跳跃扩散的最优迭代阈值核估计

注意，导数t（x）可以写成ast（x）=eax+e-axebx+e-bx公司aeax公司- e-axeax+e-斧头- bebx公司- e-bxebx+e-bx公司.当a>b>0时，t（x）是从1到+∞ andt（x）≥eax2ebx（a- b） ebx公司- e-bxebx+e-bx公司≥（a）- b） e（a-b） x（1- e-2倍）≥一-b（1- e-1） 2bx，x≤2ba-b（1- e-1） （a）- b） x，x>2b≥（a）- b） （1）- e-1） 最小值（a- b、 2b）x.对于第三个不等式，当0≤ x个≤ 1/2b，我们使用1- e-2倍≥ (1 - e-1） 2bx，当x>1/2b时，我们使用（a-b） x个≥ （a）- b） x和1- e-2倍≥ (1 - e-1). 具体而言，当a>3b时，我们有t（x）≥ b（1- e-1） x.（55）当b>a>0时，t（x）是从1到0的递减函数和| t（x）|≤ bebx公司- e-bxebx+e-bx公司≤ bx，（56），其中我们使用tanh（x）的性质≤ 这里我们注意到a<b<=> ω ∈ (-2hγt，h，0）。基于此，对于每个固定k∈ N、 我们将其分解为两部分：It，h，k（B）=Z(-2hγt，h，0）+Z(-2hγt，h，0）c！g（1）t，h（w）g（2）t，h（w，B）f*k（w）dw=：I（1）t，h，k（B）+I（2）t，h，k（B）。（57）在下面的内容中，我们将证明存在h>0，它可能依赖于T，因此对于所有T∈ [0，T]和h∈ （0，h），存在B*t、 h>0，使得Rt，h（B）<1，对于B∈ （0，B*t、 h）和Rn（B）>1，对于B∈ （B）*t、 h、，∞).这两种情况，以及BL（1）t，手动BL（2）t，h意味着B→ 对于足够小的h，Lt，h（B）是准凸的（见下面的引理A.1）。

为此，我们将证明以下内容：（i）对于任何h>0，肢体→∞Rt，h（B）=+∞.（二）林氏→0支持∈[0，T]Rt，h（0）=0。（iii）存在h>0，这可能取决于T，因此对于所有T∈ [0，T]和h∈ （0，h），Rt，h（·）严格增加。对于（1），很明显I（1）t，h，k≥ 0，根据Fatou引理，对于足够大的k，I（2）t，h，ksatis fieslim infB→∞I（2）t、h、k（B）≥Z(-2hγt，h，0）clim infB→∞g（1）t，h（w）g（2）t，h（w，B）f*k（w）dw=+∞.这两种关系意味着（i）。对于（ii），由于g（2）t，h（w，0）=1，It，h，k（0）=Zg（1）t，h（w）f*k（w）dw=√2πhσt，hehγt，h/2σt，hZe-（w+hγt，h）/2hσt，h√2πhσt，hf*k（w）dw≤√2πhσt，hehγt，h/2σt，hM（f）。请注意，右侧收敛为零，即h→ 0，且不依赖于k。根据假设1，收敛在t中是一致的，因此（ii）如下。现在我们开始考虑（iii）。实际上，对于任何给定的t∈ [0，T]，根据g（1）T的上界，（54）k给出的h（w）必须是大的，因为现在我们不假设小的h，所以f可能是*k（ω）≡ ω为0∈ (-2hγt，h，0）c和Bg（2）t，h（w，B）由（56）给出，我们有| I（1）t，h，k（B+δ）- I（1）t，h，k（B）|=Z(-2hγt，h，0）g（1）t，h（w）×g（2）t，h（w，B+δ）- g（2）t，h（w，B）|×f*k（w）dw≤Z(-2hγt，h，0）ehγt，h/2σt，h×γt，hσt，h（B+δ）δ×f*k（w）dw≤ 2hγt，hσt，hehγt，h/2σt，hM（f）（B+δ）δ。此外，对于I（2）t，h，k，注意对于ω∈ (-2hγt，h，0）C，g（2）t，h（w，B）在B中增加，对于ω∈ [-4hγt，h，4hγt，h]C，我们有|（hγt，h+w）/hσt，h |>3 |γt，h/σt，h |。

