跳跃扩散的最优迭代阈值核估计

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英文标题：
《Optimal Iterative Threshold-Kernel Estimation of Jump Diffusion
  Processes》
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作者：
Jos\\\'e E. Figueroa-L\\\'opez, Cheng Li, and Jeffrey Nisen
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this paper, we propose a new threshold-kernel jump-detection method for jump-diffusion processes, which iteratively applies thresholding and kernel methods in an approximately optimal way to achieve improved finite-sample performance. We use the expected number of jump misclassifications as the objective function to optimally select the threshold parameter of the jump detection scheme. We prove that the objective function is quasi-convex and obtain a new second-order infill approximation of the optimal threshold in closed form. The approximate optimal threshold depends not only on the spot volatility, but also the jump intensity and the value of the jump density at the origin. Estimation methods for these quantities are then developed, where the spot volatility is estimated by a kernel estimator with thresholding and the value of the jump density at the origin is estimated by a density kernel estimator applied to those increments deemed to contain jumps by the chosen thresholding criterion. Due to the interdependency between the model parameters and the approximate optimal estimators built to estimate them, a type of iterative fixed-point algorithm is developed to implement them. Simulation studies for a prototypical stochastic volatility model show that it is not only feasible to implement the higher-order local optimal threshold scheme but also that this is superior to those based only on the first order approximation and/or on average values of the parameters over the estimation time period.
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中文摘要：
本文针对跳跃扩散过程提出了一种新的阈值核跳跃检测方法，该方法以近似最优的方式迭代应用阈值和核方法，以提高有限样本性能。我们以期望的跳跃错误分类数为目标函数，优化选择跳跃检测方案的阈值参数。我们证明了目标函数是拟凸的，并以闭形式得到了最优阈值的一个新的二阶填充逼近。近似最优阈值不仅取决于现货波动率，还取决于跳变强度和原点跳变密度的值。然后开发这些量的估计方法，其中现货波动率由带阈值的核估计器估计，原点跳跃密度的值由密度核估计器估计，密度核估计器应用于所选阈值准则认为包含跳跃的增量。由于模型参数与为估计它们而建立的近似最优估计量之间的相互依赖性，开发了一种迭代不动点算法来实现它们。对一个典型随机波动率模型的仿真研究表明，实施高阶局部最优阈值方案不仅可行，而且优于仅基于一阶近似和/或估计时间段内参数平均值的方案。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Optimal_Iterative_Threshold-Kernel_Estimation_of_Jump_Diffusion_Processes.pdf (1.43 MB)

2022-6-11 04:04:45 上传

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关键词：核估计 econometrics Multivariate Quantitative Applications

跳跃扩散过程的最优迭代阈值核估计*Cheng Li+Jeffrey Nisen2020年4月7日摘要在本文中，我们提出了一种新的跳跃扩散过程阈值核跳跃检测方法，该方法以近似最优的方式应用阈值和核方法，以实现改进的单元示例性能。正如Figueroa-L'opez和Nisen（2013）所述，我们使用跳跃错误分类的预期数量作为目标函数，以优化选择跳跃检测方案的阈值参数。我们证明了目标函数是拟凸的，并以闭合形式获得了最优阈值的一个新的二阶近似。近似最优阈值不仅取决于现货波动率σt，还取决于跳跃强度和原点跳跃密度的值。然后开发了这些量的估计方法，其中现货波动率由带阈值的核估计量估计，原始跳变密度的值由密度核估计量估计，该密度核估计量应用于chosenthresholding准则认为包含跳变的增量。由于模型参数和为估计它们而构建的近似最优估计量之间的相互依赖性，开发了一种迭代定点估计算法来实现它们。

