针对市场模型的对数最优投资组合和num\eraire投资组合

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英文标题：
《Log-optimal portfolio and num\\\'eraire portfolio for market models
  stopped at a random time》
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作者：
Tahir Choulli and Sina Yansori
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper focuses on num\\\'eraire portfolio and log-optimal portfolio (portfolio with finite expected utility that maximizes the expected logarithm utility from terminal wealth), when a market model $(S,\\mathbb F)$ -specified by its assets\' price $S$ and its flow of information $\\mathbb F$- is stopped at a random time $\\tau$. This setting covers the areas of credit risk and life insurance, where $\\tau$ represents the default time and the death time respectively. Thus, the progressive enlargement of $\\mathbb F$ with $\\tau$, denoted by $\\mathbb G$, sounds tailor-fit for modelling the new flow of information that incorporates both $\\mathbb F$ and $\\tau$. For the resulting stopped model $(S^{\\tau},\\mathbb G)$, we study the two portfolios in different manners, and describe their computations in terms of the $\\mathbb F$-observable parameters of the pair $(S, \\tau)$.
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中文摘要：
本文重点研究了当一个由资产价格$S$和信息流$mathbb F$指定的市场模型$（S、\\mathbb F）$在随机时间$\\tau$停止时，num \\ \\eraire投资组合和对数最优投资组合（具有有限预期效用的投资组合，最大化终端财富的预期对数效用）。此设置涵盖信用风险和人寿保险领域，其中$\\tau$分别表示默认时间和死亡时间。因此，用$\\mathbb G$表示的$\\mathbb F$与$\\tau$的逐步扩大，听起来非常适合建模包含$\\mathbb F$和$\\tau$的新信息流。对于得到的停止模型$（S^{\\tau}，\\mathbb G）$，我们以不同的方式研究了这两个投资组合，并用对$（S，\\tau）$的$\\mathbb F$-可观测参数描述了它们的计算。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Log-optimal_portfolio_and_numéraire_portfolio_for_market_models_stopped_at_a_ra.pdf (445.35 KB)

2022-6-11 01:58:07 上传

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关键词：投资组合 NUM Air Era Mathematical

Noname手稿编号（将由编辑插入）Log optimal and num\'eraire Portfolization for market Models在2020年7月24日发布的Tahir Choulli·Sina Yansorversion随机终止。本文重点讨论num\'eraire Portfolization and Log optimal Portfolization（具有最终财富预期对数效用最大化的有限预期效用的投资组合），当一个市场模型（S，F）——由其资产价格S及其信息流F确定——在随机时间τ停止时。此设置涵盖信用风险和人寿保险领域，其中τ分别表示默认时间和死亡时间。因此，用G表示的带τ的F的渐进放大，听起来非常适合建模包含F和τ的新信息流。对于得到的stoppedmodel（Sτ，G），我们以不同的方式研究了这两个投资组合，并根据这对投资组合的F-可观测参数（S，τ）描述了它们的计算。由于[1,2,11,12,32]对（S，F）和（Sτ，G）的num'eraire p投资组合的存在有很好的理解，因此我们在此描述了num'eraire投资组合o F（Sτ，G）不变性，并指出了τ所承担的真正影响投资组合的风险类型。与num'eraire投资组合相比，（Sτ，G）的对数最优投资组合的存在和特征都带来了严重的挑战。其中，我们提到以下内容。