因此，我们有i（2）t，h，k（B+δ）- I（2）t，h，k（B）=Z(-2hγt，h，0）Cg（1）t，h（w）×（g（2）t，h（w，B+δ）- g（2）t，h（w，B））×f*k（w）dw≥Z[-4hγt，h，4hγt，h]Cg（1）t，h（w）×（1- e-1） γt，hσt，hBδ×f*k（w）dw≥(1 - e-1） γt，hσt，hBδZg（1）t，h（w）f*k（w）dw- 8hγt，hehγt，h/2σt，hM（f）.把这两个不等式放在一起，我们得到了任何B>0和0<δ<B的不等式：Bδ∞Xk=1hλt，hkk！I（1）t，h，k（B+δ）- I（1）t、h、k（B）≤ 4小时ehλt，h- 1.γt，hσt，hehγt，h/2σt，hM（f）=O（h），h→ 0和Bδ∞Xk=1hλt，hkk！I（2）t，h，k（B+δ）- I（2）t、h、k（B）≥(1 - e-1） γt，hσt，hhλt，hZg（1）t，h（w）f（w）dw-∞Xk=1hλt，hkk！8hγt，hehγt，h/2σt，hM（f）！≥ h3/2λt，h（1- e-1） γt，hσt，h√2πσt，hexphγt，h2σt，h！Cm（f）+O（h），h→ 0，其中最后一个等式可以通过g（1）t，h（w）f（w）dw进行调整≥√2πhσt，hexphγt，h2σt，hCm（f）+O（h）表示小h，其中Cm（f）在（5）中定义，因为以下条件成立：g（1）t，h（w）=exp-w+2whγt，h2hσt，h=√2πhσt，hexphγt，h2σt，h！√2πhσt，hexp-（w+hγt，h）2hσt，h！。还请注意，这两个收敛不依赖于B和δ，并且通过假设1，两个收敛都可以在t中一致。这证明了（iii）。定理2.2的证明。为简单起见，我们使用符号f*kt，h：=φt，h* f*k、 其中φt，h（x）：=σt，h√hφx个-hγt，hσt，h√h类是Xct+h的密度- Xct。我们首先证明最佳阈值（B*t、 h）t，h在t上均匀收敛到0∈ [0，T]，如h→ 我们首先要注意，损失函数（10）可以写成lt，h（B）：=e-hλt，hPhγt，h+σt，h√赫兹> B+ e-h'λt，h∞Xk=1（hλt，h）kk！Phγt，h+σt，h√hZ+kXi=1ζi≤ B接下来，通过划分E：={| hγt，h+σt，h√hZ+Pki=1ζi |≤ B} 进入E∩{| hγt，h+σt，h√赫兹|≤ B} 和E∩{| hγt，h+σt，h√hZ |>B}和简化，Lt，h（B）≤ Phγt，h+σt，h√赫兹> B+ e-h'λt，h∞Xk=1（hλt，h）kk！PEhγt，h+σt，h√赫兹≤ B≤ Phγ*T+h+σ*T+h√h | Z |>B+∞Xk=1（hλ*T+h）kk！PkXi=1ζi≤ 2B！，我们使用γ的地方*t： =支持≤t |γs |，σ*t： =支持≤tσs和λ*t： =支持≤tλ是任何t的定义。

接下来，考虑由BP owh给出的阈值序列，c：=α的chα∈ （0，1/2）和c>0。因此，使用该P（|ζ|≤ 2B）~ 4C（f）波段P|Pki=1ζi |≤ 2B级= O（B）作为B→ 0，支持∈[0，T]Lt，hBP owh，c≤ 4 c c（f）λ*T+hh1+α+o（h1+α）。现在假设 := lim suph公司→0+支持∈[0，T]B*t、 h>0。然后，存在子序列（hn）和（tn）nsuch thatinfnB*tn，hn≥ /2、在这种情况下，Ltn，hn（B*tn，hn）≥ e-hλ*T+hhλT+hPhnγtn，hn+σtn，hnphnZ+ζ≤ /2.,但是，也包括Ltn、hn（B*tn，hn）≤ Ltn，hn（BP owhn，c）和，自Phnγtn，hn+σtn，hn√hnZ+ζ≤ /2.→ P（|ζ|≤ /2） >0，为n→ ∞, 我们会得到4 cλ*T+hC（f）h1+α+o（h1+α）≥ hλT+h+o（h），导致矛盾。因此，有必要使最优阈值在[0，T]上一致收敛到0。现在我们将展示最优阈值的渐近特征。根据定理2.1，存在sh>0，取决于T，因此，对于所有T∈ [0，T]和h∈ （0，h），损失函数Lt，HP有一个唯一的临界点。通过将损失函数的一阶导数从（52）-（53）等于零，可以得出唯一的最佳阈值，B*t、 h必须满足以下公式√hσt，h“φB*t、 h类- hγt，h√hσt，h！+φB*t、 h+hγt，h√hσt，h#=∞Xk=1hλt，hkk！f*kt，h（B*t、 h）+f*kt，h(-B*t、 h）. （58）该方程的重排显示φB*t、 h- hγt，h√hσt，h=√hσt，hh1+e-2B级*t、 hγt，h/σt，hi-1.∞Xk=1hλt，hkk！f*kt，h（B*t、 h）+f*kt，h(-B*t、 h）. （59）在（59）两侧取对数后，我们得出定点方程（11）。根据（51）和假设1，我们得出结论，limh→0+B*t、 h/h1/2=∞, t均匀∈ [0，T]，即limh→0输入∈[0，T]B*t、 h类√h=+∞.对该方程的进一步修改表明b*t、 h=hγt，h+√2hσt，hlog1/2σt，hλt，hh3/21+日志√2π（f*1t，h（B*t、 h）+f*1吨，小时(-B*t、 h）1+e-2B级*t、 hγt，h/σt，h日志σt，hλt，hh3/2+日志1+St，h（B*t、 h）日志σt，hλt，hh3/21/2，有必要使C（f）>0。

