| S->1} ）S-, （β，gm，m⊥) = （^1（m）S-σ, 0, 0).因此，setL（ω，t）（S，F）：={Д∈ R^1x>-1 F（ω，t）（dx）- a、 e.}={Д∈ R^1S-ζ > -1}=-1/（秒）-ζ） +，1/（S）-ζ)-是R中的开放se t（使用约定1/0+=+∞). 然后，条件（5.8）描述了最优投资组合eД，b，其方程如下。0 = u - λζI{|ζ|>1/S-}+ S-σ（Д（m）S-σ- θ） +λψ（m）ζ1+S-θζ- λζI{|ζ|≤1/秒-}= u - λζ+σД（m）- S-σθ+ψ（m）λζ1+θS-ζ. （5.66）通过将φ：=1+θS-ζ>0，上述方程等于0=-σζφ+ [u - λζ+σИ（m）+σζ]Д+ψ（m）λζ，它总是（因为ψ（m）>0）一个唯一的正解，由以下等式给出：=Γζ+|ζ| pΓ+4σλψ（m）2σ，Γ：=u- λζ+σД（m）+σζ。因此，我们推导出eλ：=eθ/S-, 式中，eθ由（5.63）给出，与（eД）一致-1） /（S-ζ） ，满足1+ζeθ>0，因此它是（5.66）的唯一解。根据（5.61）-（5.62）中的假设，也很清楚eθ是S-可积的（或等价的λ是S-可积的）。因此，利用上述分析和定理5.1，最优财富过程isE（eλoSτ）=e（eθoXτ）以及断言（a）和（b）紧随其后。附录随机视界33A下与日志相关的投资组合一些G-属性与FSome中的G-属性相比，我们得出了以下新的引理。引理A.1设A是非减量且F可预测的，假设G>0。那么下面的断言就成立了。（a） 对于任何G-可预测过程ДG，存在一个F-可预测过程ДFsuch，该过程ДG=ДFon]]0，τ]]。此外，如果ДG>0（分别为ДG≤ 1） ，则φF>0（分别为φF≤ 1).（b） 对于任何θ∈ L（Sτ，G），存在∈ L（S，F），使得Д=θon]]0，τ]]。（c） 对于任何θ∈ L（Sτ，G），存在∈ L（S，F），使得Д=θon]]0，τ]]。（d） 设v为F-可预测过程。然后vI]]0，τ]]≤ 0页 A-A.e。

如果且仅当v≤ 0页 A-A.e。。（e） 设И为非负且F-可预测的过程。然后Д<+∞ PA-A.e.on]]0，τ]]当且仅当Д<+∞ P A-A.e.（f）设V为f-可预测且不递减的过程，取[0+∞]. 如果Vτ是G-局部可积的，则V是F-局部可积的。证明断言（a）是[1，引理B.1]的一种特殊形式，断言n（B）可以在[8，引理a.1]中找到，而断言（e）和（f）直接从[1，引理B.2-（c）-（f）]开始。因此，此证明的其余部分将重点放在提供组件（c）和（d）上。（c） Letθ∈ L（Sτ，G）。一方面，由于[45，定理1.16，或标记2.2-（h）]，这相当于setXG：=支持≥0 |（HθI{|θ|≤noSτ）t|H G公司- 可预测| H |≤ 1，n≥ 1.概率有界的概率有界的。另一方面，作为评估（a）的直接应用，我们推断存在一个F-可预测过程，例如θ=ДOn]]0，τ]]，xgc中的G-可预测也可以替换为Fpredictable。此外，对于任何T∈ (0, +∞), 任意c>0，任意F可预测H以1为界，通过放置Q：=（GT/E[GT]）·P~ P和X*t： =sup0≤s≤t | Xs |对于左极限过程X的右连续，我们有（HθI{|θ|≤noSτ）*T> c类≥ Q（HИI{|Д）|≤noS）*T> c类E[燃气轮机]。（A.1）这允许我们根据【45，定理1.16，或备注2.2-（h）】再次得出结论，即∈ L（ST，F），对于任何T∈ (0, +∞). 因此，断言（d）是结合后一个事实和[？，定理4]得出的。（d） 设v为F-pr可预测过程，使得vI]]0，τ]]≤ 0页 A-A.e.这等于0=e[v+oAτ∧T] =E[v+G-oAT]，或等效v+=0 PA-A.e。。这显然相当于v≤ 0页Aa。e、 ，并证明了断言（d）。这就结束了勒玛的证明。

