计算常见概率分布的CVaR和bPOE

回忆起那个学生-t参数的范围ν>0，s>0，u>0，其中e[X]=u，σ（X）=sν-2，学生-t CDF和PDF由F（x）=1给出-Iν（x）ν,, f（x）=Γ（ν+1）Γ（ν）√νπs1+（x- u）νs-（ν+1），其中ν（x）=νx-us+ν，它（a，b）是正则化的不完全Beta函数，而Γ（a）是Gamma函数。请注意，qα（X）的一般闭式表达式未知，但在EXCEL等常见软件包中是一个现成的函数。提案12如果X~ Student-t（ν，s，u），然后qα（X）=u+sν+T-1(α)(ν - 1)(1 - α)τ（T-1（α）），其中T-1（α）是标准化学生的倒数-t CDF和τ（x）是标准化学生-t PDF。证明由于分位数不存在闭式表达式，我们利用超分位数的表示形式by1-αR∞qα（X）tf（t）dt。为了计算该积分，我们首先取PDF的导数，givingdf（x）dx=-f（x）（x）- u）（ν+1）νs+（x- u).重新排列产量，xf（x）dx=-νsdf（x）（ν+1）-（十）- u）df（x）（ν+1）+uf（x）dx。然后，我们可以将双方进行积分，Zxf（x）dx=-νsf（x）（ν+1）-（ν+1）Z（x- u）df（x）+uF（x）。通过分段积分，我们得到了以下形式的中间项Z（x- u）df（x）=（x- u）f（x）- 2Zxf（x）dx+2uF（x）。14 Matthew Norton等人。最后，在用这个新表达式代替中间项并进行简化后，我们得到zxf（x）dx=-（νs+（x- u))(ν - 1） f（x）+uf（x）。取有限积分收益率，Z∞qα（X）xf（X）dx=- 林克斯→∞（νs+（x- u))(ν - 1） f（x）+limx→∞uF（x）--（νs+（qα（X））- u))(ν - 1） f（qα（X））+uf（qα（X））.很容易看出，第二个限制变为1，在必要时应用L\'Hopital后，第一个限制变为零。

这个离开了∞qα（X）xf（X）dx=u--（νs+（qα（X））- u))(ν - 1） f（qα（X））+uf（qα（X））= u(1 - α) +νs+（qα（X）- u)(ν - 1)f（qα（X））=u（1- α） +秒ν+T-1(α)(ν - 1)τ（T-1（α）），其中最后一步是将非标准分位数qα（X）和PDF f（X）以其标准形式写入。最后除以1- α） 得出公式，(R)qα（X）=1- αZ∞qα（X）xf（X）dx=u+sν+T-1(α)(ν - 1)(1 - α)τ（T-1(α)).ut3.5威布尔假设X~ W eibull（λ，k）。回想一下，Weibull参数的范围λ>0，k>0，E[X]=λΓ（1+k），σ（X）=λΓ（1+k）- Γ（1+k）, 威布尔CDF、PDF和分位数函数由F（x）=1给出- e-（x/λ）k，f（x）=（kλxλk-1e级-（x/λ）kx≥ 0,0 x<0，，qα（x）=λ(-ln（1- α） ）1/k，其中Γ（a）=R∞帕-1e级-pdp是gamma函数。提案13如果X~ W eibull（λ，k），则'qα（X）=λ1- αΓU1+k，-ln（1- α)式中，ΓU（a，b）=R∞双酚A-1e级-pdp是上部不完全gamma函数。为了证明计算超分位数，我们使用积分表示，即“qα（X）=1- αZαqp（X）dp=1- αZαλ(-ln（1- p） ）1/kdp。计算CVaR和bPOE 15将该积分转化为上不完全伽马函数的形式，使变量变化=-ln（1- p） 。这使得ey=1-pand dp=（1- p） dy=e-具有新积分下限α的ydp→ -ln（1- α） 积分上限1→ ∞. 应用于积分，得到'qα（X）=λ1- αZ∞- ln（1-α） y1/ke-ydy=λ1- αΓU1+k，-ln（1- α).ut3.6 Log LogisticAssume X~ 后勤（a、b）。