对原型随机波动率模型的模拟研究表明，实施高阶局部最优阈值方案不仅可行，而且优于仅基于一阶近似和/或估计时间段内参数平均值的方案。1引言在这项工作中，我们研究了一个形式为xt的跳跃扩散过程：=Ztγudu+ZtσudWu+NtXj=1ζj，其中W是维纳过程，N是局部强度{λt}t的独立泊松过程≥0和{ζj}j≥1是独立于W和N的i.i.d.变量。由于跳跃的存在，一些统计推断问题，包括波动率估计和跳跃检测，可以通过Mancini（2001、2004、2009）开发的阈值方法来解决。其基本思想是引入阈值调节参数B，以便每当增量的绝对值X：=Xti- Xti公司-1除B外，我们得出结论，在间隔期间（ti）发生了异常事件（也称为“跳跃-1，ti），我们可以根据其继续估计波动率和其他参数。为了进一步将阈值方法扩展到各种统计推断问题，已经进行了许多工作。对于具有有限或无限跳跃活动的It^o半鞅，Mancini（2009）和Jacod（2007，2008）研究了跳跃检测和综合挥发性估计。我们还参考了Corsi等人（2010），Ait-Sahalia*密苏里州圣路易斯华盛顿大学数学与统计系，美国密苏里州圣路易斯63130。菲格罗亚-lopez@wustl.edu.+Citadel Securities，纽约州纽约市，10022，美国。Cheng。Li@citadelsecurities.com.定量分析，巴克莱，纽约，纽约，10019，美国。杰弗里。nisen@barclayscapital.com.andJacod（2009b，a，2010），Cont和Mancini（2011），Figueroa-L\'opez（2012），Jing等人。

（2012），以及其他关于阈值法的进一步应用。为了使跳转检测程序具有良好的性能，我们必须解决的关键问题之一是阈值B的选择。理想情况下，我们希望在合适的标准下选择可能的最佳阈值。Figueroa-L'opez和Nisen（2013年）将跳跃错误分类的预期数量作为估计损失函数，最近，Figueroa-L'opez和Mancini（2018年）利用阈值实现二次变化的均方误差对这一问题进行了研究。Figueroa-L'opez和Nisen（2013）在零漂移、恒定不稳定性σ和恒定跳跃强度的假设下表明，最佳阈值的一阶近似值由p3σh log（1/h）给出（参见其中的定理4.2和4.3），当h（观测之间的时间间隔）缩小到0时（即，小或高频渐近性）。基于这一结果，Figueroa-L'opezand Nisen（2013）提出了一种估算依赖时间的确定性波动率的方法，并通过模拟表明，其性能有利于平稳波动率。在这项工作中，我们从三个方向概括了这个框架。我们首先证明了损失函数是准凸的，并且在非齐次漂移、波动性和跳跃强度的更一般情况下允许全局最小值。Figueroa-L'opez和Nisen（2013）在未经证明的情况下陈述了该结果的更简单版本。然后，我们继续以闭合形式获得最优局部阈值的二阶渐近近似，它取决于现货波动率σt、局部跳跃强度λt和原点跳跃密度的值。我们发现，正如预期的那样，如果即期波动率很高，那么更可取的做法是设定一个更大的阈值。

然而，当初始跳跃强度或跳跃密度较大时，出现较小跳跃的可能性较高，这有利于使用较小的阈值来检测此类跳跃。虽然导出了二阶近似的显式公式，但除非我们能够估计该公式中出现的所有未知参数：现货波动率、跳跃强度和原点跳跃密度，否则该方法不可行。为此，我们应用如下所述的核估计技术，为最佳阈值设计可行的插件式估计器。核估计有着悠久的历史，已被应用于许多统计问题。在我们的工作中，我们使用它来估计原点处的跳跃密度。我们面临的问题在几个方面与通常的密度核估计不同。首先，我们所拥有的数据被噪音污染了，更糟糕的是，部分数据可能根本不包含我们想要估计的密度的任何信息。此外，由于使用了阈值，我们得到的数据充其量是从截断分布中提取的，而我们希望估计密度的点甚至不在截断数据的支持范围内。由于这些原因，我们必须调整核密度估计的标准方法，并选择适当的阈值，以便在原点处获得满意的跳跃密度估计。

