计算常见概率分布的CVaR和bPOE

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英文标题：
《Calculating CVaR and bPOE for Common Probability Distributions With
  Application to Portfolio Optimization and Density Estimation》
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作者：
Matthew Norton, Valentyn Khokhlov, Stan Uryasev
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Conditional Value-at-Risk (CVaR) and Value-at-Risk (VaR), also called the superquantile and quantile, are frequently used to characterize the tails of probability distribution\'s and are popular measures of risk. Buffered Probability of Exceedance (bPOE) is a recently introduced characterization of the tail which is the inverse of CVaR, much like the CDF is the inverse of the quantile. These quantities can prove very useful as the basis for a variety of risk-averse parametric engineering approaches. Their use, however, is often made difficult by the lack of well-known closed-form equations for calculating these quantities for commonly used probability distribution\'s. In this paper, we derive formulas for the superquantile and bPOE for a variety of common univariate probability distribution\'s. Besides providing a useful collection within a single reference, we use these formulas to incorporate the superquantile and bPOE into parametric procedures. In particular, we consider two: portfolio optimization and density estimation. First, when portfolio returns are assumed to follow particular distribution families, we show that finding the optimal portfolio via minimization of bPOE has advantages over superquantile minimization. We show that, given a fixed threshold, a single portfolio is the minimal bPOE portfolio for an entire class of distribution\'s simultaneously. Second, we apply our formulas to parametric density estimation and propose the method of superquantile\'s (MOS), a simple variation of the method of moment\'s (MM) where moment\'s are replaced by superquantile\'s at different confidence levels. With the freedom to select various combinations of confidence levels, MOS allows the user to focus the fitting procedure on different portions of the distribution, such as the tail when fitting heavy-tailed asymmetric data.
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中文摘要：
条件风险值（CVaR）和风险值（VaR），也称为超分位数和分位数，经常用于描述概率分布的尾部，是常用的风险度量。缓冲超越概率（bPOE）是最近引入的尾部表征，它是CVaR的倒数，很像CDF是分位数的倒数。这些数量可以证明是非常有用的，作为各种风险规避参数化工程方法的基础。然而，由于缺乏用于计算常用概率分布的这些量的众所周知的封闭式方程，它们的使用往往很困难。在本文中，我们推导了各种常见单变量概率分布的超分位数和bPOE公式。除了在单个参考中提供有用的集合外，我们使用这些公式将超分位数和bPOE合并到参数过程中。特别地，我们考虑两个方面：投资组合优化和密度估计。首先，当投资组合收益服从特定的分布族时，我们证明了通过bPOE最小化找到最优投资组合比超分位数最小化具有优势。我们证明，在给定固定阈值的情况下，对于整个类别的分布，单个投资组合是最小的bPOE投资组合。其次，我们将我们的公式应用于参数密度估计，并提出了超分位数（MOS）方法，这是矩（MM）方法的一个简单变体，其中矩在不同置信水平下被超分位数替换。由于可以自由选择置信水平的各种组合，MOS允许用户将拟合过程集中在分布的不同部分，例如拟合重尾非对称数据时的尾部。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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关键词：CVAR 概率分布 poe CVA BPO

计算常见概率分布的CVaR和bPOE，并应用于投资组合优化和密度估计Matthew Norton·Valentin Khokhlov·Stan UryasevAbstract Conditional Value at Risk（CVaR）和Value at Risk（VaR），也称为超分位数和分位数，通常用于描述概率分布的尾部，并且在分布表示潜在损失大小的应用中是风险的常用度量。衰减超越概率（bPOE）是最近引入的尾部表征，它是CVaR的倒数，很像CDF是分位数的倒数。这些数量可以证明是非常有用的，作为各种风险规避参数化工程方法的基础。然而，由于缺乏用于计算常用概率分布的这些量的众所周知的封闭式方程，它们的使用往往很困难。在本文中，我们推导了各种常见单变量概率分布的超分位数和bPOE公式。除了在单个参考中提供有用的集合，我们使用这些公式将超分位数和bPOE合并到参数过程中。特别地，我们考虑了两个方面：组合优化和密度估计。首先，当假设投资组合回报遵循特定的分布族时，我们表明通过bPOE最小化找到最优投资组合比超分位数最小化具有优势。我们表明，在给定固定阈值的情况下，单个投资组合是整个分销类别同时的最小bPOE投资组合。其次，我们将我们的公式应用于参数密度估计，并提出了超分位数法（MOS），这是矩量法（MM）的一种简单变体，在不同的置信水平下，矩量被超分位数取代。

