跳跃扩散的最优迭代阈值核估计

λ=1000和θ=0.01，这使得年化波动率约为0.04+1000（0.01）≈ 0.37.选择这些λ的原因是为了研究跳跃强度水平对估计器性能的影响程度，同时相应地选择θ，以便年化波动率是合理的。我们假设一年有252个交易日，每天有6.5个交易小时。我们关注5分钟数据，这是文献中的标准数据，以避免微观结构噪声影响。此外，数据长度设置为1个月（21个交易日）、3个月（63个交易日）和1/2年。5.1不同阈值的比较我们现在开始研究第4节中介绍的不同“最佳”阈值近似方法如何影响跳跃错误分类的数量。

在表1中，我们报告了与四种阈值近似方法Bc1、Bc2、BN1和Bn2以及Obs相对应的跳跃错误分类的平均总数/Hrρλsd（f）(R)Lc1'Lc2'Ln1'Ln2'L*221 12 0 50 0.03 0.848 0.864 0.835 0.795 0.67821 12 -0.5 50 0.03 0.844 0.884 0.856 0.829 0.69021 12 0 100 0.03 1.669 1.591 1.623 1.382 1.25921 12 -0.5 100 0.03 1.628 1.643 1.584 1.381 1.27221 12 0 200 0.03 3.384 2.967 3.318 2.603 2.52921 12 -0.5 200 0.03 3.372 2.882 3.284 2.577 2.48721 12 0 1000 0.01 51.301 32.673 49.700 31.087 30.21821 12 -0.5 1000 0.01 51.547 32.937 49.895 31.361 30.48063 12 0 50 0.03 2.660 4.217 2.531 2.174 2.09863 12 -0.5 50 0.03 2.590 4.137 2.466 2.125 2.05163 12 0 100 0.03 4.952 6.688 4.741 3.876 3.73963 12 -0.5 100 0.03 4.914 6.822 4.737 3.937 3.82063 12 0 200 0.03 10.195 11.518 9.842 7.651 7.49163 12 -0.5 200 0.03 10.001 11.144 9.658 7.515 7.33963 12 0 1000 0.01 148.661 107.325 143.339 89.477 87.43463 12 -0.5 1000 0.01 149.923 107.895 144.979 90.393 88.293126 12 -0.5 100 0.03 10.106 18.243 9.636 7.890 7.624126 12-0.5 200 0.03 20.129 27.433 19.353 15.036 14.605126 12-0.5 1000 0.01 298.656 241.770 285.045 177.588 173.745表1：基于1000个样本的正常跳跃错误分类的平均总数。oracle阈值，其中我们使用二阶近似B*2In（40），所有真实参数值均已插入。在每种情况下，我们计算跳跃错误分类的平均数量：(R)La：=mmXj=1nXi=1{| X（j）ti-X（j）ti-1 |>Bai，j，N（j）ti-N（j）ti-1=0}+nXi=1{| X（j）ti-X（j）ti-1|≤Bai，j，N（j）ti-N（j）ti-16=0}!, （49）其中m是模拟次数，X（j）·和N（j）分别是X和N的第j条模拟路径，且∈ {c1、c2、n1、n2，*2} ，具体取决于使用的阈值方法。

对于非常数方法，我们使用指数核K（x）=e-|x |/2来估计即期波动率，如定理3.6所示，这是最优的。Weran只对第4节中描述的迭代算法进行了4次迭代。如下所示，这通常有助于实现收敛。结论是，在所有四种方法中，基于二阶近似和非恒定熵估计的跳跃检测方法（“n2”方法）表现最好。虽然，正如应该预料的那样，这比甲骨文略差，但它与甲骨文非常接近。即使对于λ=50的相对较低值，由于跳数相对较少，通常很难估计λ和C（f），二阶局部方法仍然比基于恒定阈值的方法要好一些。例如，对于1个月的时间范围，then2方法在该月的预期4次跳转中只遗漏了约1次跳转。随着跳跃强度的增加，恒定阈值和局部阈值之间的差异变得更加重要。对于200的强度，该方法只会错过预期的16次跳跃中的3次。如上所述，表1的结果基于第4节算法的4次迭代。为了评估算法的收敛性，在表2中，我们显示了基于二阶近似的算法3的前4次迭代中每一次的平均跳跃错误分类数的结果，如（49）所述。