回想一下，对数逻辑参数的范围a>0，b>0，E[X]=aπbcscπb当b>1且σ（X）=a时2πbcsc2πb- （πbcscπb)当b>2时，对数逻辑CDF、PDF和quantilefunction由F（x）=1给出+xa公司-b、 f（x）=（b/a）（x/a）b-1（1+（x/a）b），qα（x）=aα1 - αb、 其中，csc（·）是余割函数。提案14如果X~ 对数逻辑（a，b），然后‘qα（X）=a1- απbcscπb- Bαb+1，1-b式中，By（A，A）=RypA-1(1 - p） A-1dp是不完整的beta函数。为了计算超分位数，我们使用如下积分表示：(R)qα（X）=1- αZαqp（X）dp=1- αZqp（X）dp-Zαqp（X）dp=1.- αE[X]-Zαqp（X）dp=1.- αE[X]- aZαp1级- pbdp！。现在，首先请注意，对于X~ LogLogistic（a，b），我们有E[X]=aπbcscπb.

接下来，对于不完整的betafunction，让A=b+1，A=1-b、 我们可以看到bα（b+1，1-b） =Zαpb（1- p）-bdp。利用这两个事实，我们得到，’qα（X）=1- αE[X]- aZαp1级- pbdp=1.- απbcscπb- aBα（b+1，1-（b）=a1级- απbcscπb- Bα（B+1，1-（b）.ut16 Matthew Norton等人3.7广义极值分布假设X遵循广义极值（GEV）分布，我们将其表示为X~ GEV（u，s，ξ）。回想一下，GEV参数的范围为u∈ R、 s>0，ξ∈ R带E[X]=u+s（克- 1） /ξ如果ξ6=0，ξ<1，u+s y如果ξ=0，∞ ifξ≥ 1和σ（X）=s（g- g） /ξ如果ξ6=0，ξ<，sπ如果ξ=0，∞ ifξ≥,式中gk=Γ（1- kξ），y是Euler-Mascheroni常数。此外，回想一下GEV有CDF、PDF和F（x）给出的分位数函数=e-（1+ξ（x-u）s）-1ξξ6=0，e-e-（十）-us）ξ=0，。f（x）=s1+ξ（x-u）s-1ξ-1e级-（1+ξ（x-u）s）-1ξξ6=0，se-（十）-us）e-e-（十）-us）ξ=0，qα（X）=（u+sξ（ln（α）-ξ- 1.ξ 6= 0,u - s ln公司(-ln（α））ξ=0。提案15如果X~ GEV（u，s，ξ），然后'qα（X）=（u+sξ（1-α)ΓL（1- ξ、 ln（α））- (1 - α)ξ6=0，u+s（1-α） （y+αln(-ln（α））- li（α））ξ=0，其中ΓL（a，b）=Rbpa-1e级-pdp是下不完全gamma函数，li（x）=Rαln pdp是对数积分函数，y是Euler-Mascheroni常数。证明假设我们有ξ=0。那么，我们有'qα（X）=1- αZαu- s ln公司(-ln（p））dp=u-s1级- αZln公司(-ln（p））dp-Zαln(-ln（p））dp= u -s1级- αy-Zαln(-ln（p））dp= u -s1级- α（y+αln(-ln（α））- li（α））假设ξ6=0。那么，我们得到，’qα（X）=1- αZαu+sξ（ln（p）-ξ- 1.dp=u-sξ（1- α） Zα（ln（p）-ξ- 1.dp=u+sξ（1- α)ΓL（1- ξ、 ln（α））- (1 - α)UT计算CVaR和bPOE 174投资组合优化投资组合优化的一种常见参数方法是假设投资组合回报遵循某种特定的分布。

