跳跃扩散的最优迭代阈值核估计

（10） 如果我们能够设计一种方法来发现B*= argminBLt，h（B；w）对于任何t和h，则通过设置t=ti-1和H=ti-ti公司-1，我们将能够指定整个最优T。显然，我们必须解决的第一个问题是是否存在全局最小点B*. 结果表明，当h足够小时，损失函数（10）是准凸函数b。该地产在Figueroa-L’opez和Nisen（2013）中建立，用于无漂移的L’evyprocess（即γ≡ 0、σ和λ是常数）。非零漂移产生了一些非平凡的细微之处，这些细微之处在以下定理中得到了解决，这在Figueroa-L'opez和Nisen（2013）中未经证明就得到了阐述。定理2.1（损失函数的一致拟凸性）。假设我们有模型（1），并满足假设1-3。然后，对于任何固定T>0，存在h：=h（T）>0，因此，对于所有T∈ [0，T]，h∈ （0，h），且w>0，函数Lt，h（B；w）在B中是拟凸的，并且具有唯一的全局最小点B*t、 h.我们继续给出最佳阈值B的定点公式*t、 h，这反过来使我们能够找到B的二阶渐近展开式*t、 hin a高频渐近区（h→ 0). 这一特征将为我们以后开发可行的估计算法提供理论基础。接下来，我们将重点放在w=1的情况下，为了便于记法，我们将变量w放入Lt，h（B；w）中。定理2.2（最佳阈值的特征）。假设我们有模型（1），并且满足假设1-3。对于每个固定T>0，存在h：=h（T）>0，因此，对于任何T∈ [0，T]和h∈ （0，h），最佳阈值B*t、 h，基于增量Xt+h- Xt，是这样的，B*t、 h=hγt，h+q2hσt，h“ln1+exp-2B级*t、 hγt，hσt，h！！-lnq2πhσt，h∞Xk=1hλt，hkk！φt，h* f*k（B*t、 h）+φt，h* f*k级(-B*t、 h）!#1/2.

（11） 此外，作为h→ 0，我们有渐近性：B*t、 h类=√h′σt，hh3对数（1/h）- 2个日志√2πC（f）’σt，h’λt，hi1/2+o（h+α），（12）对于任何α∈ (0, 1/2). 此外，如果σt，λt∈ C（（0，T）），并且在[0，T]上连续，那么如果我们分别用σ和λT替换‘∑T，hand‘∧T，hw，则（12）中的渐近性仍然成立。备注2.3。如果t→ σtis H–任意指数χ的older连续∈ (0, 1/2). 特别是，由布朗运动驱动的任何波动率模型都是如此（见（Revuz andYor，1998，Ch.V，练习1.20））。回想一下，如果一个函数是指数χ为H¨older连续的，那么对于任何指数χ<1/2的函数，它都是H¨older连续的。A映射g:D→ R、 对于凸D，如果对于任何λ∈ [0，1]和x，y∈ D、 g（xλ+y（1- λ)) ≤ 最大值{g（x），g（y）}。之前的结果扩展了Figueroa-L'opez和Nisen（2013）的一阶近似Q3σt、hh log（1/h），其余数仅为O阶h1/2日志-1/2（1/h）. 然而，在二阶近似下，余数是o（h1-) 对于任何 ∈ (1/2, 1). 分别为一阶和二阶最佳阈值近似引入以下符号是很方便的：B*1t，h=(R)σt，h【3h对数（1/h）】1/2，B*2t，h=√h′σt，hh3对数（1/h）- 2个日志√2πC（f）’σt，h’λt，hi1/2。（13） 这些告诉我们，在高频采样设置中，确定合适阈值水平B的唯一最重要参数是即期波动率σt，然后是参数νt（0）：=λtC（f），这大致决定了时间t附近发生小跳跃的可能性。值得注意的是，最佳阈值B*2t，Hc与B有很大不同*当σtλtC（f）较大时，为1t，hw。这是直观的，因为例如，如果σ和C（f）是固定的，随着跳跃率λt的增加，最佳阈值应该降低，以解释“小”跳跃的增加。

