计算常见概率分布的CVaR和bPOE

有兴趣的读者可以在Mafusalov和Uryasev（2018）中找到关于上下bPOE差异的详细信息。与超分位数类似，bPOE是尾部风险的一种更为稳健的度量，因为它不仅考虑了事件/损失超过阈值x的可能性，还考虑了这些潜在事件的规模。此外，与超分位数非常相似，bPOE可以用Norton和Uryasev（2016）给出的公式表示为一维凸优化问题的唯一最小值；Mafusalov和Uryasev（2018）如下，其中[·]+=最大{·，0}。(R)px（X）=mina≥0E[a（X- x） +1]+=最小γ<xE[x- γ] +x个- γ、 \'\'qα（X）=最小γγ+E[X- γ]+1 - α.请注意，这些公式适用于一般实值随机变量，而不仅仅是连续分布的随机变量。值得注意的是，bPOE和超分位数优化公式的argmin都给出了分位数。对于bPOE计算公式，我们得到argmin为γ*= qα（X），其中α=1- (R)px（X）和a*=x个-γ*对于其他表示。对于超分位数计算公式，我们得到argmin是γ*= qα（X），其中α是计算超分位数所需的概率水平。bPOE概念还与Rockafellar和Royset（2014）提出的超分布函数“F（x）”的概念密切相关。对于CDF，POE等于P（X>X）=1-F（x），我们计算了CVaR和bPOE 5，由F给出的逆CDF-1（α）=qα（X）。超分布函数F（x）是由反相关函数F驱动的-1（α）=qα（X）。因此，bPOE等于1-\'F（x）。随机变量X的超分布函数也可以理解为辅助随机变量‘’X=’qu（X）的CDF，其中u~ U（0，1）是均匀分布的随机变量。

在这种情况下，FX（x）=F（x），其中下标表示它是与特定随机变量相关的分布函数。2具有闭式超分位数和bPOE的分布在本节中，我们推导了指数、帕累托、广义帕累托和拉普拉斯分布的超分位数和bPOE的闭式表达式。对于这些分布，我们发现它们表现出一种生成型性质，其中POE的公式与bPOE的公式相同，直到一个常数。Laplacedistribution给出了一个有趣的例子，其中只有右尾表现出这种复制特性。为了完整性，我们还强调了bPOE、POE、超分位数和分位数表达式之间的关系。2.1指数对于本节，我们有指数随机变量X~ Exp（λ）。回想一下，指数参数hasrangeλ>0，E[X]=σ（X）=λ，指数CDF、PDF和分位数由F（X）=（1）给出- e-λxx≥ 0,0 x<0。，f（x）=（λe-λxx≥ 0,0 x<0。，qα（X）=-ln（1- α） λ命题1设X~ Exp（λ）。然后(R)qα（X）=-ln（1- α） +1λ，(R)px（X）=e1-λx.首先证明，注意qα（x）=- ln（1-α） λ表示速率参数为λ的指数RV。然后我们得到，’qα（X）=1- αZαqp（X）dp=-1λ(1 - α） Zαln（1- p） dp=-1λ(1 - α） Z1级-α-ln（y）dy=-1λ(1 - α） Z1级-αln（y）不一致ln（y）dy=y ln（y）- y+C，我们有，’qα（X）=-1λ(1 - α） Z1级-αln（y）dy=-1λ(1 - α)[(1 - α） ln（1- α) - (1 - α)] =-ln（1- α） +1λ我们可以看到，(R)px（X）={1- α|(R)qα（X）=X}={1- α|-ln（1- α） +1λ=x}={1- α| ln（1- α) = 1 - λx}={1- α| eln（1-α） =e1-λx}={1- α|1 - α=e1-λx}=e1-λxut6 Matthew Norton等人。接下来，我们将bPOE和POE以及超分位数和分位数联系起来。推论1 Let X~ Exp（λ），平均u=λ。那么，’px（X）=P（X>X- u）和'qα（X）=qα（X）+u。证明我们知道X是指数的，其CDF由P（X）给出≥ x） =1- e-λx。