MOS可以自由选择不同的置信水平组合，用户可以将拟合过程集中在分布的不同部分，例如拟合重尾非对称数据时的尾部。关键词条件风险值·超越概率·超分位数·密度估计·投资组合优化1简介面对随机性和不确定性，处理此类风险的一些最常用技术本质上是参数化的。给定一个实值随机变量X，如果假设X属于一个特定的参数分布族，则分析可以大大简化。例如，矩法（MM）是参数密度估计的最简单和最广泛使用的方法之一。然而，这些技术通常要求分布族的某些特征可以用简单、理想的封闭形式表示。例如，传统的MM对参数分布族的矩使用闭合形式表达式。同样，分位数（MOQ）程序的匹配（参见Matthew NortonNaval研究生院，运筹学部电子邮件：mnorton@nps.eduV.KhokhlovE邮件：vkhokhlov。embals2016@london.eduS.佛罗里达UryasevUniversity of Florida，工业和系统工程系，风险管理和金融工程实验室电子邮件：uryasev@ufl.edu2 Matthew Norton等人，例如，Sgouropoulos等人（2015年）；Karian和Dudewicz（1999））将表达式用于分位数函数。

在投资组合优化中，投资组合收益均值和方差的简单表达式的可用性是一个易于处理的马科维茨投资组合优化问题。对于各种问题，参数方法的应用取决于所关心的参数族的特定特征的封闭形式表达式的可用性。幸运的是，对于各种分布，闭合表达式可用于常用的特征。这些特征包括矩、分位数和CDF等特征。然而，在过去二十年中，量化风险管理领域出现了新的基本特征，如超分位数，并在金融、土木和环境工程等工程领域有重要应用。（参见Rockafellar和Royset（2010）；Rockafellar和Uryasev（2000）；Davis andUryasev（2016））。此外，对于各种常见参数分布族，这些特征的闭合形式表达式尚未得到广泛传播。虽然这些特征来自特定的工程应用，但其中一些特征非常普遍，可以被视为arandom变量的基本方面，就像平均值或分位数一样。因此，在参数化方法中利用这些特性是一个自然的考虑。然而，为了便于使用，我们必须开发封闭形式的表达式。我们专注于开发各种分布族的超分位数和衰减超越概率（bPOE）的这些表达式。过去二十年来，金融风险理论的发展高度强调尾部风险的衡量。在Artzner等人。

（1999）引入了相干风险度量的概念，Rockafellar和Uryasev（2000）引入了超分位数，在金融文献中也称为条件风险价值（CVaR）。与分位数或风险值（VaR）相比，这开始被认为是更可取的尾部风险表征。虽然一些封闭形式的表达式可用于在参数过程中使用超分位数，参见Rockafellar和Uryasev（2000）；Landsmanand Valdez（2003）；Andreev等人（2005年），在这些来源中讨论的分布的多样性是有限的。我们举例说明，对于各种常见分布，分位数函数积分等简单技术可获得超分位数的闭合形式表达式，该表达式易于在后续参数方法中使用。我们试图包括各种类型，为指数、帕累托/广义帕累托（GPD）、拉普拉斯、正态、对数正态、逻辑、对数逻辑、广义Student-t、Weibull和广义极值（GEV）分布提供超分位数公式。这些提供了不同于指数尾（指数、帕累托/广义帕累托、拉普拉斯）分布的示例，对称分布（正态分布、拉普拉斯分布、Logistic分布、Student-t分布）、非对称重尾分布（Weibull分布、LogLogistic分布、GEV分布）。虽然这些公式中的一些可能存在于其他地方，但我们希望本文能为寻求超量化公式的从业者提供良好的资源。虽然超分位数在过去十年中越来越受欢迎，但最近引入了一个称为超越可能性（bPOE）的相关特征，首先由Rockafellar和Royset（2010）在失效概率受限的背景下引入，然后由Mafusalov和Uryasev（2018）推广。

随着金融、物流、自然灾害分析、统计、随机规划和机器学习等领域的应用，这一概念在风险管理界越来越受欢迎（Shang et al.（2018）；Uryasev（2014）；Davis和Uryasev（2016）；Mafusalov等人（2018年）；Norton等人（2017年）；Norton和Uryasev（2016）。具体而言，bPOE是超分位数的倒数，正如CDF是分位数的倒数一样。然而，与分位数相比，bPOE与超分位数非常相似，与传统使用的超越概率（POE）相比，bPOE具有许多数学上的优势。直接优化通常简化为凸规划或线性规划，它可以通过一维凸优化问题进行计算，并且它提供了对经历大于某些固定上限的结果的风险的规避概率评估。因此，本文的第二个目的是为bPOE提供封闭形式的表达式，当无法这样做时，表明bPOE的计算仍然很简单，简化为一维对流优化问题或一维寻根问题。特别是对于参数投资组合应用，我们将看到，当封闭式bPOE不可用且超分位数可用时，从计算上来说，找到最佳bPOE投资组合并不比找到最佳超分位数（CVaR）投资组合更困难。促使我们推导超分位数的闭合表达式（或简单计算公式）和公共分布的BPOE的原因是在参数方法中包含了这些风险规避的尾部测量。