否则，B→ 0不是最佳值。其中，我们有定义，h（B）：=∞Xk=2hλt，hk-1k！“f*kt，h（B）+f*kt，h(-B） f级*1t，h（B）+f*1吨，小时(-B） #。由此产生的直接后果是*t、 h=O（ph log（1/h）），因此√2πf*1t，h（B*t、 h）+f*1吨，小时(-B*t、 h）1+e-2B级*t、 hγt，h/σt，h=√2πC（f）+O（B*t、 h）、St、h（B）*t、 h）=O（h）。上面的第二个关系是因为f*kt，以M（f）和f为界的兔子*1t，h（B*t、 h）以远离零为界。我们现在证明上述第一种关系。实际上，根据我们对f的光滑性的假设，存在 > 0，例如f∈ C（（0，)) 和f∈ C类((-, 0)). 那么，我们有：f*1t，h（B*t、 h）=f*1t，h（0）+O（B*t、 h）f*1t，h（0）- C（f）=f*1t，h（0）-f（0-)Z-∞φt，h（y）dy+f（0）+Z+∞φt，h（y）dy+ O(√h） =Z-∞（f（y）- f（0-))φt，h（y）dy+Z+∞（f（y）- f（0+）φt，h（y）dy+O(√h） =Z-（f（y）- f（0-))φt，h（y）dy+Z+（f（y）- f（0+）φt，h（y）dy+O(√h） =Z-Zf（yv）dvyφt，h（y）dy+Z+Zf（yv）dvyφt，h（y）dy+O(√h） =O(√h） 。（60）以上，第一个等式使用SR+∞φt，h（y）dy=1/2+O(√h） 安德烈-∞φt，h（y）dy=1/2+O(√h） 。第三个等式usesr+∞φt，h（y）dy=o（h）andR--∞φt，h（y）dy=o（h）。由此，我们得到了f*1t，h（0）=C（f）+O(√h） 。然后我们有了*1t，h（B*t、 h）+f*1吨，小时(-B*t、 h）=2C（f）+O（B*t、 h）。因此，对于任何α∈ （0，1/2），日志√2π（f*1t，h（B*t、 h）+f*1吨，小时(-B*t、 h）1+e-2B级*t、 hγt，h/σt，h日志σt，hλt，hh3/2=日志√2πC（f）日志σt，hλt，hh3/2+ o（hα），对数1+St，h（B*t、 h）日志σt，hλt，hh3/2= o（hα）。对于定理的最后一个断言，如果我们进一步注意到σt，h=σt+O（h）和λt，h=λt+O（h），在t的特定光滑度下→ σ和t→ λt，那么我们得出以下B的近似值*t、 h:B*t、 h类=√2hσt，hlog1/2σt，hλt，hh3/2“1+日志√2πC（f）日志σt，hλt，hh3/2#1/2+o（h+α）=√hσth3对数（1/h）- 2个日志√2πC（f）σtλti1/2+o（h+α），对于任何α∈ (0, 1/2).命题2.8的证明。首先，请注意P(|X |>B）=e-hλP|hγ+√hσZ |>B+ hλe-hλPhγ+√hσZ+ζ> B+ O（h）。

