计算常见概率分布的CVaR和bPOE

在某种意义上，bPOE优化独立于分布假设，这一事实使其优于超分位数优化。20 Matthew Norton等人表1：投资组合回报数据资产预期标准相关性股票收益率偏差MXUS MXJP MXGB MXDE MXFR MXCHMXUS 10.25%13.79%10.190041 0.639133 0.481857 0.499406 0.605384MXJP 6.90%26.05%0.190041 0.450337 0.251601 0.378753 0.373964MXGB 8.81%19.16%0.639133 0.450337 1 0.5799180.628426MXFR 8.83%20.40%0.499406 0.378753 0.584215 0.753072 1 0.580626MXCH 13.85%17.45%0.605384 0.373964 0.654687 0.628426 0.580626 1表2：最优超分位数（CVaR）投资组合最小风险CVaR 99%最优投资组合CVaR 95%最优portfoliosticker投资组合正态t（df=3）Laplace logistic正态t（df=3）Laplace logisticMXUS 70.99%65.80%67.59%67.03%66.53%64.23%64.78%65.05%64.64%MXJP 13.98%9.61%11.11%10.64%10.21%8.28%8.74%8.97%8.62%MXGB 0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%MXDE 9.24%2.87%5.07%4.37%3.76%0.95%1.61%1.94%1.44%MXFR 0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%MXCH 5.79%21.72%16.22%17.96%19.50%26.54%24.87%24.04%25.30%Return 9.89%10.68%10.40%10.49%10.57%10.91%10.83%10.79%10.85%St.dev 12.86%13.01%12.93%12.95%12.97%13.11%13.08%13.06%13.09%λ20.48 31.28 26.82 23.80 15.73 17.11 17.88 16.734.1.3数值演示在本例中，我们考虑由6个市场投资组合组成的全球股票投资组合-美国、日本、英国、德国、法国和瑞士，由相应的MSCI指数表示-MXUS、MXJP、MXGB、MXDE、MXFR、MXCH。

表1提供了投资组合组成部分的回报参数（来源：CapitalIQ 1987年4月至1996年4月的月度回报样本，年化）。使用非线性规划算法解决了该问题，结果如表2所示。还提供了λ的相应值，这允许使用使用二次规划算法的标准MVOsolver导出相同的投资组合。表2显示，超分位数最优投资组合与全球最小方差投资组合（最小风险投资组合）不同，但非常接近。分配假设在最优投资组合构成中发挥作用，学生t分布为CVaR 99%的最保守分配。然而，CVaR95%的最优投资组合之间的差异并不显著。我们可以从（5）中注意到，如果投资组合回报受到下面的约束，除非该约束与全局最小方差投资组合的回报密切相关，否则它会导致超分位数优化在本质上与方差最小化相同。如果风险受到上述限制，那么超量化优化与收益最大化是相同的。使用同一组资产，我们还解决了bPOE优化问题（4），阈值x=0.16和x=0.25（即损失分别超过初始投资组合的16%和25%），l=0，u=1。表3显示了结果：实现的最小bPOE、最优投资组合组成和参数，以及所有分布的最优投资组合的CVaR。

所有最优解均由不同分布的非线性规划算法生成，但结果支持以下结论：最优投资组合构成不依赖于分布（较小的差异是由于优化算法的准确性）。5带超分位数的参数密度估计提供封闭形式的超分位数公式的动机之一是，它们可以与常见的参数估计框架一起使用。指数、Parteo/GPD、Laplace、Normal、LogNormal、Logistic、Student-t、Weibull、LogLogistic和GEV代表了广泛的分布，现在可以在这些参数程序中使用，但将超分位数纳入拟合标准。我们通过提出矩量法（MM）的简单变化来说明这一想法，我们称之为计算CVaR和bPOE 21表3：最佳bPOE投资组合的累积分布正态t（df=3）拉普拉斯逻辑正态t（df=3）拉普拉斯逻辑bPOE阈值，x 16%25%bPOE值，(R)px（X）5.13%6.21%7.46%6.36%0.80%2.93%2.81%1.86%Asset tiker bPOE最优投资组合构成MXUS 64.20%64.19%64.20%65.95%65.95%65.95%65.95%MXJP 8.26%8.27%8.25%8.25%9.73%9.73%MXGB 0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0 00%MXDE 0.90%0.91%0.90%0.90%3.05%3.06%3.05%MXFR 0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%0.00%MXCH 26.64%26.63%26.64%26.65%21.27%21.27%21.27%21.27%21.27%10.92%10.92%10.92%10.92%10.65%10.65%10.65%10.65%St.dev。

