跳跃扩散的最优迭代阈值核估计

假设满足假设2、5、6和7，并取带宽序列δnsuchthat hn/δn→ 设Bi：=Bn，i（c）：=qc'σti，hh log（1/h）+o（ph log（1/h）），c>0。那么，我们有：(R)En：=nXi=1Kδ（ti-1.- τ)(iXc）- (九）{|九|≤Bi}= 操作最大{h，hc/2log1/2（1/h）}. （26）此外，E“”英语= Ohδ+ Oh1+cδ[对数（1/h）]+ O（hclog（1/h））。（27）证明。Let Ei：=(九）{|九|≤Bi}- (iXc）并观察EI=-(iXc）[iN6=0]+(九）[|九|≤Bi，iN6=0]- (九）[|iX |>Bi，iN=0]=：Ei，1+Ei，2+Ei，3。（28）现在，在σ和γ的路径上条件化，并在Figueroa-L'opez和Nisen（2019）中应用引理C.1-C.2，以下观点成立：(九）[|九|≤Bi，iN6=0]=操作波黑= 操作h5/2[对数（1/h）]3/2,(九）[|iX |>Bi，iN=0]=OP（phnBn，iφ（Bn，i/(R)σti，hnphn））=OPh1+c/2[对数（1/h）]1/2,(iXc）[iN6=0]=OP（h）。（29）从假设5来看，上述条件均适用于1≤ 我≤ n、 因此，根据假设7，我们得到：nXi=1Kδ（ti-1.- τ)(九）{|九|≤Bi}- (iXc）= 操作最大{h，hc/2log1/2（1/h）}.对于定理的第二个断言，首先请注意“”英语=nXi=1Kδ（ti-1.- τ） E[Ei，1+Ei，2+Ei，3]=nXi=1Kδ（ti-1.- τ） hO（h）+O小时[对数（1/h）]+ Oh1+c[对数（1/h）]i=O（h）+Ohc[对数（1/h）].同样，Var“”英语=nXi=1Kδ（ti-1.- τ） 风险值(iXc）- (九）{|九|≤Bi}≤ 4nXi=1Kδ（ti-1.- τ)E（Ei，1）+E（Ei，2）+E（Ei，3）=nXi=1Kδ（ti-1.- τ） hO（h）+Oh2+c[对数（1/h）]i=Ohδ+ Oh1+cδ[对数（1/h）].然后我们得出结论。利用命题3.1，我们得到了以下命题，它表征了阈值核估计（22）的MSEof的前导阶项。这允许我们执行带宽和内核函数选择。提案3.2。假设假设满足假设2、5、6和7，并将阈值向量取为Bn，i（c）=qc'σti，hh log（1/h）+o（ph log（1/h）），对于任何c∈ ($$+1, ∞). 然后，我们得到了，对于每个τ∈ （0，T），EhT KW（τ，n，δ）- στi=2hδE[στ]ZK（x）dx+δ$L（τ）ZZK（x）K（y）C$（x，y）dxdy+ohδ+ o（δ$）。（30）证明。

我们考虑以下分解：T KW（τ，n，δ）- στ=nXi=1Kδ（ti-1.- τ)(九）{|九|≤Bi}- (iXc）+“nXi=1Kδ（ti-1.- τ)(iXc）- στ#=：（I）+（II）。（31）从（25）中，我们得到上述（II）的二阶矩收敛于速率Ohδ+ O（δ$）。（II）的最佳速率由h$/（1+$）给出，并由δ获得~ h1/（$+1）。因此，根据命题3.1，只要c>$/（1+$），（I）的阶数高于（II），在这种情况下，（I）将是ohδ或o（δ$）。这就完成了证明。备注3.3。（22）的MSE的前导阶项不取决于阈值。然而，通过选择最佳阈值或其近似值，我们能够优化误差的子阶部分，这在实践中提高了估计器的性能。还有，自从服用c∈ (2, ∞) 在不改变渐近收敛速度的情况下，我们对该方法具有一定的鲁棒性。通过进一步的假设，我们还可以得到阈值核估计的CLT。以下结果的极限与命题3.2相似，但利用了inFigueroa-L'opez和Li（2018）中的定理6.1和6.2，它们处理的是没有跳跃的类似结果。定理3.4。假设满足假设1、2、5、6和7，并将任何c的阈值向量取为Bn，i（c）=qc'σti，hh log（1/h）+o（ph log（1/h∈ ($$+1, ∞). 然后，对于每个τ∈ （0，T），hδ-1/2“T千瓦（τ，n，δ）-ZTKδ（t- τ） σtdt#→DδN（0，1），（32），其中δ=2στRK（x）dx。