（61）设φh（x）为hγ的密度+√hσZ，注意，对于k≥ 1，hγ+√hσZ+Pki=1ζihas密度φh* f*k、 其边界为M（f）：=supxf（x）。因此，我们有英国石油公司|hγ+√hσZ+Pki=1ζi |>B< 2M（f）以及，BXk公司≥2（hλ）kk！Phγ+√hσZ+kXi=1ζi> B=Xk公司≥2（hλ）kk！英国石油公司hγ+√hσZ+kXi=1ζi> B！=O（h）。然后我们有了*（B） =-英国石油公司(|X |>B）=e-hλ[φh（B）+φh(-B） ]+hλe-hλ[g（B）+g(-B） ]+O（h），（62），其中g表示hγ的密度+√hσZ+ζ。结合（61）和（62），条件密度为F*|X个|||X |>B（B）=f*（B） P(|X |>B）=λ√2πhσhexp-（B）-hγ）2hσ+ 经验值-（B+hγ）2hσi+g（B）+g(-B） λhP|hγ+√hσZ |>B+ Phγ+√hσZ+ζ> B+ O（h）。现在，g=φh* f和f在0附近的光滑度，如果x足够接近0，g（x）- f（x）=Z（x-,x个+)+Z（x-,x个+)c（f（y）- f（x））φh（y- x） dy=Z（x-,x个+)（f（x）（y）- x） +f（θy）（y- x） ）φh（y）- x） dy+o（h）=o（h），其中θyis在x和y之间，且 是一个固定的正数，因此f∈ C（（x-, x+)). 这样的 由于假设4而存在。上面，我们使用了以下事实：Z（x-,x个+)Cφh（y- x） dy=o（h），Z（x-,x个+)（y）- x） φh（y- x） dy=γh+o（h），Z（x-,x个+)|f（θy）|（y- x） φh（y- x） dy公司≤ Mσh。注意，上述公式在x中0附近保持一致，因此对于足够小的h，g（B）=f（B）+O（h）。这也很简单hγ+√hσZ+ζ≤ B= 2g（0）B+o（B）=2f（0）B+o（B）。因此，我们有以下内容：f*|X个|||X |>B（B）=λ√2πhσhexp-（B）-hγ）2hσ+ 经验值-（B+hγ）2hσi+2f（0）+O（h）+O（B）λhP|hγ+√hσZ |>B+ 1.- 2f（0）B+o（B）+o（h）=2f（0）+λ√2πhσexp-B2hσ+ 2f（0）B+o（B）+o（h-3/2e-B2hσ），其中我们使用了以下内容：hP|hγ+√hσZ |>B~σB√2πhexp-B2hσ,√2πhσexp-（B）-hγ）2hσ~√2πhσexp-B2hσ.这就完成了证明。推论2.9的证明。将（19）的前导项表示为：F（B）=λF（0）√2πhσexp-B2hσ+ B.设置a=1/（λf（0）√2πhσ），b=1/（2hσ）。对于足够小的h，我们有√b>1/（1）- 经验值(-1/2）和log（2ab）<b。

根据下面的引理A.2，F的最小值为√2hσ，q2hσlog（1/√2πhσ）并满足esB exp-B2hσ=√2πhσ。取两边的对数和重新排列项，我们得到b2hσ=log（B）-对数（h）+C，对于某些常数C。请注意，由于B位于√2hσ，q2hσlog（1/√2πhσ）, log（B）=log（h）+O（log log（1/h））。因此，我们得到了最佳B asB的近似值*=p4hσlog（1/h）+O（ph log log（1/h））。这就完成了证明。引理A.2。假设a、b>0和a√b>1/（1）- 经验值(-和log（2ab）<b。定义F（x）=a exp(-bx）+x其中x≥ 那么，F的最小点在（1）中/√2b，plog（2ab）/b）和满意度2abx exp(-bx）=1。证据取两次导数，我们得到F（x）=-2abx exp(-bx）+1，F（x）=2ab（2bx- 1） 经验值(-bx）。通过研究F的符号，我们得出Fis在（0，1）中减少/√2b）和增加（1/√2b，∞), 我们还有f（1/√2b）=-一√2b经验值(-1/2)+1. 现在自从√2b>1/（1）-经验值(-1/2））>exp（1/2），F（0）=F(+∞) = 1，我们有一个根rin（0，1/√2b）和另一根rin（1/√2b，∞). 所有这些进一步暗示F在（0，r）和（r，∞) 在（r，r）中递减。注意F（plog（2ab）/b）=1-plog（2ab）/b>0，因为我们假设log（2ab）<b，所以我们有r∈ (1/√2b，plog（2ab）/b）。还要注意F（1/√2b）=a经验(-1/2) +1/√2b<a=F（0），因为我们假设a√b>1/（1）- 经验值(-1/2)). 因此，0不是最小值。总之，F的最小值为（1/√2b，plog（2ab）/b）和满意度2abx exp(-bx）=1。致谢第一作者的研究部分得到了NSF资助：DMS-1561411和DMS-1613016。作者衷心感谢副主编和两位匿名审稿人的众多更正和建议，这些更正和建议有助于显著改进手稿。参考文献。Ait-Sahalia和J.Jacod。估计高频数据中跳跃的活动程度。《统计年鉴》，第2202-224420009A页。Y

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