以下是在τ处停止的F-可选过程的G-补偿器。34 Tahir Choulli，Sina YansoriLemma A.2 Let V∈ Aloc（F），那么我们有（Vτ）p，G=I]]0，τ]]G-1.-o（eGoV）p，F.对于这个引理和其他相关结果的证明，我们参考了[1,2]。一些有用的鞅可积性这一节的结果是新的、非常有用的，而且根本不是技术性的。引理B.1考虑K∈ M0，loc（H），带1+K>0，并由定义4.1给出H（0）（K，P）。如果E[H（0）T（K，P）]<+∞, 然后E[p[K，K]T]<+∞或相当于E[sup0≤t型≤T | Kt |]<+∞.校对Let K∈ M0，loc（H），使1+K＞0，E[H（0）T（K，P）]<+∞.然后注意，对于任何δ∈ （0，1），我们总是K- ln（1+K）≥δ|K |最大值（2（1- δ） ，1+δ）I{|K |>δ}+(K） 1+δI{|K级|≤δ}.通过将其与（4.2）相结合，一方面，我们推断hKciT+X0<t≤T型|Kt | I{|Kt |>δ}+X0<t≤T型(Kt）I{|千吨级|≤δ}≤ CδEhKciT+X0<s≤T型(堪萨斯州- ln（1+Ks））≤ 2CδE[H（0）T（K，P）]<+∞,式中，Cδ：=δ-1+最大值δ-1.- 2, δ. 另一方面，[K，K]1/2T≤pHKIT+X0<t≤T型|Kt | I{|Kt |>δ}+sX0<t≤T型(Kt）I{|千吨级|≤δ}.这就结束了引理的证明。命题B.2设Z为正上鞅，使Z=1。然后，以下断言成立。（a） 存在K∈ Mloc（H）和一个非减量且H可预测的过程V，使得K=V=0，K>-1，Z=E（K）exp(-V）。（b）- ln（Z）是一致可积子鞅当且仅当存在局部鞅N和非减量可预测过程V，使得N>-1，Z=E（N）exp(-V）和HVT+H（0）T（N，P）i<+∞. （B.1）随机视野下的对数相关投资组合35（c）假设存在一个正超鞅（Z（i））i=1的有限序列，。。。，假设乘积Z：=nYi=1Z（i）是s超鞅。

然后- ln（Z）是一致可积子鞅当且仅当- ln（Z（i）），i=1。。。，n、 一致可积子鞅。很明显，断言（a）是显而易见的。因此，这个证明的其余部分将分两部分给出，其中我们分别证明断言（b）和断言（c）。第1部分。很明显，存在唯一的局部鞅N和一个非减量且可预测的过程V，使得N=V=0，N>-1，Z=E（N）exp(- V）。因此，我们得出- ln（Z）=- ln（E（N））+V=-N+H（0）（N，P）+V，（B.2），其中过程V和H（0）（N，P）均为非减量过程。假设- ln（Z）是一致可积的子鞅，且（τn）nbe是一个停止时间序列，该序列增加到不完整，nτ是鞅。然后，一方面，通过用τn停止（B.2），然后进行期望，我们得到[- ln（Zτn∧T） ]=超高压τn∧T+H（0）τn∧另一方面，由于{- ln（Zτn∧T） ，n≥ 0}是一致可积的，上述等式的RHS项是递增的，通过让n来定义这个等式，（B.1）紧随其后。现在假设（B.1）成立。Asa结果E[H（0）T（N，P）]<+∞, 通过将其与引理B.1和（B.2）相结合，我们推导出- ln（Z）是一致可积的子鞅。第2部分。我们证明断言（b）。将断言（A）直接应用于each Z（i）（i=1，…，n），我们得到了n（i）的存在性∈ Mloc（H）和非减量且可预测的V（i），以便N（i）>-1，Z（i）=E（N（i））exp(-V（i）），i=1。。。，n、 此外，我们还需要- ln（Z）=-nXi=1N（i）+nXi=1H（0）（N（i），P）+nXi=1V（i）。因此- ln（Z）是一致可积子鞅，当且仅当“nXi=1H（0）T（N（i），P）+nXi=1V（i）T#<+∞,或等效EhH（0）T（N（i），P）+V（i）Ti<+∞ 对于所有i=1。。，n、 因此，由于断言（b）-应用于i=1的每个Z（i）。。。，下面是断言（c）的证明。这就是这个命题的证明。