根据命题1，我们知道'px（X）=e（1-λx）=e-λ(-1λ+x）。然后，由于u=λ，因此'px（X）=e-λ（x-u)= 1 - P（X≤ x个- u）=P（X>X- u). 自qα（X）以来，CVaR的等式很容易遵循命题1=- ln（1-α)λ. ut2.2 ParetoAssume X~ 阿雷托（a，xm）。回想一下，帕累托参数的范围a>0，xm>0，E[X]=(∞, 一≤ 1，axma-1，a>1和σ（X）=(∞, 一∈ （0，2），axm（a-1） （a）-2） ，a>2，并且帕累托CDF、PDF和分位数由，F（x）=（1）给出-xmx公司ax≥ xm，0 x<xm。，f（x）=（axamxa+1x≥ xm，0 x<xm。，qα（X）=xm（1- α） 位置2假设X~ P areto（a，xm），a>1。那么，对于α∈ [0，1]和x≥ E[X]，\'qα（X）=xma（1- α） a（a- 1） ，(R)px（X）=xmax（a- 1)a、 请注意，如果∈ （0，1），则E[X]=∞ 意味着'qα（X）=∞ 对于所有α，(R)px（X）=1∈ [0，1]和x∈ 注册护士。首先要证明的是，以随机值大于某个γ为条件的帕累托分布只是另一个参数为a，γ的帕累托分布。这意味着E[X | X>γ]=aγa-1ifa≥ 1否则，期望值为∞. 此外，1- F（γ）=xmγ一

自，E[X- γ] +=（E[X | X>γ]- γ)(1 - F（γ）），我们得到E[X- γ] +=（aγa- 1.- γ)xmγa、 这为我们提供了bPOE公式，(R)px（X）=minxm≤γ<xaγa-1.- γxamγa（x- γ） =最小XM≤γ<xaa公司-1.- 1.xamγa-1（x- γ)=最大XM≤γ<xγa-1（x- γ） （a）- 1） xam公司-1由于a>1，最大化目标在γ范围内是凹的∈ (0, ∞) 它包含范围（xm，x），所以我们只需要取函数g（γ）=γa的梯度-1（x-γ） （a）-1） xamand将其设置为零，以找到最佳γ，如下所示：g级γ=x（a- 1） γa-2.- （a）- 1） aγa-1xam=0==> x（a）- 1） γa-2=（a- 1） aγa-1==>x（a）- 1） a=γ计算CVaR和bPOE 7将该γ值插入到我们的bPOE公式的目标中，得到'px（X）=ax（a-1） aa公司-1.-x（a）-1） axam公司x（a）-1） a一x个-x（a）-1） a=xmax（a- 1)然后，aCVaR等于x的值，从而解出方程1- α=(R)px（X）或，1- α =xmax（a- 1)a、 其中有解，qα（X）=xma（1- α） a（a- 1).关于bPOE和POE，以及分位数和超分位数的推论2，我们可以说，`px（X）=P（X>X（a- 1） a）=P（X>X）aa公司- 1.aand'qα（X）=qα（X）aa- 根据命题1和POE和分位数的已知公式进行证明。ut2.3广义帕累托分布（GPD）假设X~ GP D（u，s，ξ）。回想一下，GPD参数的范围为u∈ R、 s>0，ξ∈ R，其中E[X]=u+s1-ξ如果ξ<1且σ（X）=s（1-ξ)(1-2ξ）如果ξ<。5，并且GPD CDF和PDF由F（x）给出=1.-1+ξ（x-u）s-ξ6=0,1时为1/ξ- 经验值-x个-us对于ξ=0。，f（x）=s1+ξ（x- u）s-ξ-1..对于x≥ ξ时u≥ 0和u≤ x个≤ u -ξ<0时的sξ。此外，分位数由qα（X）=（u+s（（1-α)-ξ-1） ξ对于ξ6=0，u- s ln（1- α） 对于ξ=0。命题3假设X~ GP D（u，s，ξ）带-1 < ξ < 1.