如果不调整阈值，则会出现更多的“误报”，即漏报。另一方面，随着λt的减小，最佳阈值应更大，以增加误报的可能性（即错误地推断在小间隔[t，t+h]期间发生跳跃）。类似地，对于固定σ和λtas，小跳跃的可能性（近似由C（f）参数化）增加（减少），最佳阈值相应减少（增加）。虽然我们已经证明了（13）的渐近性质，但这些最佳阈值还不可行，因为我们仍然需要估计现货波动率σt、跳跃强度λt和跳跃密度在原点的质量浓度C（f）。我们将分别在第2.4小节和第3节中介绍这些量的估算值。备注2.4。虽然标准（10）为阈值选择提供了一种合理的方法，但不能保证得到的最佳阈值是使（7）中引入的截断实二次变量CIVT的均方误差最小的阈值。关于后一个问题，我们参考了Figueroa-L\'opez和Mancini（2018）的一些结果。2.3偏差和方差我们得出TRV估计误差的以下渐近结果，这将Gueroa-L'opez和Nisen（2019）的结果推广到非齐次漂移、波动和跳跃强度。像往常一样，符号啊~ bh，如h→ 0，表示limh→0ah/bh=1。提案2.5。假设定理2.2的假设得到执行，并且B=（Bn）n≥1设置为beB*1n=q3σtihnlog（1/hn）。

然后，作为n→ ∞,E【T RV（X）】B【nT】-ZTσsds~ hnZT（γs- λsσs）ds，Var（T RV（X）[B]nT）~ 2hnZTσsds。此外，上述渐近行为也适用于形式为71bn的任何阈值序列，i=qcn，iσtihnlog（1/hn）+o（phnlog（1/hn）），前提是c：=lim infn→∞英菲肯，i∈ (2, ∞).证据让我们写出形式q3σtihnlog（1/hn）的Bn，iof。TRV估计器的偏差可分解为以下各项：T RV（X）[B]nTn-ZTσsds=nXi=1|尼克斯|[niN=0]- hnσti-1，hn+nXi=1|尼克斯|[|尼克斯|≤Bn，niN6=0]-nXi=1|尼克斯|[|niX |>Bn，niN=0]。（14） 使用Figueroa-L'opez和Nisen（2019）中的引理C.1和C.2以及假设1，对于任何0< < 1/2，我们有：E|尼克斯|[|尼克斯|≤Bn，i，niN6=0]= O（Bn，ihn）=O（hn[对数（1/hn）]，（15）E|尼克斯|[|niX |>Bn，i，niN=0]= O（phnBn，iφ（Bn，i/(R)σti，hnphn））=Oh类-n[对数（1/hn）], （16） 其中O（·）项在i中是统一的。这意味着（14）的第二项和第三项的顺序为SOP（h3/2[对数（1/h）]3/2）和OP（h3/2-[对数（1/h）]分别为1/2。这两个项都是o（hn）。对于其中的第一句话，请注意|尼克斯|[niN=0]- hnσti-1，hni=P(niN 6=0）hnσti-1，hn+P(niN=0）hnγti-1，hn=hn（γti-1，hn- λti-1，hnσti-1，hn）+O（hn），E|尼克斯|[niN=0]- hnσti-1，hn= P(niN 6=0）hnσti-1，hn+P(niN=0）2hnσti-1，hn=2hnσti-1，hn+O（hn）。通过计算上述各项的总和，并注意到不同项的独立性，我们得出了预期结果的第一部分。对于ˇBn，i，术语（16）将代替顺序OP（h1+c/2-[日志（1/h）]1/2。因此，只要c>2，渐近行为就不会改变。这证明了预期结果的第二部分。备注2.6。考虑提案2.5中的阈值Bn，iin的动机是因为σ的真实值不可用，在实践中，我们必须使用σ的估计值。假设我们有一个由σti表示的σt估计量，我们使用相应的估计阈值β*1n=q3^σtihnlog（1/hn）。

命题2.5的第二部分告诉我们，例如，如果估计量是lim infn→∞σti/σti=c>2/3，我们会有*1n=q3^σtihnlog（1/hn）≥q3（c- )σtihnlog（1/hn），对于足够大的n和 ∈ （0，c-2/3). 这将产生一个估计量，使得命题2.5的期望和方差的渐近性成立。2.4 0处跳跃密度的阈值核估计在本节中，我们研究原点处跳跃密度的估计，这是实现二阶最佳阈值B所需的*2t，由（13）驱动。我们提出了一种基于核估计的方法。对于相关方法，但对于更一般的It^o半鞅类，请参见Ueltzh–ofer（2013）。下面提出的方法与那篇论文中提出的方法之间的主要区别是阈值技术。我们施加以下正则性条件，这特别意味着C（f）=f（0）。假设4。f∈ C（[a，b]），对于一些a<0<b。同样，f（0）6=0，f（0）6=0。备注2.7。可以放宽之前的假设。例如，如果密度f仅满足假设2，则f（0+）和f（0-) 必须使用单边核估计器单独完成。基本思想与我们下面介绍的相同，但收敛速度和带宽的选择将有所不同。如上所述，我们希望为C（f）=f（0）构造一个一致的估计量，这在固定时间间隔[0，T]内是不可行的。因此，在这一部分中，我们考虑高频/长期采样设置，其中同时lyhn=ti- ti公司-1.→ 0，Tn=Tn→ ∞,作为n→ ∞.