可以看出，通常在第二次迭代后达到收敛#of天#Obs/Hrρλsd（f）Ln2，Iter1 Ln2，Iter2 Ln2，Iter3 Ln2，Iter421 12 0 50 0.03 0.795 0.795 0.79521 12-0.5 50 0.03 0.830 0.829 0.82921 12 0 100 0.03 1.383 1.382 1.38221 12-0.5 100 0.03 1.384 1.382 1.381 1.38121 12 0 200 0.03 2.602 2.603 2.60321 12-0.5 200 0.03 2.586 2.577 2.57721 12 0 1000 0.01 31.855 31.216 31.121 31.08721 12-0.5 1000 0.01 32.080 31.482 31.385 31.36163 12 0 50 0.03 2.183 2.174 2.17463 12-0.5 500.03 2.126 2.125 2.125 2.12563 12 0 100 0.03 3.875 3.874 3.876 3.87663 12 -0.5 100 0.03 3.952 3.938 3.937 3.93763 12 0 200 0.03 7.680 7.653 7.651 7.65163 12 -0.5 200 0.03 7.544 7.517 7.515 7.51563 12 0 1000 0.01 91.283 89.747 89.526 89.47763 12 -0.5 1000 0.01 92.324 90.722 90.411 90.393126 12 -0.5 100 0.03 7.929 7.892 7.889 7.890126 12 -0.5 200 0.03 15.097 15.036 15.035 15.036126 12 -0.5 1000 0.01 181.403 178.022 177.677 177.588表2：基于二阶近似的非齐次算法3前4次迭代的跳跃错误分类平均总数。同样，我们对T的所有值使用1000个样本。5.2原点跳跃密度和现货波动率的估计我们现在研究第2.4节提出的原点跳跃密度核估计量的性能。由于我们已经证实，具有非恒定波动率估计的最佳阈值的二阶近似值优于其他阈值，因此我们将仅在本小节和后续小节中考虑该阈值。结果如表3所示。这些基本上证实了我们的预期，即估计器的性能随着时间范围和强度的增大而提高（对于相同水平的跳跃方差）。

很难将θ=0.03时的估计器性能与θ=0.01和λ=1000时的估计器性能进行比较，因为尽管我们预计后一种情况下会出现更多跳变，但由于θ较小，这些估计器也更难检测到。最后，一个有趣的现象是，我们通常低估了原点处的跳跃密度。这对我们来说是可以接受的。事实上，如果我们将cB表示为估计的二阶阈值，我们通常会得到B>cB>B。这比cB<B要好，在这种情况下，我们可能会明显避免误报（即，将连续分量的增量误分类为跳跃）。最后，我们给出了一些关于核/阈值现货波动率估值器性能的说明（44）。基于最优阈值的二阶近似，我们对局部算法3进行了4次迭代。在图1中，我们展示了方差过程{Vt}t的原型实现≥0在（46）中定义，以及第1次迭代（红色虚线）、第4次迭代（蓝色长虚线）和oracle（绿色双虚线）产生的估计即期方差过程，其中使用了B*1in（40），σi=Vti，C（f）和λ的真值。我们取λ=200，θ=0.03，T=6个月，h=5分钟。三个即期方差估计值彼此非常接近，能够很好地拟合随时间变化的总体波动水平。

平方误差之和，SSE=nXi=1（^σti- σti），#天#Obs/Hrρλθ=sd（f）f（0）E（^fn2（0））sd（^fn2（0））qMSE（^fn2（0））21 12 0 100 0.03 13.30 8.6965 5.4797 7.156721 12-0.5 100 0.03 13.30 8.8117 5.6950 7.251063 12 0 100 0.03 13.30 11.6005 2.1668 2.753763 12-0.5 100 0.03 13.30 11.4145 2.2175 2.9107126 12-0.5 100 0.03 13.30 11.9558 1.6286 2.111621 12 0 200 0.03 13.30 11.2759 2.6362 3.323621 12-0.5 200 0.03 13.30 11.1900 2.7161 3.439363 12 0 200 0.0313.30 11.9714 1.6997 2.158263 12-0.5 200 0.03 13.30 11.9234 1.6539 2.1518126 12-0.5 200 0.03 13.30 12.4776 1.3081 1.545121 12 0 1000 0.01 39.89 37.9363 4.5286 4.932121 12-0.5 1000 0.01 39.89 37.8582 4.2041 4.669363 12 0 1000 0.01 39 41.4335 2.9176 3.300763 12-0.5 1000 0.01 39.89 41.89 5071 3.0726 3.4722126 12-0.5 1000 0.01 39.89 41.8874 2.4255 3.1420表3:基于1000个样本的正常跳跃原点0。对于第1、4和oracle的估计值分别为1.6525、1.4457和1.4450。图2显示了对应于λ=1000和θ=0.01的相同结果。在本例中，第一、第四和oracle估算的SSE分别为2.0015、1.5069和1.4006。6结论与未来工作在本文中，我们研究了通过阈值法进行跳跃检测的问题，这显然与现货波动率估计问题密切相关。我们通过考虑二阶近似和非齐次参数设置，扩展了Figueroa-L'opez-andNisen（2013）的近似最优阈值。由于二阶近似的剩余部分要小得多，同时得到的阈值估值器是时不变的，这在现实中更有意义，因此，这一结果在理论上很有意义。

