针对市场模型的对数最优投资组合和num\eraire投资组合

（5.25）我们的理论测量数量IEUlog（S，τ，F），表示为通过深入量化从（S，F）传递到停止模型（Sτ，G）时直接影响对数最优投资组合的各种因素，以不同的方式定义（1.8）。其中两个因素是直观已知和理解的，而在本文中，我们使用模型数据以更高的精度对其进行量化，无论模型（s、F、τ）有多普遍，模型数据在F中都是可以观测到的。事实上，我们直觉地知道，拥有流的代理具有看到τ发生的信息优势，这自然会产生一些我们量化并称之为“信息溢价”的现象。同时，由于τ的随机性，我们的代理人可能面临两种类型的风险。Firstrisk来自随机视界的长度，这可能导致提前离开的成本，因为视界T∧ τ通常比正概率下的T短。这一事实在τ是停止时间的情况下也是众所周知的，更重要的是当它是固定/确定的地平线时，这是由于对数效用的宏观特征。我们的G-InvestorRight面临的第二个风险本质上是τ和S之间相关性b的固有风险。我们将该风险称为“相关风险”，并根据不可观测的模型数据对其进行精确量化。这个第三个事实在我们的分析中很自然地出现，与前面的两个因素相比，直觉上并不清楚。第四个因子出现在表达式（5.19）和（5.20）中，表示τ和（S，F）的num’eraire组合之间的相关性。

我们自然地用表达式E【heLF，miFT】量化后一个因素，ASELF是最佳的双随机数字组合的主要随机性来源。通过（5.19）和（5.20）的比较，我们可以明显地推断出thatnum'eraire change premium=（信息溢价）- （关联风险）≥ 0.random horizon 23下的对数相关投资组合这表明“相关风险”负债并没有超过“信息溢价”，因此它在不造成损失的情况下削弱了我们金维存储的信息优势。只有当num'eraire portfolioseλ和eД在某种意义上相等时，“num'eraire change premium”才为空。下文总结了这一事实以及对这些因素的进一步讨论。定理5.6假设定理5.5的假设成立。那么下面的断言就成立了。（a） 当且仅当信息溢价为零，且仅当τ为伪停止时间（即，对于任何有界F鞅，e[Mτ]=e[M]）时，相关风险为零，且（S，F）和（Sτ，G）的num'eraire投资组合在[[0，τ]]上重合。在这种情况下，NP（F）-相关性也为空，并且T（S，τ，F）=- （提前离开的费用）≤ 0。（5.26）（b）假设τ与S不相关。那么（5.26）成立，相关风险与信息溢价一致，且NP（F）-相关性为空。（c） “num'eraire change premium”是指num'eraire投资组合费率seλ和eДG，对于（S，F）和（Sτ，G），分别在]]0，τ]]上重合，即λoSτ=eДGoSτ或在]]0，τ]]P上重合 A. F-a.e.ceλ=c eДG，btreλ=btreДGand xtreλ=xtreДG.（d）如果S是局部鞅，则T（S，τ，F）=变更保费数≥ 0。（5.27）（e）假设S是连续的。