自始至终，我们还假设γ、σ和λ是常数，因此iX不依赖于i。本着阈值估计的精神，基本思想是处理“大”增量iX，其绝对值超过了适当的阈值，作为进程跳跃的代理。然后，可以将这些大增量插入标准的核估计量f（0）。具体来说，我们考虑估计量：^f（0）：=|{i：|iX |>B}| X{i：|iX |>B}Kδ(|九|- B） ，（17）根据公约，在{i：|iX |>B}=. 通常，Kδ（x）：=K（x/δ）/δ，其中K：[0，∞) → [0, ∞) 是一个右核函数，这样r∞K（x）dx=1，δ是带宽参数。我们还使用| A |表示集合A中的元素数。我们预计，如果{i：|Xi |>B}|很小，但是，由于我们假设T→ ∞ 在{0}的邻域中f（x）6=0，对于足够大的n，我们有P({|iX |>B}=) ≈ e-λT→ 为了在第5节的蒙特卡罗研究中实现（17），如果{i：|iX |>B}≤ 5，这使得二阶阈值成为一阶阈值。在下文中，f*表示密度|iX |，取决于n，而f*|X个|||X |>b密度的标准|iX |调节开启|iX |>B.为了分析估计器（17）的性能并选择合适的阈值级别B和带宽δ，我们将估计误差分解为以下两项：（i）E=|{|iX |>B}| P|iX |>BKδ(|九|- （B）- f*|X个|||X |>B（B），（ii）E=f*|X个|||X |>B（B）- 2f（0）。接下来，我们采用“贪婪”策略来确定阈值B和带宽δ的合适值。具体地说，我们最小化Eto以获得“最优”阈值B，并且根据给定的阈值，我们最小化Eto以获得“最优”带宽δ。直接最小化E+将是一个更复杂的问题，需要更多的假设。

然而，我们认为，解决这样一个问题并不能显著提高所提出的估计器的性能。因此，我们把它作为一个悬而未决的问题。给定B的最小化Eoverδ与核密度估计的标准理论密切相关，因此我们直接将一般理论应用于此类问题。我们只需要确保|{|iX |>B}→ ∞, 根据下面的2.8号提案，假设T→ ∞. 两种广泛使用的方法是插入式方法和交叉验证，这两种方法各有利弊。这些方法超出了本文的范围，为了简单起见，我们使用著名的Silverman（1986）经验法则选择带宽：δ=1.06L-1/5sd，（18），其中“sd”是{九、：|iX |>B}，L是观察数，即|{九、：|iX |>B}|。这种经验法则在高斯核函数和高斯密度函数中效果最好。然而，已知该方法对其他核函数和密度函数具有鲁棒性。我们现在开始展示B*=p4hσlog（1/h）最小化了第二个误差E的前导项。附录A命题2.8给出了以下两个结果的证明。假设满足假设4，且γ、σ和λ为常数。进一步假设B→ 0和B/√h类→ ∞. 然后，Econverge为0，表示为h→ 0当且仅当h-3/2经验-B2hσ→ 在这个条件下，我们有e=λ√2πhσexp-B2hσ+ 2f（0）B+o（B）+o（h-3/2e-B2hσ）。（19） 此外，如果Econverge为0，则P(|iX |>B）=λh+o（h），如h→ 除了为我们提供误差Eto消失的条件外，命题2.8还暗示，在这种情况下，E[{i：|iX |>B}|]=λT+o（T），作为T→ ∞ 和h→ 因此，可用于估计f（0）的平均样本量相对于B近似为常数。

从启发的角度来看，这表明B的选择不会显著影响使E最小化的δ的选择。我们现在准备获得一个近似的最佳阈值B，它使E的前导阶项最小化。推论2.9。近似最优阈值B*将Egiven的前导阶项最小化（19）是这样的*=p4hσlog（1/h）+O（ph log log（1/h）），（20）有趣的是，这里的“最佳”阈值与前一节中确定的阈值不同。实际上，如果我们使用最佳阈值B*1或B*2in（13），E可能分叉。了解为什么最佳阈值彼此不同，这很有趣，也很重要。实际上，在上一节中，我们优化了跳跃错误分类的预期数量。在这种情况下，我们将最小化无条件的ALSE阳性（错误地要求跳转）和无条件的假阴性（错过跳转）之和。然而，由于跳跃发生的概率很小，与时间增量的长度成正比，因此从本质上讲，出现假阴性的概率不能太大。因此，通过将预期的误分类次数作为目标函数，我们将选择一个有利于无条件误报率更小的阈值。事实证明，如果我们选择B*1或B*2，调节开启|X |>B，不发生跳跃的概率与发生跳跃的概率相当，均为O（h）。也就是说，条件假阴性率不会消失。这种情况将使误分类的预期数量最小化，但无法使我们区分跳跃分布和噪声。

