异国情调下的路径依赖最优运输与模型标定

如下图所示，定理3.6立即暗示了所谓的稳健定价对冲二元性。考虑欧洲支付的稳健对冲问题∈ Cb公司(Ohm) 对于一组由鞅测度表示的模型，其扩散特征是在一些紧凸集D中有界线 Sd+。假设存在欧洲支付形式的其他模型约束∈ Cb公司(Ohm, Rm），已知价格为0。Letus设置F=0，N*= {λ·g- f：λ∈ Rm}，如果α=0，β，则H（α，β）=0∈ D或+∞ 否则然后，鲁棒模型价格等于原始问题supP∈P、 EPg=0αP=0，βP∈DEPf=V=支持∈Pinfλ∈Rm-λ·EPg+EPf- EPZH（αP，βP）dt。对偶公式由v=infλ给出∈Rmφ∈C1,2（λ）φ（0，X），s.t.φ（1，·）≥ f- λ·g，Dtφ+supβ∈Dβ：xφ≤ 0。（16）通过函数It^o公式，对于满足（16）的每个φ，以下不等式对每个候选模型P，f保持P-a.s- λ·g- φ（0，X）≤Z（Dtφ+βP：xφ）dt+xφ·dXt≤Zxφ·dXt。因此，交易策略的起始成本为φ（0，X），持有动态投资组合x中的xφ和g中的静态位置λ是f的超边缘策略。由于这对于所有满足（16）的φ都是正确的，所以对偶值V必须是超边缘价格的上界，这很容易被证明至少是稳健模型价格。根据定理3.6，我们必须在稳健模型价格和超边际价格之间具有等式。为了完成定理3.1（i）的证明，我们需要用函数J来表示路径相关最优运输问题的解，这将重新确定最优控制问题和PPDE之间的联系。提案3.10。固定ψ∈ Cb公司(Ohm). 定义J byJψ，H（t，ρt）：=支持∈Pt（ρt）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds。

（17） （i）那么Jψ，hc可以写成Jψ，H（t，ρt）=infφ∈C1,2t（λ）ZOhmtφ（t，·）dρt，受制于φ（1，·）≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0。（ii）函数Jψ，Halso满足Jψ，H（t，ρt）=ZOhmtJψ，H（t，Δω·∧t） dρt.证明。（i） 这是定理3.6在设置F=0和N后的直接结果*={ψ}.（ii）确定设定Φ：=φ ∈ C1,2t（λ）：φ（1，·）≥ -ψ、 Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0.从第（i）部分，我们立即得到jψ，H（t，ρt）≥ZOhmtinfφ∈Φφ（t，ω·∧t） dρt=ZOhmtJψ，H（t，Δω·∧t） dρt.对于其他方向，对于任何P∈ Pt（ρt），让我们分解P相对于mapX·∧t、 因此存在ρt-a.s.唯一映射ω·∧t型→ Pω·∧t型∈ Pt（Δω·∧t） 这样，对于所有 Ohm,P（E）=ZOhmtPω·∧t（E）dρt。回想一下，X是一个具有特征（αP，βP）的（F，P）-半鞅。那么，ρt-a.s.，X是an（F，Pω·∧t） -也具有特征（αP，βP）的半鞅。亨塞普-ψ -ZtH（αPs，βPs）ds=ZOhmtEPω·∧t型-ψ -ZtH（αPs，βPs）dsdρt≤ZOhmtsupP公司∈Pt（Δω）·∧t） EP公司-ψ -ZtH（αPs，βPs）dsdρt=ZOhmtJψ，H（t，Δω·∧t） dρt，因为这适用于任何P∈ Pt（ρt），通过定义Jψ，H，我们得到了所需的结果。备注3.11。命题3.10中使用的论点可以扩展，以获得众所周知的动态规划原理，即Jt=Jψ，H（t，Δω·∧t） 。简要概述任何停止时间τ的参数≥ t、 我们有以下不等式链，Jt≤ 支持Jτ-ZτtH（αP，βP）dt= 支持infφφτ-ZτtH（αP，βP）dt≤ infφφt，其中第一个不等式源自命题3.10（ii）的分解论证，中间等式源自命题3.10（i）的对偶结果，最终性质源自函数It^o公式和PPDE。

应用对偶结果意味着整个过程必须是平等的。推论3.7和命题3.10的结合意味着我们的主要对偶结果，即定理3.1（i）。3.4最优概率测度如果对偶问题达到最优，我们可以使用定理3.1（ii）来描述最优概率测度，该定理被重新表述为下面的命题3.12。提案3.12。设▄P是最优运输问题的最优概率测度，其特征（▄α，▄β）在[t，1]上。Let（ψn，φn）n∈Z+是（6）和（7）的优化顺序。然后我们有以下概率收敛Ohm ×【t，1】：Dtφn+H*xφn，xφndP×dt→ 0，φn+ψndP→ 0。（18）此外，假设H是强凸的，即存在一个常数C>0，使得对于所有t，ω，α，β，α，β和任何子导数H、 如果H（α，β）是有限的，则H（α，β）≥ H（α，β）+HH（α，β），（α- α, β- β） i+C（kα- αk+kβ- βk），其中k·k是Rd和Sd上的Lnorm。然后，以下内容将继续Ohm ×[t，1]，H*xφn，xφndP×dt→ (~α,~β).证据对于每个 > 0，对于所有足够大的nF，我们有以下不等式*（▄P）+E▄PZtH（▄αs，▄βs）ds≤ -F（ψn）-ZOhmtφn（t，·）dρt+.应用函数It^o公式和重新排列，该屈服值ZtH（|αs，|βs）+H*xφns，xφns- αs·xφns-βs：xφNSD（19） +EPZt公司-Dtφns- H*xφns，xφnsds公司+ EP（φn+ψn）+（F*（￠P）+F（ψn）- E▄Pψn）≤ .利用Fenchel不等式，以及条件|φ（1，·）≥ -ψ，Dtφ+H*x▄φ，x▄φ≤ （19）中的四个术语（尤其是期望值和积分中的术语）都不是负数。因此，它们都必须以, 这意味着需要收敛（18），以及0≤ EPZtH（|αs，|βs）+H*xφns，xφns- αs·xφns-βs：xφNSD≤ .