a） 当（S，F）的对数最优投资组合已经存在时，τ（最好是信息论概念的中介）的条件是什么，可以充分表征（Sτ，G）的对数最优投资组合的存在？b） 对于两个模型（Sτ，G）和（S，F），哪些因素完全决定了终端财富的最大-最小期望对数效用增量，以及如何量化它们？这个问题自然会出现，因为拥有流动团队的投资者具有信息优势，正如她所看到的，但也面临各种风险。除了深入回答这些问题和其他相关挑战外，本文还详细提出了一种随机时间的热建模方法，并给出了它们对对数最优组合的正、负影响。Tahir Choulli（通讯作者）和Sina YansoriDepartment of Mathematic and Statistical Sciences，University of Alberta，Edm onton，CanadaE mail：tchoulli@ualberta.ca2Tahir Choulli，Sina Yansori1简介本文介绍了与logar ithmicutility密切相关的两个投资组合。这些投资组合在文献中被称为num'erair e和logoptimal投资组合，为了完全精确，我们从下面的定义开始。为此，我们用Wθ表示投资组合θ的财富过程。定义1.1设（X，H，Q）为市场模型，其中X为资产价格过程，H为过滤，Q为概率度量。考虑积极的投资前景∈ (0, +∞), 和一个投资组合θ*.（a） θ*如果Wθ，则为（X，H，Q）的num'eraire投资组合*> 0和WθWθ*是（H，Q）下的上鞅，任意组合θ和Wθ≥ 0.（1.1）（b）θ*称为（X，H，Q）的对数最优投资组合，如果θ*∈ Θ（X，H，Q）和ut（X，H，Q）：=supθ∈ΘEQln（WθT）= EQhln（Wθ*T） i，（1.2）式中，【.】是Q下的期望值，且Θ：=Θ（X，H，Q）由Θ（X，H，Q）：=nportfolioθ给出Wθ>0和EQ| ln（WθT）|< +∞o。

（1.3）（1.2）-（1.3）中定义的terminalwealth期望对数效用最大化问题在文献中受到了大量关注，尽管这是效用最大化理论问题的一个特例。后一个问题在各个层面都得到了解决，关于它的更多细节，我们参考了[22,34,37,35,41,42]及其参考文献。据我们所知，num’eraire投资组合在[38]中引入，其中Wθ/Wθ*要求为鞅，而定义1.1-（a）g返回到[7，定义4.1]，后者重新标记了鞅性要求为Wθ/Wθ*过于严格，无法获得一般存在性结果。之后，这些工作在[7,12,18,28,32]和其中的参考文献中进行了广泛的扩展和研究。在[7,18,28,25]中，经证明，在无免费午餐且风险假设为零的情况下（下文简称NFLVR）和/或UPθ∈ΘEln（WθT）< +∞, 这两个投资组合（log optimal和num'eraire）是一致的。利用概率变换技术，在不作任何假设的情况下，在[12]中建立了两个投资组合之间的深刻而精确的联系。此外，最近在[9]中，在完全没有假设的情况下，在不改变概率的情况下阐述了这种联系，并且还开发了对数最优投资组合和其他相关属性的详细计算。

后一项工作是关于这些投资组合的文献的更多详细讨论，它明确地印证了关于这两个投资组合的这些问题，并且对我们当前的论文至关重要，因为它不假设任何假设。随机视野下的日志相关投资组合31.1我们的目标是什么？自然法则对他们说了什么？在本文中，我们考虑一个由对（S，F）表示的初始市场模型，其中S表示d股的折扣股价，F表示所有代理都可以获得的“公开”信息。在这个初始市场模型中，我们添加了一个随机时间τ，该时间在发生时可能无法通过F看到（从数学上讲，ingτ可能不是F-停止时间）。在这种情况下，我们采用逐步扩大过滤来模拟更大的信息，包括F和τ。获得的新信息系统（我们用（Sτ，G）表示）允许我们牢记信用风险理论和人寿保险作为我们结果的潜在应用，而不是随机视野市场的一般金融环境。对于这一信息市场，我们的最终目标在于测量τonnum'eraire和对数最优投资组合的影响，无论（S，F）的模型是什么，也不管它与τ的关系如何，τ是一个具有正“生存概率”的任意随机时间（即Az'ema supermartingale）。我们的背景是信息不对称下的投资组合问题。关于信息建模的数学文献仅支持两种情况，即根据这些信息是在投资间隔开始时添加的，还是随着时间的推移逐步添加的，将额外信息纳入其中。第一种情况在数学上对应于过滤的初始放大，在金融和数学金融文献中被称为内幕交易。