事实证明，在这种情况下，我们应该使用的最佳阈值比我们用于最佳跳转检测的阈值要大（关于这背后的直觉，请参见第2.4节）。我们必须估计的另一个数量是现货波动率，这也可以通过核估计量来估计。Foster和Nelson（1996）对这一主题进行了早期研究，其中分析了滚动窗口估计器，这与均匀核的核估计思想相似。Fan和Wang（2008）、Kristensen（2010）、Mancini等人（2015）以及最近的Figueroa-L'opez和Li（2017）研究了基于核的通用核即期波动率估计。另请参见（Jacod和Protter，2012年，第13章）和（Ait-Sahalia和Jacod，2014年，第8章）的优秀专著，了解通过统一核对It^osemimatigales的现货波动率估计问题的一般处理（尽管Ait-Sahalia和Jacod（2014）中的备注8.10也简要提到了支持[0，1]的一般核的情况）。与现货波动率的核估计相关的关键问题之一是如何选择带宽。Kristensen（2010）提出了一种留一交叉验证方法，这是一种通用的方法，但避免了准确性和计算效率的损失。在这项工作中，我们采用了Figueroa-L'opez和Li（2017）的方法，对现货波动率进行了阈值核估计，而不仅仅是核估计。明确推导了估计器均方误差的前导阶项，在此基础上提出了一种优化带宽和核选择的方法。

同时给出了估计误差的CLT。如上所述，近似最优阈值取决于现货波动率、跳跃强度和原点跳跃密度的值，而这三个数量的近似最优估计值取决于阈值。这种相互依赖性立即提出了一种迭代算法，该算法首先对这些参数进行初始猜测，然后逐渐收敛到定点结果。由于阈值估计器的性质，结果完全取决于每个数据增量的绝对值是否超过阈值，因此我们可以根据每个数据增量是否包含在阈值中得出收敛性结论，而不会产生任何歧义。论文的其余部分组织如下。第2.1节介绍了框架和假设。在第2.2节中，我们分析了最佳阈值并获得其二阶近似值。第2.3节推导了估计值的偏差和方差。在第2.4节中，我们考虑了初始跳变密度的核估计。第三节研究了现货波动率的阈值核估计。然后将这三个估计器组合成第4节中介绍的迭代算法。最后，通过第5节中的几个仿真，分析了所提出方法的性能。第6节给出了结论和对未来工作的一些思考。主要结果的证明推迟到附录部分。2 TRVIn的最佳阈值本节我们扩展了Figueroa-L'opez和Nisen（2013）的建模框架和最佳阈值结果。具体而言，我们将允许非恒定漂移、波动性和跳跃强度，尽管我们将跳跃密度随时间保持不变。在第一小节中，我们介绍了最佳阈值结果所需的所有假设。

然而，我们暂时将漂移、波动率和强度设置为确定性，随后在讨论现货波动率的核阈值估计时，将放宽这些设置。所有的结果都可以推广到随机漂移和波动性，以及双随机泊松过程N，只要我们假设半鞅的布朗运动和跳跃与所有这些过程无关，因为我们在漂移、波动性和跳跃强度N的路径上设置条件。同样重要的是要指出，虽然我们在本节中的结果是在刚才提到的独立性假设下得出的，但我们的模拟实验表明，这并不重要，因为所提出的估计量在具有杠杆作用的原型随机波动率模型下表现良好。2.1框架和假设我们考虑了一个形式为Xt的It^o半鞅：=Ztγudu+ZtσudWu+NtXj=1ζj=：Xct+Jt，（1）其中W={Wt}t≥0是维纳过程，{ζj}j≥1是密度为f，N={Nt}t的i.i.d.变量≥0是强度函数{λt}t的非齐次泊松过程≥0和连续分量{Xct}t≥0和跳线组件{Jt}t≥0是独立的。过程γ和σ满足（1）中积分的标准条件。在本节中，我们将另外假设γ、σ和λ的以下条件：假设1。函数γ：[0，∞) → R、 σ：[0，∞) → R+，和λ：[0，∞) → R+具有确定性，因此，对于任何给定的固定t>0，σt：=inf0≤s≤tσs>0，’σt：=sup0≤s≤tσs<∞,γt：=inf0≤s≤tγs>0，’γt：=sup0≤s≤tγs<∞,λt：=inf0≤s≤tλs>0，(R)λt：=sup0≤s≤tλs<∞.（2） 此外，我们假设t 7→ σ是连续的。需要以下符号：σt，h：=hZt+htσudu，γt，h：=hZt+htγudu，λt，h：=hZt+htλudu。