然后，’qα（X）=（u+sh（1-α)-ξ1-ξ+(1-α)-ξ-1ξiforξ6=0，u+s[1- ln（1- α） ]对于ξ=0。，(R)px（X）=（1+ξ（x-u）s）-ξ(1-ξ） ξ对于ξ6=0，e1-（十）-us）ξ=0。。为了证明这些结果，我们依赖这样一个事实，如果X~ GP D（u，s，ξ），然后X- γ| X>γ~ GP D（0，s+ξ（γ-u），ξ），这意味着GPD随机变量的超额分布也是GPD。现在，还要注意，如果ξ<1，那么E[X]=u+s1-ξ. 这给了我们，E[X- γ| X>γ]=E[GP D（0，s+ξ（γ- u），ξ）]=s+ξ（γ- u)1 - ξ8 Matthew Norton等人，这进一步暗示，\'qα（X）=E[X- qα（X）| X>qα（X）]+qα（X）=s+ξ（qα（X）- u)1 - ξ+qα（X）。插入分位数函数的值得到最终公式。使用我们刚刚建立的‘qα（X）’公式，求解‘px（X）’是一个基本练习，px（X）等于1- α使得α解出方程X=(R)qα（X）。ut2.4 LaplaceAssume X~ 拉普拉斯（u，b）。回想一下，拉普拉斯参数的范围为u∈ R、 b>0，E[X]=u，σ（X）=2b，拉普拉斯CDF、PDF和分位数函数由F（X）=（1）给出-e-x个-ubx≥ u，ex-ubx<u。，f（x）=2be-|x个-u| b，qα（X）=u- b符号（α- 0.5）ln（1- 2|α - 0.5|) .命题4如果X~ 拉普拉斯（u，b），然后“qα（X）=（u+bα1-α(1 - ln（2α））α<。5，u+b（1- ln（2（1- α))) α ≥ .5.，’px（X）=（e1-（十）-ub）x≥ u+b，1+zW(-2e类-z-1z）x<u+b。其中z=x-u波段W是Lambert-W函数。为了得到超分位数，我们从积分表示开始：’qα（X）=1- αZαqp（X）dp=1- αZαu- b符号（p- 0.5）ln（1- 2 | p- 0.5 |）dp=u-b1级- αZα符号（p- 0.5）ln（1- 2 | p- 0.5 |）dp=u-b1级- αZ.5min{α，.5}-ln（2p）dp+Zmax{α，.5}ln（2（1- p） ）dp！。为了计算积分，我们使用简单代换以及恒等式yrln（y）dy=y ln（y）-y+C。

简化后，我们可以看到α<。5积分的计算结果为：(R)qα（X）=u+bα1 - α(1 - ln（2α））。同样，我们发现α≥ .5积分的计算结果为：(R)qα（X）=u+b（1- ln（2（1- α))) .也称为乘积对数或ω函数。计算CVaR和bPOE 9对于bPOE，首先假设阈值x≥ u+b。使用我们的CVaR公式，我们可以看到\'q.5（X）=u+b。因此，X≥ u+b表示1- (R)px（X）≥ .5表示'px（X）={1- α| qα（X）=X，α≥ .5}= {1 - α|u+b（1- ln（2（1- α） ））=x}=e1-（十）-ub）。相反地假设x<u+b。由于q.5（x）=u+b，我们得到1- (R)px（X）<。这意味着，(R)px（X）={1- α| qα（X）=X，α<。5}= {1 - α|u+bα1 - α(1 - ln（2α））=x}。让z=x-ub，我们现在必须找到解方程的αα1-α(1 - ln（2α））=z。我们通过以下方式实现：α1 - α(1 - ln（2α））=z==>-zα=（ln（2α）- 1)1 - α==> e-zα=e（ln（2α）-1)1-α=2αe1.-α==> e-z（1-α)α=2αe==>-zαe-z（α-1)= -2ze-1==>-zαe-zα=-2ze-z-1==>-zα=W(-2ze-z-1) .其中，最后一步来自Lambert-W函数的定义，该函数由关系Xex=y给出<==> W（y）=x。因此，-zα=W(-2ze-z-1) ==> (R)px（X）=1- α=1+zW(-2e类-z-1z）。ut3具有闭合形式超分位数的分布在本节中，我们推导了正态、对数正态、Logistic、Student-t、Weibull、LogLogistic和GEV分布的超分位数的闭合形式表达式。正态、Logistic和Student-t为我们提供了具有不同尾重的对称分布的示例。对数正态分布、威布尔分布、对数逻辑分布和GEV为我们提供了具有重右尾的不对称分布的示例。特别是，我们将在第5节中利用威布尔公式进行密度估计。对于这些分布，我们无法将bPOE的计算简化为封闭形式。