特别是，我们探讨了在参数投资组合优化中使用超分位数和bPOE的问题，具体请参见第4节。当封闭形式表达式不可用时，我们希望提供简单的计算方法，这些方法可能仍然在参数化方法中使用。计算CVaR和bPOE 3以及密度估计。首先，我们考虑参数投资组合优化，其中假设收益服从特定分布，并使用这些假设，制定和解决了一个可处理的投资组合优化问题。我们首先将我们的分配选择范围缩小到那些既符合投资组合回报模式又产生可处理的投资组合优化问题的分配。然后，我们考虑两个伴生问题，求解使潜在损失分布的超分位数（CVaR）最小化的投资组合（即最坏情况100（1）的平均值- α） %情景）和使损失分布的bPOE最小化的投资组合（即损失超过固定上限x的受抑制概率）。通过比较这些问题，我们发现在参数环境中，bPOE优化通常比超分位数（CVaR）优化更可取。具体而言，对于固定α，使超量化最小化的投资组合取决于分配假设（即，即使α是固定的，改变假设的回报参数分布也会改变最优投资组合的内容）。然而，对于固定阈值x，最小化bPOE的投资组合不取决于分配假设（至少对于我们考虑的特定分配类别，包括逻辑、拉普拉斯、正常、学生t和GEV）。换言之，无论我们选择哪种分布，我们都将始终实现相同的最优投资组合，以实现阈值x的价值。

因此，基于bPOE的投资组合优化可以在参数选择方面提供额外的一致性，消除决策者的一个额外可变性来源。最后，我们考虑了参数密度估计，提出了一种用超分位数代替矩的MM变量。这也可以看作是用超分位数代替分位数的MOQ程序的自然变化。通过闭合形式的超分位数表达式，我们证明了此框架允许灵活地执行密度估计，允许用户将安装程序集中于分发的特定部分。例如，我们通过在估计右尾上设置一个带有额外强调的Weibull来说明。与传统的MM和最大似然（ML）相比，我们发现对于这种不对称、重尾的情况，我们得到了更好的拟合。1.1文件组织我们首先在第1.2节中简要介绍超分位数和bPOE。在第2节中，我们给出了指数分布、帕累托分布、广义帕累托分布和拉普拉斯分布的超分位数和bPOE公式。在此过程中，我们强调了POE、bPOE、分位数和超分位数之间的一些简单关系。在第3节中，我们讨论了存在闭式超分位数公式的分布，但我们无法推导出简单的闭式bPOE公式。按照出现的顺序，我们考虑了正态分布、对数正态分布、Logistic分布、广义Student-t分布、Weibull分布、Logistic分布和广义极值分布。然而，我们指出，对于这些情况，由于已知超分位数的公式，bPOE可以通过一个简单的寻根问题来解决。我们还举例说明了在某些情况下，bPOE的一维凸优化公式也可以用于这些情况。

在第4节中，我们举例说明了这些公式在投资组合优化和参数分布近似中的使用。1.2背景和符号在进行尾部概率优化时，经常使用涉及超越概率（POE）、px（X）=P（X>X）或其相关分位数qα（X）=min{X | P（X）的约束或目标≤x）≥ α} ，其中α∈ [0，1]是一个概率级别。分位数是金融工程中常用的尾部风险度量，但当通过约束或目标将其纳入优化问题时，很难用连续（线性或非线性）优化技术来处理。Rockafellar和Uryasev（2000年、2002年）在开发一种名为超分位数或CVaR的替代品方面取得了重大进展。超分位数是一种与分位数类似的不确定性度量，但具有优异的数学特性。形式上，连续分布X的超分位数（CVaR）定义为，\'qα（X）=E[X | X>qα（X）]=1- αZ∞qα（X）xf（X）dx=1- αZαqp（X）dp。与qα（X）类似，超分位数可用于评估分布的尾部。不过，在优化环境中，超分位数要容易得多。它还有一个重要的特性，即它考虑了尾部内事件的大小。因此，在分布可能有重尾的情况下，4 Matthew Norton等人图1：所示为X的概率密度函数（PDF）~ 对数正态分布（σ=1，u=0）。给定阈值z∈ R、 POE等于P（X>z）红色的累积密度。对于相同的阈值z，bPOE等于'pz（X）'inred和blue的组合累积密度。根据定义，最坏情况的预期1- α=’pz（X）结果等于z=’qα（X）。

这些最坏的结果是大于分位数qα（X）的结果。超分位数说明了低概率大损失尾部事件的大小，而分位数不说明这一信息。衰减概率的概念最初由Rockafellar和Royset（2010）在结构设计和优化的背景下引入，作为衰减失效概率（bPOF）。为了扩展这一概念，Mafusalov和Uryasev（2018）将bPOE发展为超分位数的倒数，就像POE是分位数的倒数一样。具体而言，对于连续分布的X，阈值X的bPOE定义如下，其中sup X表示随机变量X和阈值X的基本上确界∈ [E[X]，sup X]。(R)px（X）={1- α|(R)qα（X）=X}。换句话说，bPOE计算1减去超分位数尾部期望等于阈值x的概率水平。粗略地说，bPOE计算最坏情况下结果的比例，平均值为x。图1给出了对数正态分布随机变量x的bPOE示例。我们注意到，bPOE存在两个略有不同的变量，称为上下bPOE，对于连续随机变量是相同的。在本文中，我们只使用连续随机变量。