此外，假设以下任一条件成立：（1）{σt}t≥0是由σt=σ+Rtfsds+RtgsdBs给出的It^o过程，其中B是独立于w的布朗运动，我们进一步假设∈[0，T]E[| ft |]<∞, 支持∈[0，T]E[gt]<∞, 和E[（gτ+h- gτ）]→ 0作为h→ 0;（2） σt=f（t，Zt），对于确定性函数f:R×R→ R使得f∈ C1,2（R）和高斯过程{Zt}t≥0满足假设6和一些轻微的附加条件。然后，在扩展上（“”Ohm,概率空间的'F，'P）(Ohm, F，P），配备了与{σt}t无关的标准正态变量ξ≥0，我们有，对于每个τ∈ （0，T），δ-$/2ZTKδ（t- τ） （σt- στ）dt！→其中，在上述条件（1）下，δ=g（τ，ω）RRK（x）K（y）C（x，y）dxdy，而在条件（2）下，δ=[f（τ，Zτ）]L（Z）（τ）RRK（x）K（y）C（Z）$（x，y）dxdy。这里，f（t，z）=fz（t，z）。有趣的是，这里允许的c范围与允许的积分波动率范围之间存在差异。事实上，只要$∈ (0, ∞), 即期波动率估计的范围严格大于综合波动率估计的范围。原因是，即期波动率的估计远不如综合波动率的估计准确。因此，我们可以得出结论，即使对现货波动率的估计不好，我们仍然能够得到一个足够准确的阈值，以便我们应用阈值估计并获得另一个现货波动率估计。3.3带宽和内核选择利用我们从上一小节获得的前导阶近似值，我们现在能够开发一种可行的插件式带宽选择方法。此外，当波动率由布朗运动驱动时，我们可以得到最优的核函数。

在本小节中，我们描述了所有相关结果，这些结果是提案3.2的直接结果，与Figueroa-L'opez和Li（2018）给出的结果平行。我们参考Figueroa-L\'opez和Li（2018）了解证据的详细信息。第一个结果是理论上近似的最佳带宽，可以通过取（30）中的前导项相对于带宽δ的导数来获得。提案3.5。在与命题3.2相同的假设下，用δa，optn表示的近似最佳带宽（定义为最小化（30）中MSE的前导阶项）由δa，optn=n给出-1/($+1)2T E[στ]RK（x）dx$L（τ）RRK（x）K（y）C$（x，y）dxdy1/（$+1），（34），而近似MSE的获得的全局最小值由MSEA给出，optn=n-$/(1+$)1 + $$2T E[στ]ZK（x）dx$/(1+$)$L（τ）ZZK（x）K（y）C$（x，y）dxdy1/(1+$).（35）我们请读者参阅Figueroa-L'opez和Li（2018）了解更多详细信息。在Figueroa-L'opez和Li（2018）中，我们假设σt=f（Zt），但实际上很难将σt=f（t，Zt）推广到f∈ C1,2（R）。如Figueroa-L'opez和Li（2018）所示，通过将公式（34）中的E[στ]和L（τ）替换为其集成版本RTE[στ]dτ和Rtl（τ）dτ而获得的结果带宽，渐近等同于使集成MSE RTE最小化的最佳带宽（σt）- σt）dt。在布朗运动驱动的波动过程的情况下，如定理3.4的设置（1），Figueroa-L'opez和Li（2018）表明$=1，C（x，y）=min{x'，y'1xy≥0，L（t）=E（gt），从而得出公式：δa，optn=n-1/2“2T E[RTσtdt]RK（x）dxE[RTgtdt]RRK（x）K（y）C（x，y）dxdy#1/2。（36）此外，由于我们最多只能实现一个σ路径，并且我们正在使用σ的非参数设置，因此很自然地将tσtdt和RTgtdt分别用作E[RTστdτ]和E[RTgtdt]的代理。

这些考虑因素建议以下带宽选择方法：δa，optn=n-1/2“2TRTσtdtRK（x）dxrtgtdrrk（x）K（y）C（x，y）dxdy#1/2。（37）或者，根据假设5中的独立条件，我们可以将（37）视为使条件积分MSE，EhRT（σt）最小化的最佳带宽的近似值- σt）dt |σs，γs:0≤ s≤ Ti。然而，带宽（37）还不可行，因为它取决于未知的随机量rtσtdt和rtgtdt。tσtdt的一个著名估计量是截断的实现四次方，由CIQ=（3h）定义-1Pni=1(九）{|iX |<Bn，i}（一致性见Mancini（2009）中的命题1）。TGTDIT的估算更为复杂。这个量有时被称为vol的积分vol（或简称vol-vol），本质上是波动过程的二次变化。Figueroa-L'opez和Li（2018）介绍了一种基于Zhang等人（2005）介绍的两个时间尺度实现的二次变化的估计器。具体地说，让σl，tiandσr，tibe分别为σti的左右侧估计量，定义如下：σl，ti=Pj>iKδ（tj-1.- ti）(njX）{|njX公司|≤Bj}hPj>iKδ（tj-1.- τ)1{|njX公司|≤Bj}，^σr，ti=Pj≤iKδ（tj-1.- ti）(njX）{|njX公司|≤Bj}hPj≤iKδ（tj-1.- τ)1{|njX公司|≤北京}。（38）接下来，我们定义了以下两个具体差异：iσ=σr，ti+1- σl，ti，（k） iσ=σr，ti+k- σl，ti。最后，我们可以构造以下估计量：[IV V（tsrvv）T=kn-k-bXi=b(（k） i^σ）-n- k+1nkn-k-bXi=b+k-1(i^σ）。（39）这里，与n相比，b是一个足够小的整数。引入这样一个数字b的目的是减轻单边估计量的边界影响，因为，例如，预计^σl，ti将更不准确，i变小。