然后，定理5.5中定义的一对（eλ，eД）满足λ+β=eД，并保持以下条件。信息溢价=E“ZTGs-βtrscsβsdAs#+相关风险，（5.28）相关风险=E“ZTGs-dh（E）s（m⊥, F） #，（5.29）提前离开成本=E“ZT1- Gs公司-eλtrscseλsdAs#。（5.30）5.2定理5.1、5.5和5.6以及命题5.3的证明本小节侧重于证明先前子节的结果，并分为四个子小节。24 Tahir Choulli，Sina Yansori5.2.1定理证明5.1为了证明这个定理，我们首先推导（Sτ，G）的可预测特征，我们用（bG，cG，FG，AG）表示，如下所示。bG：=b+cβ+Zh（x）（fm（x）- 1） F（dx），uG：=I]]0，τ]] u，cG：=cdνG：=I]]0，τ]]fmdν，FG（dx）：=I]]0，τ]]fm（x）F（dx），AG：=Aτ。（5.31）因此，通过将定理D.1直接应用于模型（Sτ，G），我们推导了模型的对数最优组合θgf的存在性与ν的存在性之间的等价性∈ L（Sτ，G）满足（θ- ^1）tr（bG- cGИ）+Z(θ - Д）trx1+Дtrx- (θ - ^1）trh（x）FG（dx）≤ 0，（5.32）EVGT+（ДtrcGДoAG）T+（Klog（Дtrx） νG）T< +∞, （5.33）VG：=^1trbG- ^1trcGД+ZДtrx1+Дtrx- ^1trh（x）FG（dx）o任何有界θ的AG（5.34）∈ L（Sτ，G），以及num’eraire投资组合比率的存在（5.32）。此外，eZG=E（EхGoSτ）-1.∈ Dlog（Sτ，G），Д=ДG，（5.35）eZG=E（eKG）E(-eVτ），心电图：=-Sc，G+-eΓGΓtrx1+Γtrx (uτ- νG），（5.36）eΓGt：=1+Z（f（op，G）t（x）- 1） νG（{t}，dx）-1，f（op，G）t（x）：=1+Дtrtx，（5.37）由于引理A.1，我们推断出eД的存在∈ L（S，F）∩ L（S，F）和ДI]]0，τ]]=eДI]]0，τ]]，P A-A.e。。（5.38）因此，通过在（5.34）和（5.37）中插入此和（5.31），我们得出结论，vg=eVτ，eΓGI]]0，τ]]=eΓI]]0，τ]]，f（op，G）I]]0，τ]]=f（op）I]]0，τ]]，（5.39），其中eΓ和f（op）由（5.15）给出。因此，通过在（5.32）和（5.33）中插入（5.38），（5.39）和（5.31），并使用引理A.1-（d），我们推断（5.8）和（5.9）都适用于eД。

因此，（5.11），断言（a）、（b）和（c）之间的等价性紧随其后。通过在（5.35）中插入（5.38），我们获得了（5.12）中的第一个等式，而其余的证明集中于证明（5.12）的第二个等式。为此，多亏了Theo rem 2.3-（b），我们在插入（5.38）和（5.39）后使用（5.36），并展望∈ M0，loc（F），以便- eхoSc，G+-eΓeΓtrx1+eΓtrx (uτ- νG）=TeKF公司-G-om级. （5.40）随机视界25下的对数相关投资组合，结合两个局部鞅相等的事实，当且仅当其连续鞅部分相等且其跳跃也相等时，T（Sc）=S（c，G）的事实，以及T（X）=G-如十一] ]0，τ]]和eKG=eΓ1+eΓtrS- 1.一] ]0，τ]]，我们推断（5.40）等价于（eKF）c=- eхoSc+G-omc，eΓ1+eΓtrSI]]0，τ]]=G-如eKF+1一] ]0，τ]]。（5.41）通过在上面两侧取F-可选投影，我们得到eKF=eGeΓG-（1+eДtrS）- 1、感谢toeG=G-（fm(S） +总经理(S） ）打开(S 6=0）和m=eG- G-, 上述等式等于eKF=-eΓgm(S） e^1trS1+eИtrS-eΓfm公司(S） e^1trS1+eИtrS+meΓG公司-+eΓ- 1.（5.42）注意，不难检查两个过程eΓgmeΓtrx1+eΓtrx u和-eΓfmeΓtrx1+eΓtrx (u - ν） 是定义良好的F-局部鞅（关于保证其存在的条件，请参见定理m C.1），以及meΓG公司-= eΓG-1.-om级, -eΓgm(S） e^1trS1+eИtrS=-eΓgmeΓtrx1+eΓtrx u!,-eΓfm公司(S） e^1trS1+eИtrS+eΓ- 1 = -eΓfmeΓtrx1+eΓtrx (u - ν)!.因此，通过将这些事实与eΓG-1.-om级c=G-1.-omc，在（5.41）和（5.42）中的第一个等式，我们推导出了（5.13）中给出的thateKFis，并完成了定理的证明。26 Tahir Choulli，Sina Yansori5.2.2命题5.3的证明。注：当且仅当ifcβ=0 dP时，τ与S无关 dA-a.e.fm（t，x）=1 P dA公司 F-a.e。。（5.43）1）这里我们证明资产（a）。