（3） 在第3节中，我们将考虑随机过程γ和σ。注意，使用这些符号，我们的模型假设意味着，对于任何t，h≥ 0和k∈ N、 Xct+h- Xct=DNhγt，h，hσt，h, P（Xt+h- Xt公司∈ dx | Nt+h- Nt=k）=φt，h* f*k（x）dx，其中φt，his是Xct+h的密度-Xct，即φt，h（x）：=σt，h√hφx个-hγt，hσt，h√h类. 对于这些类型的过程，相关局部特征的形式为（γ，σ，ν），其中局部L'evy测度的密度由νt（x）=λtf（x）给出。假设2。跳跃密度f的形式为f（x）=pf+（x）1[x≥0]+qf-（x） 1[x<0]，（4），其中p∈ [0，1]和q：=1- p、 f+：[0，∞) → [0, ∞) 和f-: (-∞, 0] → [0, ∞) 有界函数∞f+（x）dx=R-∞f-（x） dx=1。此外，我们假设f±（0）=limx→0±f±（x）∈ (0, ∞).还需要以下符号：C（f）：=limε→0+2εZε-εf（x）dx=pf+（0）+qf-（0），Cd（f）：=| pf+（0）- qf公司-（0）|，Cm（f）：=最小值{f+（0），f-(0)}. （5） 注意，如果f在原点连续，则C（f）=f（0），Cd（f）=0。对于某些结果，我们还需要以下假设：假设3。f级+∈ C（[0，b）），f-∈ C（（a，0）），对于某些a∈ (-∞, 0），b∈ (0, ∞) 和f±（0）：=limx→存在0±f±（x）。自始至终，我们假设我们在均匀间隔的时间观察过程X，ti：=ihn，i=0，n、 （6）式中，Hn是观测值之间的时间跨度，T：=Tn：=Nhni是时间范围。我们还将使用尼克斯：=Xti- Xti公司-1表示基础流程在[ti]上的增量-1，ti），当没有歧义时，我们将删除上标n。最后，我们介绍了我们在这项工作中考虑的跳转检测过程。我们首先指定阈值向量[B]nT=（Bn，…，Bnn），当无法生成融合时，我们通常会删除上标n。考虑到[B]nT，我们可以得出结论，在[ti]期间发生了跳跃-1，ti）无论何时|iX |>Bi。

作为这个跳跃检测标准的副产品，我们可以设计出以下自然估计量NT、JT和综合方差IVT：=RTσsds:bNT=nXi=1{|iX |>Bi}，bJT=nXi=1(iX）1{|iX |>Bi}，cIVT=T RV（X）[B]nT=nXi=1(九）{|九|≤Bi}。（7） 曼奇尼（2001）和曼奇尼（2004）首次研究了这些估计值。估计量Civt在文献中得到了广泛的研究，通常被称为X的截断或阈值实现二次变化（TRV）。2.2最优阈值及其近似在本小节中，我们阐述了最优阈值选择问题。我们采用了FigueroaL'opez和Nisen（2013）中的方法，我们现在简要回顾了该方法的完整性。我们试图找到一个阈值T=（B，…，Bn）∈ Rn+使损失函数最小化：L（[B]T）：=EnXi=1{|iX |>Bi，iN=0}+nXi=1{|九|≤Bi，iN6=0}！。（8） 上述损失函数表示“跳跃”错误分类的预期数量（即，子区间错误分类为有跳跃，而事实上没有，或事实上没有跳跃）。前面的公式为这两种类型的误差赋予了相同的权重，而更一般的损失函数为：L（[B]T；w）：=EnXi=1{|iX |>Bi，iN=0}+wnXi=1{|九|≤Bi，iN6=0}！。（9） 就我们的目的而言，（8）已经足够了，但在某些应用中，（9）可能有用。例如，当市场参与者错误地将价格变化视为不寻常的事件，即跳跃时，他们更有可能变得更加保守。在这种情况下，人们可能倾向于采用w<1。在（8）和（9）中，损失函数都是加性的。因此，我们可以对每一个进行二分优化。事实上，我们为给定的t和h确定了以下损失函数：Lt，h（B；w）：=P（| Xt+h- Xt |>B，Nt+h- Nt=0）+wP（| Xt+h- Xt |≤ B、 Nt+h- Nt6=0）。