在这种情况下，特别是在采取风险规避方法时，特定分布的超分位数和bPOE的闭合形式表示允许我们制定一个可处理的投资组合优化问题。在这一节中，我们展示了我们推导的超分位数和BPoE公式揭示了投资组合优化问题的重要性质，这些问题是在投资组合收益的特定分布假设下制定的。带有超分位数的投资组合优化是常见的，所以我们首先简单地指出哪些闭合形式的超分位数公式会产生易于处理的投资组合优化问题。然而，使用bPOE进行投资组合优化并不常见，我们表明，与SuperQuantialApproach相比，bPOE具有优势。特别是，超分位数优化需要设置概率水平α。然后可以观察到，对于固定α，最优超分位数投资组合可能会根据使用的tomodel回报分布而变化。我们表明，如果假设投资组合回报遵循拉普拉斯分布、逻辑分布、正态分布或Studentt分布，则无论分布如何，固定阈值x的最小bPOE投资组合都是相同的，这意味着存在一个x-bPOE最优的单一投资组合，可用于多种分布选择。请注意，在本节中，我们将讨论资产回报率R，因为这是典型的金融问题，损失与回报率相反：X=-R、 qα（X）=-第一季度-α（R）。投资组合优化问题包括找到资产权重向量w∈ Rn对于一组具有未知随机返回R=[R，R，…，Rn]的资产，它解决了以下优化问题，maxw∈RnL（w，R）s.t。

gi（w，R）≤ 0，i=1。。。，Ihj（w，R）=0，j=1。。。，JwT1=1l≤ w≤ u（1）其中L（w，R）是某个要最大化的函数，函数gj（w，R）和hi（w，R）分别强制不等式和质量约束，向量L，u强制各个资产权重的上界和下界。一个简单的例子是标准的马科维茨优化问题，在该问题中，我们将期望效用最大化，期望效用是期望收益及其方差通过正权衡参数λ的加权组合≥ 0：最大值∈RnwTη- λwT∑ws。t、 wT1=1l≤ w≤ u（2）随机投资组合收益率wTR的一个重要方面可以在马科维茨问题中看到，并将在本节后面使用，这是因为期望E【wTR】和方差σ（wTR）分别由wTη和wT∑w给出，其中η∈ Rn是n项资产的预期回报向量，且∑∈ Rn×nis n个资产的协方差矩阵。

这使我们能够用w表示投资组合回报的预期值和方差，从而用决策向量w.4.1超分位数和带合格分布的bPOE优化来制定优化问题。由于我们处理的是资产回报，而不是损失，我们需要使用该符号来定义超分位数。超分位数是分位数以上的预期损失（右尾损失的条件预期值），因此就回报而言，它将是左尾回报的条件预期值，可以用左超分位数来描述：-q1-α（R）=1- αZ1-αqp（R）dp。或者，如果我们考虑到负面因素，则最小化。18 Matthew Norton等人。我们可以使用前几节中导出的右超分位数qα（R）的闭合形式超分位数公式来计算左超分位数qα（R），作为α▄qα（R）+（1- α） \'\'qα（R）=Zqp（R）dp=E[R]，所以-q1-α（R）=-1.- α（E[R]- α\'q1-α（R））。自从-q1-α（R）=qα（X），bPOE定义为'px（X）={1- α|(R)qα（X）=X}={1- α| q1-α（R）=-x} 。4.1.1投资组合优化的合格分布超分位数或bPOE投资组合优化问题有其目标函数或一个约束定义为q1-α（wTR）或'px（wTR）。为了使用给定的分布来描述此类问题，我们首先定义一组我们将考虑的合格分布。