然后根据定理D.1和假设D（S，F）6=, 分别为（Sτ，G）和（S，F）的两个利率为eν和λ的num'eraire投资组合求解以下不等式方程（θ-eθ）tr（b- ceθ）+Z（θ-eθ）tr（x1+eθtrx）- h（x））F（dx）≤ 0, θ ∈ L（S，F）。（5.44）因此，根据下面的引理，引理5.7中最多有一个Eθ∈ L（S，F）满足（5.44）。这里，如果ψ（1+|ψ|），则称ψ和ψ——L（S，F）的元素——相等-1oS=Д（1+|Д）-1oS。我们推断，这两个参数在]]0，τ]]上重合。这就结束了命题（a）的证明。2） 根据命题（5.43）的断言（a）和定理5.1-（c），我们声称（Sτ，G）的对数最优投资组合存在当且仅当num'eraire投资组合率λsatis fiesehg-oeVFT+G-eλtrceλoAT+G-Klog（eλtrx） νTi<+∞,其中EVF给出的EVFI：=eλtrb-eλtrceλoA+eλtrx1+eλtrx-eλtrh！ ν.因此，由于G-≤ 1，上述条件由（S，F）的对数最优投资组合的存在性所暗示，见适用于模型（S，F）的定理D.1。这就结束了断言（b）的证明。3） 假设S是连续的。因此，由（5.8）和（D.1）给出的分别适用于（S，F）r的eν和λ的不等式方程变成（θ- eх）tr（b+c（β- e^1））≤ 0, (θ -eλ）tr（b- ceλ）≤ 0,  θ ∈ L（S，F）。通过将这一点与任何F-可预测过程都属于toL（S，F）这一事实相结合，我们得出结论，eД=β+eλ，并且断言的证明（c.1）已经完成。为了证明断言（c.2），只需指出断言（c.1）暗示EV≡ 0，因此（5.9）成为EhRTGs-eхtrscseхsdAsi<+∞.断言（c.3）紧接着组合断言（c.1）和（c.2）。这就结束了这个命题的证明。

随机视界下的对数相关投资组合275.2.3定理5.5直接计算的证明，有关类似的详细信息，请参见[1 7]，对于任何H-局部鞅X>-1、我们有- ln（E（X））=-X+H（0）（X，H）。（5.45）第1部分。这里我们证明了等式（5.20）。为此，应用TheoremD。1到模式l（S，F），并使用位置B.2，我们导出ut（S，F）=Ehln（ET（eλoS））i=Eh- ln（ET(-eVF）i+Eh- ln（ET（eLF））i=EeVFT+X0<s≤T型(-eVFs公司- ln（1- eVFs））+H（0）T（eLF，F）= EheHT（F）i=Eh（例如oEh（F））Ti+Eh（（1-eG）oeH（F））Ti。（5.46）=Eeλtr（b-ceλ）oAT+ln（1+eλtrx）-eλtrh νT. （5.47）由于定理5.1和命题B.2的对偶性（5.12），我们推导出（Sτ，G）=E[ln（ET（EoSτ））]=Eh- ln（eZGT）i=Eh- ln（Eτ∧T型(-eV）i+Eh- ln（ET（eKG））i=EeVτ∧T+X0<s≤T∧τ(-电动汽车- ln（1- eVs））+H（0）T（eKG，G）（5.48）注意，根据（5.14）和（5.15），我们得到eKG=eΓ1+eΓtrS- 1.一] ]0，τ]]，因此，通过将其与定义4.1相结合，我们得出（0）（eKG，G）=eИtrc eΓoAτ+XeΓ1+eΓtrS- 1.- lneΓ1+eΓtrS一] ]0，τ]]=eхtrc eхoAτ+XeΓ- 1.- ln（eΓ）一] ]0，τ]]+-eΓeΓtrx1+eΓtrx+ln（1+eΓtrx）！ uτ.通过将其插入（5.48）并随后使用（5.15），1- eV=1/eΓ并偏离（1-eΓ）eΓtrx（1+eΓtrx）-1毫米 ν = -P（1）-eΓ）/eΓ，我们得到（Sτ，G）28 Tahir Choulli，Sina Yansori=eG-oeV+X0<s≤·(-电动汽车- ln（1- eVs））+X0<s≤·（eΓs- 1.- ln（eΓs））T+EG-eхtrc eхoAT+ E“G--eΓeΓtrx1+eΓtrx+ln（1+eΓtrx）！fm公司 νT#=E（G）-oeV）T+G-eхtrc eхoAT+G-- eхtrx1+eхtrx+ln（1+eхtrx）fm公司 νT= EG-eхtr（b+c（β-eх））o在+G-fmln（1+eИtrx）- eхtrh νT（5.49）最后一个等式在fr om之后使用（5.10）。