命题3.2以及Figueroa-L'opez和Li（2018）的相应结果证明了TSRVV估计量的一致性。我们将在本小节中提到的最终结果是关于最优核函数的。事实上，正如Figueroa-L'opez和Li（2018）所证明的那样，当波动率由布朗运动驱动时，最优核函数由双指数函数给出。定理3.6。在与命题3.2相同的假设条件下，假设C$（r，s）=min{r}，{s}1{rs>0}，我们得到使（35）给出的近似最优MSE最小化的最优核函数是双指数核函数：Kopt（x）=e-|x |，x∈ R、 4阈值核估计的完整实现方案在这一部分中，我们提出了一个完整的数据驱动的阈值核估计方案。我们考虑了几个版本，这取决于我们是否将波动率视为常数，以及我们是否使用一阶或二阶近似公式。我们的主要兴趣之一是研究局部和/或二阶阈值处理是否可以提高阈值估计的性能。让我们回顾一下，目前的关键问题是跳跃检测；i、 我们希望确定iN=0或否。当然，我们也对估计波动性、跳跃强度和跳跃密度感兴趣，但我们的前提是有效的跳跃检测可以很好地估计其他模型特征。在第2.2节中，我们引入了跳跃错误分类的预期数量作为目标函数，并获得了最佳阈值的理论一阶和二阶近似值，分别由B*1i=3σih对数（1/h）1/2，B*2i=√hσih3对数（1/h）- 2个日志√2πC（f）σiλii1/2，（40）其中，在某些滥用符号的情况下，我们表示σi：=σtian和λi：=λti。

虽然我们假设C（f）随着时间的推移保持不变，但我们确实允许非常数波动率σ和跳跃强度λt。由于估计现货值通常不如估计平均值准确，一种简单的实施方法（40）是用它们的平均值来代替σi和λi，分别是σ：=RTσsds/t和λ：=RTλsds/t。这种简化导致我们考虑以下阈值序列：Bc1i=3〃σh对数（1/h）1/2，Bc2i=√h’’σh3对数（1/h）- 2个日志√2πC（f）’σ′λi1/2，（41），其中上标c用于表示“恒定”波动性和跳跃强度。根据（7），“λ”和“σ”的自然值由^λ=TnXi=1给出{|iX |>Bi}，σ=TnXi=1(九）{|九|≤Bi}，（42）。如第2.4节所述，C（f）=f（0）的估计量由C（f）：=2给出|{|iX |>Bi}|X|Xi |>BiKδ(|九|- Bi），（43），其中带宽δ根据Silverman的经验法则（18）进行设置，对于阈值Bi，我们可以使用与（42）中相同的阈值，或者使用推论2.9中建议的ofeBi=p4hσlog（1/h）的估计值。在下面的算法和第5节的模拟中，我们使用前一个阈值。综合起来，下面的算法1和2详细说明了一阶和二阶常数阈值的实现（41）。算法1与Figueroa-L'opez和Nisen（2013）中提出的算法相同，因为它生成的阈值和波动率估计序列是非递增的，因此保证在很多步骤中完成。有关算法2的停止标准的更多信息，请参阅本节末尾。我们现在考虑实施局部或非恒定阈值（40）。首先，由于定理2.2确定σi对近似最优阈值的影响比λi大得多，我们通过估算λi和（42）中定义的λ来简化问题。