另一方面，使用p4hσlog（1/h）使条件假阴性消失，从而使我们能够得到一致的跳跃密度估计。3现货波动率的阈值核估计在本节中，我们考虑跳跃扩散过程的现货波动率估计，这是实现近似最优阈值公式（12）所必需的，但其本身也是一个重要问题。与第2节不同，这里我们还处理某些随机波动率模型。精确条件如下所示。即期波动率的核估计思想是取平方增量的加权平均值（参见Foster和Nelson（1996）以及Fan和Wang（2008））：^στ：=KW（τ，n，δ）：=nXi=1Kδ（ti-1.- τ)(iX）。（21）这里，K（·）是一个核函数，Rk（x）dx=1，Kδ（x）=K（x/δ）/δ，δ>0是带宽。然而，当跳跃确实发生时，上述估计量变得不准确。自然的想法是将（21）与阈值法相结合。具体地说，给定一个阈值向量[B]nT=（Bn，…，Bnn），我们考虑局部阈值核估计：^στ：=T KW（τ，n，δ）：=nXi=1Kδ（ti-1.- τ)(九）{|九|≤Bi}。（22）在下文中，我们将研究（22）的性质。为了做到这一点，我们必须处理波动的随机性，为此，我们扩展了Figueroa-L'opez和Li（2018）中的一些结果。我们将提到{σt}t的假设≥然后在随后的小节中讨论（22）的渐近性质。3.1波动率过程的假设第一个假设是一些非杠杆和有界条件，这使我们能够对波动率和漂移的整个路径进行条件化，并使用Figueroa-L'opez和Nisen（2019）的估计：假设5。在（1）中，（γ，σ）是局部有界的c'adl'ag，与布朗运动W和跳跃分量J无关。

此外，存在确定性MT<∞ （2）中定义的“γTand”σtD满足“γT<MT”和“σT<MT”。强度λ仍被假定为确定性的，因此λT：=inf0≤s≤tλs>0且|λt：=sup0≤s≤tλs<∞.我们现在介绍波动过程的关键假设。假设6。假设对于$>0和某些函数，L:R+→ R+，加元：R×R→ R、 对于R，s，C$不等于零，C$（hr，hs）=h$C$（R，s）∈ R、 h类∈ R+，（23）方差过程V：={Vt=σt:t≥ 0}满意度[（Vt+r- Vt）（Vt+s- Vt）]=L（t）C$（r，s）+o（（r+s）$/2），r，s→ 0。（24）关于核函数K的另一个假设如下：假设7。假设假设6中定义的$>0和C$，核函数K:R→ 满足以下条件：（1）RK（x）dx=1；（2） K是Lipschitz，分段Con是它的支撑（A，B），其中-∞ ≤ A<0<B≤ ∞;（3） （i）R | K（x）| x |$dx<∞; （ii）K（x）x$+1→ 0，为| x |→ ∞; （iii）R | K（x）| dx<∞, （四）五∞-∞（| K |）<∞, 其中v∞-∞（·）是总变化；（4） RRK（x）K（y）C$（x，y）dxdy>0。关于假设5、6和7的更多详情，我们参考Figueroa-L'opez和Li（2018）。我们在此仅提及假设6涵盖了广泛的框架，如确定性和平滑波动率、布朗运动和分数布朗运动驱动的波动率等。在下一小节中，我们将基于假设5建立（22）的渐近性质，6和7.3.2阈值核估计的渐近性质Figueroa-L'opez和Li（2018）在假设5、6和7下证明了以下结果（其中c.f.第3节）：EnXi=1Kδ（ti-1.- τ)(iXc）- στ!= 2hδE[στ]ZK（x）dx+δ$L（τ）ZZK（x）K（y）C$（x，y）dxdy+ohδ+ o（δ$），（25），其中xc是（1）中定义的X的连续部分。将Figueroa-L'opez和Li（2018）提出的核估计理论扩展到阈值核估计（22）的关键结果如下。提案3.1。