这些合格分布满足以下一组条件，这使我们能够验证它们在投资组合理论和分位数/bPOE表达式方面是否有意义，并可以用决策变量w表示：定义1（合格分布）合格分布满足以下条件：（C1）wTR~ D==> q1-α（wTR）=wTη-√wT∑wζ（α，Θ），其中ζ（α，Θ）是一个仅依赖于α的函数，可能是一组不依赖于w的固定参数，η是预期资产回报的向量，∑是资产回报的协方差矩阵。（C2）分布D的统计参数必须与真实资产回报的描述性统计一致。（C3）给定分布D的PDF形状必须符合典型真实资产回报的经验PDF形状。我们为什么要执行这些先决条件？条件（C1）保证可以用w表示超分位数。这对于表示超分位数优化问题是必要的。例如，如果我们假设wTR~ 逻辑（u，s），我们需要能够用w表示u和s。由于u=E【wTR】=wTη，wT∑w=σ（wTR）=sπ，我们有q1-α（R）=1- α（E[R]- α\'q1-α（R））=1- α(u - α[u+sα(-(1 - α） ln（1- α) - αln（α））]）=u-s1级- α(-αln（α）- (1 - α） ln（1- α） ）=重量η-√wT∑w√3(-αln（α）- (1 - α） ln（1- α))π(1 - α） ，满足（C1）。满足此条件的其他示例有拉普拉斯、正态、指数、学生-t、 帕累托、GPD和GEV。请注意，对于学生-t、 我们假设参数ν是固定的，对于所有资产都是相同的，即Θ={ν}，对于GPD/GEV分布的Θ={ξ}。条件（C2）和（C3）是对我们模型假设的简单健全性检查。

例如，对于指数分布E[R]=λ=σ（R），然而对于实际资产回报，样本平均值通常不等于样本标准偏差。所以，指数分布和帕累托分布在组合优化问题中没有意义，即使它们满足（C1）。至于（C3），如果其PDF的形状与使用真实资产回报观察到的经验PDF的形状之间存在明显的不一致性，则分布是不实际的。后者通常是钟形的，或者更可能是倒V形的，对于k<1，其形状从来不像指数、帕累托/GPD或威布尔的PDFof。这就给我们留下了一组四个椭圆分布，它们满足所有三个条件：逻辑、拉普拉斯、正态和学生-t、 以及非椭圆GEV分布。对于后者，当ξ6=0时，左超分位数可以表示为▄q1-α（R）=wTν-√wT∑wαΓ（1- ξ) - ΓU（1- ξ、 ln（1-α))(1 - α） pg公司- g、 式中，ΓU（a，b）=R∞双酚A-1e级-pdp是上不完全伽马函数，gk=Γ（1- kξ）。计算CVaR和bPOE 194.1.2超分位数和bPOE优化马科维茨问题的另一种选择是找到具有最小超分位数（3）或bPOE（4）的投资组合。minw公司∈注册护士- q1-α（wTR）s.t.wT1=1l≤ w≤ u（3）最小值∈Rn'px（wTR）s.t.wT1=1l≤ w≤ 然而，对于合格分布，这些问题可以大大简化。首先，我们看到（3）减少到（5）：最大值∈RnwTη-√wT∑wζ（α，Θ）s.t.wT1=1l≤ w≤ u（5）Khokhlov（2016）表明，（5）的最优解与λ=ζ（α，Θ）2σ（wTR）的Markowitz优化问题（2）的最优解相同。因此，超分位数最优投资组合也是马科维茨意义上的均值方差最优投资组合。现在，对于bPOE，我们看到的情况实际上要简单得多。

具体而言，我们有以下主张。如果我们假设wTR~ 我们知道，D是一个合格的分布，然后（4）还原为（6）。最大值W∈RnwTη+x√wT∑ws。t、 wT1=1l≤ w≤ u（6）证明首先，请注意，通过定义超分位数，我们知道ζ（α，Θ）必须是一个递增函数w。r、 t.α∈ [0, 1]. 第二，作为'px（X）={1- α| q1-α（R）=-x} 和▄q1-α（wTR）=wTη-√wT∑wζ（α，Θ）对于合格分布，问题（4）可以重写为：minw∈Rn，α1- αs.t。- wTη+√wT∑wζ（α，Θ）=xwT1=1l≤ w≤ u（7）可以写为：maxw∈Rnαs.t.ζ（α，Θ）=wTη+x√wT∑wwT1=1l≤ w≤ u（8）最后，由于ζ（α，Θ）是一个增函数w.r.t.α，且Θ不依赖于w，我们可以将最大化表示为（6），而不改变argmin。UTT这一命题对投资组合理论具有重要意义，即合格分布的最佳bPOE投资组合并不取决于分布本身。同一投资组合的任何分销的BPOE最低。