蒙特卡罗研究也证明了二阶近似的优越性能。精度越高，估计的参数就越多。我们首先设法在原点构建跳跃密度的阈值核估计量。为此，我们提出了一个不同的“最佳”阈值，并说明了为什么这应该不同于原始的“最佳”阈值。直觉是，当我们声称一个增量包含一个跳跃时，我们必须更加准确，以便更好地估计其在原点的密度。我们还提出了现货波动率阈值核估计的修正版本，其中超过阈值的增量将被过滤掉。为了实施所提出的方法，我们需要解决一些关键障碍。具体而言，最优阈值、原点跳变密度和现货波动率的估计相互依赖。为了解决这个问题，我们提出了一种迭代阈值核估计方案。虽然我们不能保证迭代算法总是收敛，但蒙特卡罗研究表明，这在现实中很少产生任何问题。阈值法跳跃检测的精神在于，当过程增量的绝对值超过阈值时，就会发生跳跃，从定义上讲，这是一个二元结果。在这种情况下，当增量接近阈值时，增量的微小差异可能导致完全不同的结果。缓解这一问题的一种方法是估计跳跃在特定时间间隔内发生的概率，这类似于逻辑回归的思想。这为基于阈值的分类提供了一种替代方法。给定一个非递减函数F：[0，∞) → [0，1]和增量|iX |，我们可以假设在[ti]期间发生跳跃的概率-1，ti]是F(|九|）。

然后我们可以采用以下损失函数，即经常0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.10 0.15 0.20 0.25时间t（年）即期方差图1：方差过程{Vt}t≥0（抖动的黑色虚线）和基于Bn2的算法3的第1次迭代（红色虚线）和第4次迭代（蓝色长虚线）产生的估计斑点方差过程（44）。我们还绘制了oracle方差过程（44）（绿色双虚线），将BI替换为真B*iin（40）。oracle和4Thitationation方差估计值重叠。我们取（47）中的参数值以及ρ=-0.5，λ=200，梅顿跳跃（48），θ=0.03。根据6个月内5分钟的观察结果进行估计。用于分类问题：Lt，h（F）=EF（| Xt+h- Xt |）1{Nt+h-Nt=0}+ E[1 - F（| Xt+h- Xt |）]1{Nt+h-Nt6=0}.实际上，对所有连续函数F进行优化可能会很麻烦。然而，我们可以尝试将自己限制在一个合适的、相对较小的可能函数F类中。一个可能的方向是考虑FB（x）=F（x/B），这是我们在本文中所做工作的推广。另一个可能的方向是考虑F（x）=F1n（x）1{0<x<B}+F2n（x）1{x≥B} ，其中f1和f2是两个可以依赖于n的函数。这可以潜在地提供关于F的形状在“最佳”阈值附近的外观的见解。主要结果的证明让我们从给出定理2.1证明所需的引理开始。引理A.1。对于i=1，2，让fi∈ C（[0，∞)) 在（0，∞). 进一步假设fis不增加，而fis不减少，且limx→存在0+[f（x）+f（x）]。如果存在x∈ (0, ∞) 如（a）| f（x）|≥ |f（x）|对于所有x∈ （0，x）（b）| f（x）|≥ |f（x）|对于所有x∈ （十），∞), （50）那么，f：=f+fis在[0]上的拟凸，∞).证据自（a）至（50）和自f（x）≤ 0和f（x）≥ 0，f（x）=f（x）+f（x）≤ 0表示所有x∈ （0，x）。