根据我们在第3节中的讨论，σi的估计由核估计量给出：^σi：=nXj=1Kδ（tj-1.- ti）(jX）{|jX公司|≤北京}。（44）以上，我们可以尝试使用类似于第3.3节所述的方法校准带宽δ。然而，为了简单起见，在模拟中，我们设置δ=h1/2n，根据（36），这在一阶是速率最优的。根据（43）中定义的σi、λ和C（f），我们可以计算一阶和二阶近似算法1迭代（常数）一阶阈值核算法的估计值计算σOldby（42）设置Bi=∞;初始化Bc1i=3^σh对数（1/h）1/2，对于i=1，n计算（42）中的^σNewas，并用Bc1i替换bire；而^σNew6=^σOlddo^σOld=^σNew；更新Bc1i=3^σOldh log（1/h）1/2，对于i=1，n计算（42）中的^σNewas，用Bc1i替换Bir；结束时，使用最终BC1进行跳转检测；算法2迭代（常数）二阶阈值核算法通过（42）设置Bi=∞;初始化Bc2i=3^σh对数（1/h）1/2，对于i=1，n而“停止标准”不满足（42）中的计算λ和σ，用Bc2i替换；用（43）估算C（f），Bi=Bc2i；根据新估计的参数，将Bc2iby（41）更新为‘∑=σ，’λ=λ，和C（f）=\\C（f）；结束时使用最终BC2进行跳转检测。最佳阈值如下：Bn1i=3^σih对数（1/h）1/2，Bn2i=√h^σih3对数（1/h）- 2个日志√2π\\C（f）σiλi1/2，（45），其中上标n表示非常数波动率估计。下面的算法3给出了非恒定阈值（40）的实现细节。其中，初始阈值取Bn1i=^′σh对数（1/h）1/2，其中^′σ是′σ的初始估计：=RTσsds/T，如从以前的算法中获得的。在第5节的模拟中，我们采用了算法1中的方法。

有关算法的“停止标准”的更多详细信息，请参见下文。算法3迭代阈值核算法初始化Bn1i=^′σh对数（1/h）1/2（或Bn2i=^′σh对数（1/h）1/2当使用二阶近似值时），对于i=1，n当“停止标准”不满足（44）中的计算^σias时，用Bn1i（或使用二阶近似时的BN2i）替换；通过（42）-（43）计算^λ和\\C（f），并用Bn1i（或使用二阶近似时的BN2i）替换；根据新估计的参数，将Bn1i（或使用二阶近似时的BN2i）更新为（45）；结束时，将Bn1i（或Bn2i）作为最终阈值。注意，在有限样本设置下，in（41）和（45）、Bc2和bn2可能没有很好的定义。事实上，在一段时间内和固定样本量下，3 log（1/h）<2 log是可能的√2πC（f）σiλ, 在这种情况下，（45）中的平方根没有很好地定义。当然，渐近地，这从来都不是问题，因为我们只需要考虑足够小的h。然而，对于实现，使用B是很自然的*2每当3 log（1/h）>2 log时√2πC（f）σiλi,并使用B*1，否则。我们现在简要讨论算法1和3的一些停止标准。通常，当更新的值与旧值足够“接近”时，大多数迭代算法都会停止。然而，对于阈值估计器，我们注意到在初始设置之后只有2n个可能的阈值向量。因此，算法3:1中的“while”循环只有两种可能的情况。经过几次迭代后，该算法得到一个固定的阈值向量[BT]。2、经过几次迭代，该算法得到了一个由[BT]给出的阈值向量循环。。。，[黑色]。正如我们将在第5.1小节末尾看到的，通常阈值向量在2次迭代中收敛。5蒙特卡罗研究在本节中，我们研究了我们提出的方法的性能。

具体而言，在第5.1节中，我们将比较（41）和（45）给出的四种不同阈值方法，并在算法1-3中详细介绍。在第5.2节中，我们研究了原点跳跃密度阈值核估计的性能。自始至终，我们考虑（1）给出的跳跃扩散模型，其中连续部分{Xct}t≥0遵循aHeston模型：dXct=utdt+pVtdBt，dVt=κ（θ- Vt）dt+ξpVtdWt。（46）这里，Vt=σ是方差过程。（46）的参数根据Zhang等人（2005）中使用的以下设置进行选择：κ=5，θ=0.04，ξ=0.5，ut=0.05- Vt/2。（47）对于初始值，我们使用Xc=1，V=σ=0.04。本研究中的时间单位为1年，因此，上述参数值是年化的。虽然本研究中研究的阈值核估计量的性质是在非杠杆设置下得出的（即ρ=0，其中ρ是Bt和Wt之间的相关性），但我们在非杠杆设置和负杠杆设置下都进行了模拟（ρ=-0.5）以检查方法对杠杆效应的可靠性。至于跳跃分量，我们考虑Merton类型的跳跃：fnormal（x）=√2πθexp-x2θ. （48）跳跃分量的强度设置为一个常数值，即λt≡ λ表示所有t≥ 对于λ和θ的值，我们考虑以下情况：1。λ=50和θ=0.03，这使得平均年化波动率约为0.04+50（0.03）≈ 0.29;2、λ=100和θ=0.03，其平均年化波动率约为0.04+100（0.03）≈ 0.36;3、λ=200和θ=0.03，其平均年化波动率约为0.04+200（0.03）≈ 0.46;4.