对于这个内部框架，对数最优por-tfoliois得到了广泛的研究，我们请读者参考[4,5,6,21,26,33,36]，其中的参考文献很少。大多数文献关注模型（S，G）的对数最优投资组合的两个密切相关的问题*), 其中G*是F的初始放大，带有一个表示额外知识的随机变量L。事实上，在对（L，F）的so me假设下，通常被称为Djacod假设，对数最优投资组合的存在，以及从长期最终财富（以下用IEUlog（s，G）表示）中预期对数效用增量的e估值*, F） ）适用于两种型号（S、G*) 和（S，F）代表了这些论文的核心贡献，其中证明了IEULOG（S，G*, F） ：=uT（S，G*) - uT（S，F）=相对熵（PQ*). （1.4）因此，在这种内部环境中，（S，G）的对数最优投资组合*) 当且仅当P相对于Q有一个有限熵时存在*, 明确描述的与L相关的精确概率度量。尤其是quantityIEUlog（S，G*, F） 由于拥有流动资金的投资者充分了解情况的优势，a始终是真正的收益吗*. 公式（1.4）最初是在[33]中为布朗过滤推导出来的，并在[4]中扩展到由一般连续局部鞅驱动的模型，其中作者将该公式与某些模型的香农熵L联系起来。随后，Shannon概念在[5]中得到了深入的研究，作者展示了它在衡量内幕信息对对数密码的影响方面的重要作用。第二种情况是信息建模，它建议随着时间的推移添加额外的信息，这将导致渐进式的扩张4 Tahir Choulli、Sina Yansori过滤，与最初的扩张相比，它适合我们当前的财务环境。

我们的经济和金融问题涉及随机期将如何影响投资（尤其是num’eraire和logoptimal投资组合），可以追溯到Fisher【24】。从那时起，经济文献中通过关注离散市场模型和τ分布的影响，解决了这个问题，参见[27,48]和其中的参考文献。因此，由于（S，F，τ）的一般设置以及获得的定性和定量结果，我们的论文似乎是同类论文中的第一篇。下面，我们将重点介绍导致这些结果的直观想法。鉴于对数最优投资组合是一个num'eraire投资组合，请参见[9]和其中的参考文献，我们首先讨论（Sτ，G）的num'eraire投资组合。由于[12,32]将num'eraire投资组合的存在与无无界利润和有界风险（下文简称NUPBR）的概念联系起来，以及最近关于停止模型（Sτ，G）的NUPBR的工作[1,2,11]，我们完全理解了（Sτ，G）num'eraire投资组合存在的问题。因此，在本文中，我们重点从可观察数据和过程的角度来描述num'eraire投资组合，并主要描述影响num'eraire投资组合的τ所承担的单一外部风险类型。（1.5）对于（Sτ，G）的对数最优投资组合，情况更具挑战性，其存在的问题是第一个障碍。为了解决这一问题，我们呼吁对（Sτ，G）的一组定义进行明确描述，这组定义最近与[8]中的NFLVR应用一起开发，并回答如下。对于（S，τ）的哪些模型，存在（Sτ，G）的对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数？（1.6）值得一提的是，这一存在问题比内幕人士环境中解决的相应问题更为深刻和普遍。