36 Tahir Choulli，Sina YansoriC鞅通过可预测特征的参数化考虑任意一般模型（X，H），并回顾第4节第一段至（5.3）中给出的相应符号。下面，我们参考[29，定理3.75]和[30，引理4.24]。定理C.1 Let N∈ M0，位置。然后，存在φ∈ Lloc（Xc），N′∈ Mlocwith[N′，X]=0，N′=0，fu nctionals f∈eP和g∈eO，以便保持以下状态。（a） p（f- 1) u和P（bf- a） （1）- （a）-2I{a<1}I{X=0}1/2至A+位置。（b） （g） u)1/2∈ A+loc，MPu（g | eP）=0，P u-a.e.{a=1} {bf=1}，and n=φ·Xc+f- 1+高炉- a1级- aI{a<1}！ (u - ν） +克 u+N′。（C.1）在本文中，q uadruplet（φ，f，g，N′）由Jacod的N分量（P下）调用。D关于对数最优投资组合的结果：Choulli和Yanso ri（2020年）。在此，我们考虑一般设置及其符号，如第5节第一段所述，e（X，H）是任意的一般模型。定理D.1设X是具有可预测特征（b，c，F，A）的H-半鞅=bX、cX、FX、AX, 和Klogbe（5.7）给出的函数。那么以下断言是等效的。（a） 由（2.8）给出的集合Dlog（X，H）不是空的（即Dlog（X，H）6=).（b） 存在H-可预测过程ψ∈ L（X，H），因此，对于属于L（X，H）的任何Д，以下保持-eψ）tr（b- ceψ）+Z（Д）-eψ）trx1+eψtrx- (φ -eψ）trh（x）！F（dx）≤ 0，（D.1）EeVXT+（eψtrceψoA）T+（Klog（eψtrx） ν） T型< +∞, （D.2）eVX：=“eψtr（b- ceψ）+Z“eψtrx1+eψtrx-eψtrh（x）#F（dx）#A（D.3）（c）存在唯一性∈ Dlog（X，H）使得infz∈D（X，H）E[- ln（ZT）]=E[- ln（eZT）]。（D.4）（D）存在唯一θ∈ Θ（X，H）su ch thatsupθ∈Θ（X，H）E[ln（1+（θoX）T）]=E[ln（1+（EθoX）T）]<+∞.

（D.5）随机视野下的对数相关投资组合37（e）存在num'eraire投资组合，其投资组合“利率”eψ满足率（D.2）。此外，eθ（1+（eθoX）-)-1与ψ重合P A-A.e.，安第斯∈ L（Xc，H）∩ L（X，H），p（（1+eДtrx）-1.- 1) u ∈ A+loc（H），（D.6）eZ=E（EψoX），eZ：=E（KX）E(-VX），KX：=-eψoXc+-eΓXeψtrx1+eψtrx (u - ν). （D.7）eΓX：=1.- a+[f（op）-1，f（op）（t，x）：=1+eψtrtx-1.（D.8）引理5.7Letθ和θ的证明∈ L（S，F），我们有（θ- θ） tr（b- cθ）+Z(θ - θ） trx1+θtrx- (θ - θ） trh（x）F（dx）≤ 0,(θ - θ） tr（b- cθ）+Z(θ - θ） trx1+θtrx- (θ - θ） trh（x）F（dx）≤ 通过考虑第一个不等式的θ=θ和第二个不等式的θ=θ，然后将得到的两个不等式相加，我们得到（θ- θ） trc（θ- θ） +Z1+θtrx1+θtrx+1+θtrx1+θtrx- 2.F（dx）≤ 0。然后注意，对于任何x>0，x+x-1.- 2始终为非负，当且仅当x=1时为null。因此，通过将这一事实与上述不等式相结合，我们推断cθ=cθPA-A.e。。θtrx=θtrx PA.F-a.e。。这就结束了引理的证明。感谢加拿大自然科学与工程研究委员会通过G121210818拨款，全力支持本研究。作者感谢Safa Alsheyab、Ferdoos Alharbi、Jun Deng、Youri Kabanovand Mich\'ele Vanmalele对该主题的几点评论、富有成效的讨论和/或提供了重要和有用的参考。参考文献1。Aksamit，A.、Choulli，T.、Deng，J.、Jeanblanc，M.：准左连续模型的随机水平无套利，《金融随机》21:1103-1139，（2017）。2.Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.，Jeanblanc，M.《薄半鞅模型、随机过程及其应用的附加信息下的无套利》，129，pp:3080-3115（2019）。3、Aksamit，A.和Choulli，T.和Jeanblanc，M。

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