13.12%13.12%13.12%13.12%13.00%13.00%13.00%13.00%13.00%13.00%14.93%13.87%14.79%25.00%18.95%19.16%21.16%t（df=3）18.14%16.00%14.05%15.74%46.31%25.00%25.56%31.46%Laplace 19.48%17.00%17.48%36.62%24.61%25.00%28.79%17.61%16.18%14.81%16.00%31.14%21.71%22.01%25.00%超分位数法，其中，α水平不同的超分位数代替了矩。我们的数值示例利用重尾Weibull来说明MOS，因为它特别适合对称重尾数据。然而，也可以使用任何列出的发行版。5.1超分位数法当力矩以参数形式可用且期望力矩假设已知或从经验观测中测量时，MM是估计分布参数的著名工具。它寻找分布fΘ（x），由Θ参数化，矩等于一些已知值，或者，如果矩未知，则为经验矩。使用n个矩，问题简化为求解一组n个方程w.r.t.分布族的参数集。然而，当矩被其他分布特征（如超分位数和分位数）代替时，这种方法可以推广。在这种情况下，我们使用超分位数。该方法通过选择不同的α提供灵活性，允许用户将拟合过程集中在分布的特定部分。与MM或Maximum似然（ML）等其他方法相比，这种灵活性是有利的，因为这些拟合方法平等地对待分布的每个部分。

例如，当确定尾部很重要，且平均值周围有许多样本，尾部样本很少时，最好将确定程序的重点放在仔细确定尾部样本上。如图所示，可以通过选择α来聚焦MOS。我们将看到，这个过程类似于概率加权矩（PWM）的拟合，但其中MOS更直接，超分位数比PWM更容易解释。我们提出以下问题，其中，当X具有密度函数fΘ和参数集Θ时，qα（X）表示已知的超分位数或来自X样本的经验分位数，而qα（XfΘ）表示超分位数的参数化公式：超分位数方法：固定α。。。，αk∈ [0，1]并选择参数分布族fΘwith parametersΘ。求解Θ，使得对于所有i=1，’qαi（XfΘ）=^’qαi（X）。。。，k、 这是一个未知的k方程组。然而，这个问题可能没有解决方案。例如，如果k=2且参数族只有一个参数（即|Θ|=1）。在这种情况下，可以解决以下替代最小二乘最小化问题：有时也称为L-矩。22 Matthew Norton等人。LS超分位数方法（LS-MOS）：Fixα。。。，αk∈ [0，1]并选择参数为Θ的参数分布族fΘ。

选择权重c。。。，ck>0并求解，Θ∈ argminΘXici\'\'qαi（XfΘ）-^′qαi（X）.该程序确定了具有接近经验超分位数的超分位数的分布。选择αias和C的自由度为用户提供了更灵活的方法，使其能够更精确地匹配经验超分位数。5.1.1定制示例：当样本量较小且手头的分布很长，很可能很难根据经验数据来描述尾部，因为在尾部观察到的观测很少（概率很高）。然而，基于直观的经验数据，超分位数的拟议方法很容易变得更加保守。例如，可能存在以下条件，其中iis预先指定的constantsuch，0<我≤ αi：(R)qαi-i（XfΘ）=^′qαi（X）。或者，对于最小二乘法变量，我们无法解决问题，minΘXici（\'qαi-i（XfΘ）-^qαi（X））注意，这些条件有效地假设了经验超分位数低估了真实尾部预期，这通常是重尾分布的情况。5.1.2示例：Weibull分布拟合我们说明了从50个观测值的小样本中拟合Weibull分布的基本方法，其中Θ=（λ，k）。我们从λ=。5，k=1.4。然后，我们使用MM、ML和LS-MOS估计威布尔参数。使用Firsttwo矩求解MM。LS-MOS解决了两次。首先用α=。15, α= .75，c=c=1，该选项是为了模拟MM和ML的行为，其中t强调了大多数观察数据。