然而，对于正态和逻辑的情况，我们强调可以通过解决一维对流优化问题或一维寻根问题来计算bPOE。通常，我们注意到，对于连续X，X处的bPOE等于1- α，其中α解‘qα（X）=X。因此，如果超分位数以闭合形式已知，这将简化为α中的简单一维寻根问题。3.1法线X~ N（0，1）为标准正态随机变量。回想一下f（x）=1+erfx个√, f（x）=√2πe-x、 qα（x）=√2个RF-1(2α - 1） ，其中erf（·）是erf的常见误差函数-1（·）表示其逆。10 Matthew Norton等人。我们表明，可以利用分位数函数和PDF计算超分位数，这是一个众所周知的结果（参见Rockafellar和Uryasev（2000））。我们还表明，bPOE可以通过两种方式计算：通过解决仅涉及PDF和CDF的简单寻根问题，或通过解决通过常用误差函数计算梯度的凸优化问题。一些结果仅针对标准正态N（0，1）给出，但通过适当的移位和缩放，可以很容易地应用于非标准情况N（u，σ）。提案5如果X~ N（u，σ），然后qα（X）=u+σf（qα（X-uσ))1 - α.证明众所周知，如果X~ N（0，1），则条件期望由逆Mills比E[X | X>γ]=f（γ）1给出-F（γ）。因此，qα（X）=E[X | X>qα（X）]=f（qα（X））1-F（qα（X））=F（qα（X））1-α.

UT提案6如果X~ N（0，1），则'px（X）=最小γ<xf（γ）- γ(1 - F（γ））x- γ.此外，如果γ∈ argmin，则γ等于概率水平1下X的分位数- (R)px（X）。证明说明：对于标准正态随机变量，超出任何阈值γ的尾部期望值由逆Mills比率E[X | X>γ]=f（γ）1给出- F（γ）。还要注意，对于任何阈值γ和任何随机变量，我们都有E[X- γ] +=（E[X | X>γ]- γ)(1 - F（γ））。使用米尔斯比率，我们得到，E[X- γ] +=（f（γ）1- F（γ）- γ)(1 - F（γ））=F（γ）- γ(1 - F（γ））。将此结果插入bPOE的最小化公式中，得到最终公式。UT提案7 Let X~ N（0，1）带x∈ R给定。如果γ是方程f（γ）1的解- F（γ）=xthen'px（X）=F（γ）-γ(1-F（γ））x-γ. 此外，在概率水平α=1时，qα（X）=γ和'qα（X）=X- (R)px（X）。证明这一点的依据是'qα（X）=E[X'X>qα（X）]=f（qα（X））1-F（qα（X））和前一命题中给出的正态分布变量bPOE的优化公式。下面的命题为解决bPOE最小化问题提供了梯度计算。X提案8~ N（0，1），我们得到bPOE最小化公式具有以下积分表示，(R)px（X）=minγ<xf（γ）- γ(1 - F（γ））x- γ=最小γ<x√2πZ∞ue公司-（γ+u）x- γdu=最小γ<xe-γ- γpπerfc（γ√)√2π（x- γ） 计算CVaR和bPOE 11此外，函数g（u，γ；x）=√2πR∞ue公司-（γ+u）x-γdu在γ范围内是凸的w.r.t.γ∈ (-∞, x） 。此外，g的梯度为，g级γ=√2πZ∞γue公司-（γ+u）x- γdu=e-γ- xpπerfc（γ√)√2π（x- γ） 其中，erfc（·）表示互补误差函数。推导积分表达式的证明，只需插入E[X]的公式-γ] +，然后利用PDF和CDF的定义。梯度计算是标准的微积分练习。ut3.2对数法线假设X~ 对数正态（u，s）。