用Φ表示函数定义L（S，F）×L（S，F），如下所示。eΦ（λ，Д）：=（Д）- λ） trb+（Д）- λ） trcβ-ДtrcД+λtrcλ（5.50）+Zfm（x）ln1+Дtrx1+λtrx- (φ - λ） trh（x）F（dx）。然后通过使用两个函数的凸性- ln（1+Дtrx）和（5.8），我们推导出处理器的非负性，即eR=eΦ（eД，eλ）≥ 0，（5.51），根据（5.49），（5.4 6）和（5.47），我们得到T（S，τ，F）=uT（Sτ，G）- uT（S，F）=-Eh（1-eG）oeH（F）Ti+EhG-eΦ（eД，eλ）oATi+e“G-（fm- 1） （eλtrx）1+eλtrx νT+G-eλtrcβo在#。因此，通过将后一个等式与EHHELF相结合，miFTi=-E“G-（fm- 1） （eλtrx）1+eλtrx νT+G-eλtrcβo在#处，根据直接计算，我们推断（5.20）成立。第2部分。这里我们证明了等式（5.19）。为此，我们将（5.45）应用于（eKF，F）和（G-1.-om、 F），然后我们使用符号（5.22）得到- 自然对数E类(-eVτ）- 自然对数E（eKF）τ+ 自然对数E（G-1.-om） τ=eVτ+X-eVτ- ln（1- eVτ）- （eKF）τ+H（0）（eKF，F）τ+G-omτ- H（0）G-om、 F级τ=eH（G）τ- （eKF）τ+G-omτ- H（0）G-om、 F级τ. （5.52）随机视界下的对数相关投资组合29因此，通过取s两边的期望值，并使用（5.12），我们得出（sτ，G）=E[ln（ET（EΓosτ））]=Eh- ln（ET∧τ(-eV）i+Eh- ln（ET（eKG））i=E（eGoeH（G））T- heKF，miFT+G-omτ∧T- H（0）G-om、 F级T∧τ.（5.53）因此，通过使用（4.12）并在（5.53）中插入（4.14），我们得到（Sτ，G）=Eh（eGoEh（G））T- heKF、miFTi+HGPeQT因此，通过将其与（5.46）相结合，紧接着是（5.19）。因此，在（5.51）中，只要我们证明（F，G）：=例如：eH（F）-eH（G）p、 F+heKF-eLF、miF∈ A+（F）。

（5.54）一方面，将（5.52）中的类似计算和公式应用于zg：=E（eLF）τE(-eVF）τ/E（G-1.-om） τ，（5.55）导致- ln（ZG）=eH（F）τ- （eLF）τ+G-omτ- H（0）G-om、 F级τ.然后通过将该等式与（5.52）相结合，我们得到- 自然对数eZG/ZG=eH（G）τ-eH（F）τ- （eKF）τ+（eLF）τ。另一方面，通过使用Jenson不等式和1/eZG=E（EИosτ），ZG∈ D（Sτ，G）和两个过程seh（G）和h（F）都是F-可选的，我们推断- 自然对数eZG/ZG是G-子鞅，因此W（F，G）是非减量的，F-可预测的，这就结束了theo-rem的证明。5.2.4定理5.6的证明该证明分为四个部分，分别证明这四个断言。1） 这里我们证明断言（a）。很明显，只有当且仅当（5.54）中定义的过程W（F，G）为空，或（5.55）中定义的两个定义相同时，“相关风险”才为空。由于G中Doob-Meyer分解的唯一性，这显然等价于（eVF）τ=eVτ和E（eKF）τ=E（eLF）τ。因此，由于假设G>0，上述等式等于vf=eV和kf=eLF。（5.56）30 Tahir Choulli，Sina YansoriThen，根据定理C.1的Jacod分解的唯一性，我们得出结论，当且仅当ifc（β- e^1）=-ceλ，m⊥≡ 0，gm=0，fm1+eДtrx=1+eλtrxMPu- a、 e.（5.57）因此，根据后一种等效性，我们推断“相关风险”为零，而eД=eλ等效于tocβ≡ 0，m⊥≡ 0，gm=0，fm=1 MPu- a、 e.这相当于m≡ m、 即τ是一个伪停止时间。这证明了断言（a）中的第一句话。此外，由于m≡ m、 我们找到了，miF≡ 0，因此NP（F）-相关因子为空。因此，通过在（5.19）中插入所有这些，我们得到（5.26），并且完成了断言（a）的证明。2） 本部分论述了断言（b）。