此外，这意味着limx→0+f（x）≤ 另一方面，从（b）in（50）f（x）=f（x）+f（x）≥ 0表示所有x∈ （十），∞).0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.05 0.10 0.15 0.20时间t（年）即期方差图2：方差过程{Vt}t≥0（抖动的黑色虚线）和基于Bn2的算法3的第1次迭代（红色虚线）和第4次迭代（蓝色长虚线）产生的估计斑点方差过程（44）。我们还绘制了oracle方差过程（44）（绿色双虚线），将BI替换为真B*iin（40）。oracle和第四次迭代方差估计在整个域中几乎重叠，除了在最后。我们取（47）中的参数值以及ρ=-0.5，λ=1000，默顿跳跃（48），θ=0.01。根据6个月内5分钟的观察结果进行估计。根据实数变量连续实值函数拟凸性的已知充分条件（详见Boyd和Vandenberghe（2004）第99页（3.20）），可以得出f在[0，∞).定理2.1的证明。自始至终，我们假设w=1，γt，h>0（γt，h的情况≤ 0和w 6=0可以用类似的方法证明）。为了简单起见，我们省略了Lt，h（B；w）中的参数w。让F*kt，hde表示密度φt，h的分布* f*k、 跳跃次数Nt+h的条件- Nt，损失函数Lt，其拆分如下：Lt，h（B）：=L（1）t，h（B）+L（2）t，h（B），其中L（1）t，h（B）：=P（| Xt+h- Xt |>B，Nt+h- Nt=0）=e-hλt，h“1- ΦB-hγt，hσt，h√h！+Φ-B-hγt，hσt，h√h！#，L（2）t，h（B）：=P（| Xt+h- Xt |≤ B、 Nt+h- Nt6=0）=e-hλt，h∞Xk=1hλt，hkk！F*kt，h（B）- F*kt，h(-（B）.这里，Φ（·）是标准正态分布的cdf。注意，通过定义，L（1）t，his严格减小，而L（2）t，his严格增大。同样清楚的是，对于每个h>0和t∈ [0，T]，L（1）T，h∈ C∞（R+）和BL（1）t，h（B）<0表示所有B∈ R+。

对于L（2）t，h，sincesupk的差异性∈Nsupx公司∈Rφt，h* f*k（x）≤ supx公司∈Rf（x）=：M（f）<∞, （51）下面是SUP∈NsupB公司∈(0,∞)φt，h* f*k（B）+φt，h* f*k级(-（B）≤ 2M（f），因此，根据有界收敛定理，L（2）t，his可微。同样，自supm∈Nsupk公司∈NsupB公司∈(0,∞)φ（m）t，h* f*k（B）+φ（m）t，h* f*k级(-（B）≤2M（f），我们可以进一步证明L（2）t，h∈ C∞（R+）的有界收敛定理。我们观察到L（1）t，h（B）6=0和L（2）t，h（B）6=0，所有B>0，因此我们现在继续研究比率，h（B）：=BL（2）t，h（B）-BL（1）t，h（B）。让我们首先注意到BL（1）t，h（B）=-e-hλt，h√hσt，h“φB-hγt，hσt，h√h！+φB+hγt，hσt，h√h！#，(52)BL（2）t，h（B）=e-hλt，h∞Xk=1hλt，hkk！φt，h* f*k（B）+φt，h* f*k级(-（B）. （53）一个直接后果是Rt，h（B）对于B是连续的∈ [0, ∞). Rt，hm现在可以写成：Rt，h（B）=∞Xk=1hλt，hkk！It，h，k（B），其中It，h，k（B）：=σt，h√h类φt，h* f*k（B）+φt，h* f*k级(-（B）φB-hγt，hσt，h√h类+ φB+hγt，hσt，h√h类.通过卷积的定义，It，h，kc可以写成：It，h，k（B）=Zgt，h（w，B）f*k（w）dw，其中gt，h（w，B）：=φB-hγt，h-wσt，h√h类+ φB+hγt，h+wσt，h√h类φB-hγt，hσt，h√h类+ φB+hγt，hσt，h√h类.插入正常p.d.f.，gt，Hc可以分解为：gt，h（w，B）=exp-w+2whγt，h2hσt，h！经验值B（hγt，h+w）/hσt，h+ 经验值-B（hγt，h+w）/hσt，h经验值Bγt，h/σt，h+ 经验值-Bγt，h/σt，h=: g（1）t，h（w）g（2）t，h（w，B）。不难证明g（1）t，h的下列性质：1≤ g（1）t，h（w）≤ ehγt，h/2σt，h，ω∈ (-2hγt，h，0）和0<g（1）t，h（w）≤ 1, ω ∈ (-2hγt，h，0）C.（54）g（2）t，h（ω，·）是t（x）=eax+e型函数-axebx+e-bx，其中x∈ [0, ∞), a=|（hγt，h+w）/hσt，h |和b=|γt，h/σt，h |。