回想一下，对数正态分布参数的范围为u∈ R、 s>0，E[X]=Eu+砂σ（X）=（es- 1） e2u+且对数正态CDF、PDF和分位数函数由F（x）给出=1+erfln x- us√, f（x）=xs√2πe-（ln x-u）2s，qα（X）=eu+s√2个RF-1(2α-1).提案9如果X~ 对数正态分布（u，s），然后qα（X）=eu+sh1+erfs√- erf公司-1(2α - 1)i1- α.证明我们简单地计算分位数函数的积分，如下所示。\'qα（X）=1- αZαqp（X）dp=1- αZαeu+s√2个RF-1（2p-1） dp=eu1- αZαes√2个RF-1（2p-1） dp=eu1- α-锿1+erfs√- erf公司-1（2p- 1)p=α=eu1- αes+es1+erfs√- erf公司-1（2p- 1)=eu+sh1+erfs√- erf公司-1(2α - 1)i1- α.ut12 Matthew Norton等人3.3 LogisticAssume X~ 物流（u，s）。回想一下，逻辑参数的范围为u∈ R、 s>0，其中E[X]=u，σ（X）=sπ，逻辑CDF、PDF和分位数函数由F（X）=1+E给出-x个-us，f（x）=e-x个-uss1+e-x个-us, qα（X）=u+s lnα1 - α.在这里，我们推导了逻辑分布的超分位数的闭合形式表达式，并推导了计算bPOE的一个简单的寻根问题。我们还发现，这些量与二元熵函数有对应关系。提案10如果X~ Logistic（u，s），然后qα（X）=u+sH（α）1- α，其中H（α）是二元熵函数H（α）=-αln（α）- (1 -α） ln（1- α). 此外，对于任何x≥ u，如果α解方程，H（α）1- α=x- us，则'px（X）=1- α.

此外，(R)px（X）=1- α如果α是变换系统的解，（1- α)αα1-α=e-（十）-us）。注意，两个函数都是sh（α）1-α和（1- α)αα1-α在α范围内是一维的、凸的和单调的∈ [0，1]，因此存在独特的解决方案，可以通过根查找方法轻松找到。证明获得超分位数，我们有'qα（X）=1- αZαqp（X）dp=1- αZαu+s lnα1 - αdp=u+s1- αZαln（p）- ln（1- p） dp=u+s1- αZαln（p）dp+Zα-ln（1- p） dp利用简单替换以及标识yrln（y）dy=y ln（y）- y+C，我们得到qα（X）=u+s1- α(-1.- αlnα+α- (1 - α） ln（1- α) + (1 - α） ）=u+s1- α(-αlnα- (1 - α） ln（1- α） ）=u+s1- αH（α）。要获得bPOE，我们只需遵循bPOE定义，需要找到解u+s1的α-αH（α）=x。变换后的系统由超分位数公式中的对数和应用指数变换组合而成。UT我们还可以利用最小化公式计算bPOE。以这种方式计算bPOE时，需要同时计算分位数q1-(R)px（X）（X）。计算CVaR和bPOE 13提案11如果X~ 逻辑（u，s），然后“px（X）=最小γ<xs ln（1+e-(γ-us））x- γ、 这是一个在γ范围内的凸优化问题∈ (-∞, x） 。此外，最小值出现在γ处，因此，s ln（1+e-(γ-us））x- γ= 1 - F（γ）。证明这一点的依据是E[X- γ] +=R∞γ(1 - F（t））dt。计算X的该积分~逻辑（u，s）产率，E[X- γ] +=s ln（1+e-(γ-us）），然后可以插入bPOE的最小化公式。命题的第二部分来自这样一个事实，即目标函数w.r.t.γ的梯度由s ln（1+e）给出-(γ-us））（x- γ)-e-(γ-us）（x- γ)1+e-(γ-us）.将此梯度设置为零并进行简化，可以得到所述的最优性条件。ut3.4学生-塔苏梅X~ 学生-t（ν，s，u）。