假设τ与S无关，这相当于cβ=0 P A-A.e.和fm=1 P A. F-a.e。。然后，由于引理5.7，我们推导出eλ=eν，因此我们导出了helf，miF≡ 0安德≡ 这意味着“NP（F）-相关性”和“num'eraire changepremium”因子均为空，因此“信息溢价”与“相关性风险”一致。通过在（5.19）中插入所有这些，我们再次获得（5.26），并且完成了对（b）项的证明。3） 这里我们证明断言（c）和（d）。一方面，当λ与eД重合时，则≡ 0从（5.21）开始。另一方面，使用Taylor\'sexpansion和（5.8）对于θ=eλ，我们推导出≥ （eλ- eД）trc（eλ- eД）+Z（（eλ）- eД）trx）最大（（1+eλtrx），（1+eДtrx））F（dx）。因此，我们推断出，Theer为null i fficeλ=ceДP A-A.e.andeλtrx=eДtrxP A. F-a.e。。因此，断言（c）是将后一项索赔与以下事实相结合得出的，即由于G>0且根据（5.20），“num'eraire change premium”为空≡ 0页 A-。一e（5.58）本部分的其余部分证明了评估（d）。假设S∈ Mloc（F）。然后我们得到λ≡ 0和自身≡ 因此，我们推断uT（S，F）=0T（S，τ，F）=uT（Sτ，G）≥ 这结束了断言（d）的证明。4） 假设S是连续的。然后，根据命题5.3-（c），我们推导出以下等式ekf=（β- eх）oSc+m⊥=eLF+m⊥,eVF=eV=0。（5.59）随机视界下的对数相关投资组合31因此，直接计算Hellinger过程，另请参见[15,16,17]有关这一事实的更多详细信息，我们推导出H（0）（eKF，P）=H（0）（eLF，P）+H（0）（m⊥, P），eG=G-(1 + m级⊥),-eGoH（0）（m⊥, P）=G-oH（E）（m）⊥, P）- G-o[米⊥, m级⊥]h（E）（G）-1.-om、 P）=βtrcβoA+h（E）（m⊥, P）因此，通过将这些等式与（5.19）和（5.59）相结合，断言（e）立即出现，定理的证明完成。

5.3当（S，F）为跳跃扩散模型时，本小节说明了第3节和第4小节关于初始模型（S，F）为一维跳跃扩散模型的主要结果。准确地说，我们假设概率空间上定义了标准布朗运动W和强度λ>0的泊松过程N(Ohm, F、 P），过滤F是byW和N评级的完整且正确的连续过滤线。考虑固定的地平线T∈ (0, +∞), 假设S满足度t：=SE（X）t，Xt：=（σoW）t+（ζoNF）t+Ztusds，NtF：=Nt- λt，（5.60），存在常数δ∈ (0, +∞) 使得u、σ和ζ是满足ζ>-1，最小值（σ，|ζ|）≥ δ、 P dt-a.e。。（5.61）既然m是F-鞅，那么就存在两个F-可预测过程ν（m）和ψ（m），使得rt（ψ（m）s）+ψ（m）s|ds<+∞ P-a.s.和G-1.-om=Д（m）oW+（ψ（m）- 1） oNF。（5.62）定理5.8假设G>0，S由（5.60）-（5.61）给出，并考虑θ：=ξ+符号（ζ）pξ+4λψ（m）2σ-ζ、 式中ξ：=u- λζσ+Д（m）+σζ，（5.63）Theneθ∈ L（S，F）∩ L（S，F）是（Sτ，G）的num'eraire port fi olio rate，以下断言是等效的。（a） 随机时间τ，在F中参数化为（Д（m），ψ（m），G-), 满足“ZTGs”-h（ψ（m）s）+λψ（m）sln（ψ（m）s）- λψ（m）s+λidt#<+∞. （5.64）（b）存在（4.1）的解，由Ezg：=E（eKG），eKG：=-σeθoT（W）-ψ（m）ζeθ1+eθζoT（NF）。（5.65）32 Tahir Choulli，Sina Yansori（c）eθ是模型的对数最优投资组合利率（ST∧τ、 G）。通过对模型（5.60）-（5.61）的证明，可以得出如下Se c tion 3的可预测特征。设δa（dx）为点a处的狄拉克质量。