为了更加重视尾部观测，还使用α=。5, α= .75, α= .95，c=c=c=1。我们将这些解分别表示为LS1、LS2。ML解决方案以封闭形式提供，我们使用Scipy的优化库来求解DMM、LS1和LS2。查看S的图2和图3，我们发现LS1 fit实际上与两个数据集的MM aML fit非常相似。然而，我们发现LS2 fit在这两种情况下都是最好的。ML、MM和LS1方法过于强调模式周围的观察结果。然而，LS2 fit适当强调了尾部不太频繁的观察结果。同样重要的是，要注意沙子中的差异如何影响每种方法的效果。观察沙子之间的差异，我们可以看到，在范围的较低部分，样品的观察密度有所不同。这直接反映在MM、ML和LS1给出的fits中。与他们在S上的表现相比，他们更倾向于分布的左侧。然而，LS2 fit对数据集之间的差异具有鲁棒性，并且通过关注尾部，与t S相比基本保持不变。这是LS2中α选择较大值的预期影响。我们在厚尾Weibull上重复了这个过程。我们采集了50个真实参数k=1，λ=的Weibull样本。5和fit MM、ML、LS1和LS2使用经验数据。图4和图5突出显示了结果的不同方面。我们看到LS2显然提供了最好的结果，图5特别显示MM、ML和LS1低估了尾部密度。MM、ML和LS1更加重视模式周围的观察结果。然而，正如预期的那样，LS2更关注于拟合右尾观测值，并得出更好的拟合结果。具体而言，我们使用了leastsq函数，该函数实现了MINPACK的lmdif例程。

此例程需要函数值，并通过前向差分近似计算雅可比矩阵。计算CVaR和bPOE 23图。2： 使用示例S进行拟合。PDF显示为Ssample的标准化直方图，在背景中给出。图3：使用样本S进行拟合。PDF以背景中给出的Ssample的归一化直方图显示。图4：真实k=1，λ=。5.图5：真实k=1，λ=。5.5.1.3约束似然和熵最大化虽然我们主要关注矩量法的一种变体，但为超分位数和bPOE提供的公式可用于其他参数程序。例如，可以考虑最大似然法或最大熵法的约束变量，其中引入了超分位数约束。LettingH（fΘ）用密度函数fΘ表示随机变量的熵，yi表示观测值，约束熵最大化和最大似然可设置如下：ML:maxfΘ∈FXilog（fΘ（yi）），ME:maxfΘ∈FH（fΘ），其中f={fΘ| qαi（XfΘ）≤^′qαi（X）i=1。。。，k} 。虽然我们将对该框架的充分探索留给了未来的工作，但这个简单的公式说明了所提供的超分位数和bPOE公式在传统参数框架中的另一个潜在用途。6结论在本文中，我们首先导出了超分位数和bPOE的封闭式公式，然后将其用于参数投资组合优化和密度估计问题。我们能够推导出各种分布的超分位数公式，包括具有指数尾的分布（指数、帕累托/GPD、拉普拉斯）、对称分布（正态、拉普拉斯、Logistic、Student-t）和具有重尾的非对称分布（对数正态、威布尔、对数Logistic、GEV）。

使用bPOE公式，虽然我们在推导真正封闭形式的解决方案方面不太成功，但我们发现它仍然可以通过解决一维凸优化问题或一维寻根问题来计算。24 Matthew Norton等人。然后，我们利用这些公式开发了两个参数程序，一个用于投资组合优化，另一个用于密度估计。我们首先发现，正态分布、拉普拉斯分布、Student-t分布、Logistic分布和GEV分布的公式都会产生可处理的超分位数和bPOE投资组合优化问题。此外，我们发现，与超分位数最优投资组合相比，bPOE最优投资组合对不断变化的分布假设更为稳健。具体而言，bPOE最优投资组合对于整个类别的分布而言是最优的。最后，我们介绍了矩量法的一种变体，其中矩量被超分位数代替。我们的封闭式公式使这一参数化过程成为可能，并详细说明了它在重尾非等距数据中的使用，在重尾非等距数据中，额外强调通过超分位数条件拟合尾部是非常可取的。我们发现，这种方法很容易将拟合过程的重点放在尾部样本上。参考Andreev A、Kanto A、Malo P（2005）关于cvar的闭式计算。赫尔辛基经济学院工作文件W-389Artzner P，Delbaen F，Eber JM，Heath D（1999年）《一致性风险度量》。《数学金融》9:203–228 Davis JR，Uryasev S（2016）使用受抑制的超越概率分析热带风暴的损害。NaturalHazards 83（1）：465–483Karian ZA，Dudewicz EJ（1999）将广义lambda分布拟合到数据：基于百分位数的方法。统计模拟与计算通信28（3）：793–819Khokhlov V（2016）《投资组合风险价值优化》。

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