事实上，在我们的框架内，（1.4）没有希望以当前的形式存在，只有对（1.6）的实际回答才能让我们回答下面的问题。如果（S，F）有对数最优投资组合，则表征（Sτ，G）存在对数最优投资组合的τ上的什么信息条件？（1.7）对于随机视界的情况，我们用IEULG（S，τ，F）表示的（Sτ，G）和（S，F）之间预期对数效用的增量由IEULG（S，τ，F）定义：=T（S，τ，F）：=uT（Sτ，G）- uT（S，F），（1.8），并且受到许多因素的影响，因此我们解决了以下问题：哪些因素解释了IEUlog（S，τ，F）对τ的敏感性？（1.9）为了回答这个问题，我们更愿意研究下面更深入的问题，即对数最优投资组合的显式计算。如何仅用F来描述（Sτ，G）的对数最优投资组合？（1.10）随机视野下的日志相关投资组合51.2我们的成就是什么？我们的数学和金融成就在概念和方法方面都是众多且高度新颖的。事实上，我们以各种方式对上述所有问题（即（1.5）、（1.6）、（1.7）、（1.9）、（1.10））和其他相关问题进行了非常详细和深入的分析。事实上，我们以不同的方式描述了ibe对数最优投资组合、其相关对数最优偏差的结构以及（Sτ，G）的数值投资组合。因此，我们证明了随机视界会导致代理的参考随机性（或代理的不耐烦，如Fisher[24]所述）。这将随机视野问题与随机效用模型理论中经济学中出现的随机效用联系起来，因为心理测量学文献为随机选择行为提供了经验证据。

有关此主题的详细信息，请参阅[19,20,4 0,46]，有关应用程序，请参阅[13,14,39,43,35]。我们的结果表明，这两个投资组合（num'eraire和log optimal）都只受S和τ之间的相关性的影响，并且这种相关性使用F-适应过程进行了明确的参数化。我们证明了这一点T（S，τ，F），定义为（1.8），取决于四个因素。我们明确量化的这些因素是“提前离开的成本”，“信息溢价”，这是由于在τ发生时知道τ的发生，以及（S，F）的num’eraire投资组合与τ之间的相关性，以及τ和S之间的“相关风险”。这些因素解释了随机视界对投资组合的影响与内幕信息的影响相比有多复杂。本文包括五节，包括当前一节。第2节介绍了数学和财务模型，以及相应的REQUIRED d符号和一些说明了一些重要现有结果的初步内容。第3节讨论了（Sτ，G）的num'eraire投资组合，而第4节重点讨论了对数最优投资组合的存在性和对偶性。第5节使用模型的F-pre dic表特征明确描述了num'eraire和log optimal投资组合，并讨论了其财务应用和后果。本文包含一个附录，其中对一些证据进行了降级，并详细介绍了一些技术（新的和现有的）结果。2数学模型和初步研究通过本文，我们用H表示满足c完全性和右连续性通常条件的任意过滤。对于任何过程X，当存在X的H可选投影和双H可选投影时，它们将分别用o、HX和Xo表示。

同样，当存在byp、HX和Xp、H-可预测投影和X的双重可预测投影时，我们对它们进行了注释。集合M（H，Q）de表示Q下所有H-鞅的集合，而A（H，Q）表示Q下具有可积变差的所有可选过程的集合。当没有混淆风险时，我们只需忽略简化符号的可能性。对于H-半鞅X，用L（X，H）表示半鞅意义下的H-可积过程集。对于^1∈ L（X，H），所得到的φ相对于X的积分用φoX表示。对于H-局部鞅M，我们用byLloc（M，H）表示X-可积的H-可预测过程的集合，由此得到的积分φoM是n H-局部鞅。如果C（H）是适应于H的进程集，那么Cloc（H）是进程集X，其中存在一系列H停止时间（Tn）n≥1，即每n增加到单位，X增加到C（H）≥ 1、对于任何H-半鞅，L，我们用E（L）表示Doleans-Dade（随机）指数，它是s-tochastic微分方程dX=X的唯一解-dL，X=1，给定byEt（L）=exp（Lt-hLcit）Y0<s≤t（1+Ls）e-Ls。我们的财务模型是如何参数化的？我们的模型从过滤概率空间开始(Ohm, F、 F，P）。此处过滤F：=（Ft）t≥0表示随着时间的推移所有代理都可以获得的“公开”信息流，满足了权利连续性和完整性的通常条件。在此随机基础上，我们假设给出了一个d维F-半鞅S，它模拟了d风险资产的贴现价格过程。除了这个初始市场模型（S，F），我们还考虑了一个随机时间τ，它可能代表代理人的死亡时间或公司的默认时间，因此通常可能不是F停止时间。