（21）如果H是强凸的，则H*是可区分的，我们可以定义（αn，βn），使得（αn，βn）=H*xφn，xφn,xφn，xφn= H（αn，βn）。请注意，我们对强凸的定义并不要求H是可微分的，因为只使用了次导数。然而，这意味着H是严格凸的，因此H*因此，通过凸共轭的定义和H的强凸性，H（|αs，|βs）+H*xφns，xφns- αs·xφns-βs：xφns=H（|αs，|βs）- H（αns，βns）- （￠αs- αns）·xφns-（￠βs- βns）：xφns≥ Ck▄αs- αnsk+βs- βns. （22）组合（21）和（22）意味着（αn，βn）→ dP×dt中的（|α，|β），完成证明。备注3.13。如果对偶问题的最优解是由一对（|ψ，|φ）得到的，那么命题3.12中的所有收敛结果都可以用等式代替。3.5路径依赖型Pd在本小节和下一小节中，我们对ψ和H施加了额外的假设，这是PPDE适定性所必需的。假设3.14。（i） 对于每个（α，β），H（·，·，α，β）是F-逐步可测量的。（ii）H的有效域由dom H=λ×U给出，其中U Rd×Sd++是紧凑的。换句话说，对于所有（t，ω）∈ ∧，H（t，ω，α，β）<+∞ 当且仅当（α，β）∈ U、 （iii）此外，H在其作用域内有界且一致连续。（iv）函数ψ有界且一致连续，具有与H相同的连续模。备注3.15。

假设2.6和3.14对H有以下影响*（t，ω，p，q）：（a）对于固定（p，q），H*（·，p，q）是F-逐步可测量的，且| H*（·，p，q）|有界；（b） H类*是一致椭圆的，即存在一个常数c>0，使得H*（·，q）-H*（·，q）≥c tr（q- q） 对于任何q≥ q（c） H类*在（p，q）中是一致Lipschitz连续的；（d） H类*在（t，ω）中一致连续。条件（a）满足，因为H是逐步可测量的，H*可以写成可数族逐步可测函数的上确界。还要注意H*（·，0，0）有界。对于（b），H*实际上是一致椭圆的，因为只有当β的特征值一致有界于正常数以下时，H（·，β）才是有限的。对于（c），由于H（t，ω，·）的有效域是有界集U，H*（t，ω，·）也必须有界。最后，（d）成立，因为H（·，α，β）在∧上一致连续。为了获得粘度解的唯一性，我们需要额外的技术消耗（见[14]，假设3.5）。对于所有人 > 0，n≥ 0和0≤ T<T≤ 1，表示∏n（T，T）：={πn=（ti，xi）1≤我≤n： T<T<···<tn<T，xi≤ , 1.≤ 我≤ n} 。对于所有πn∈ Πn（T，T），设ωπn∈ OhmT∩ OhmT指定（0，0），（T，0），（ti，iXj=1xj）1的线性插值≤我≤nand（1，iXj=nxj）。假设3.16。存在0=T<···<TN=1，因此以下各项适用于每个i=0，N-1、对于任何, n、 p、q和ω∈ OhmTi+OhmTi+1，函数πn→ ψ（ω+ωπn）和πn→ H*（t，（ω+ωπn）·∧t、 p，q）在∏中一致连续n、 现在，我们将提出第3.1（iii）条提案，在这里重述。提案3.17。假设满足假设2.6和3.14。那么Jψ，hh表示Jψ，H（t，ρt）=支持∈Pt（ρt）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds=ZOhmtφψ，H（t，·）dρt.（23），其中φψ，His是以下路径相关PDE的粘度解：φ（1，·）=-ψ和Dtφ+H*xφ，xφ= 0

（24）此外，如果假设3.16也满足，那么φψ，His是PPDE（24）的唯一粘度解。证据根据命题3.10，必须证明该解是控制问题jψ，H（t，δ（x·∧t） ）=支持∈Pt（δ（x·∧t） （）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）DS是PPDE（24）的粘度溶液。这可以通过遵循[13]中的相同论点，即命题4.7来证明，这是对PPDE设置中推导HJB方程的标准论点的改编。如果假设3.16也成立，那么我们有PPDE（24）和φψ，hm的完全比较原理必须是唯一的粘度解（见【14】，定理4.1）。备注3.18。如【14】第8.3节所述，假设3.16是一个技术假设，仅用于构建一系列粘度溶液，以接近路径冻结PDE系列。在控制问题中，如命题3.17中的控制问题，可以通过一系列近似控制问题及其HJB方程直接构造所需的粘度解族，而无需假设3.16。另一种方法是利用[30]的比较原理结果，这要求在定义均匀连续性时在∧上有不同的度量。它也不需要第3.16条。我们将把这些潜在的方法推迟到未来的研究中，并请感兴趣的读者参考[13、14、30]，以详细讨论全非线性PPDE的粘度解决方案和各种版本的规律性假设。3.6降维一个特别有趣的情况是，ρ是狄拉克测度，即ρt=δt，x=δ（x·∧t=x·∧t） 。ThenJψ，H（t，δt，x）=supP∈Pt（δt，x）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds=infφ∈C1,2t（λ）φ（t，x·∧t） ，（25）以φ（1，·）为准≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0

（26）对于x∈ Ohm, 让我们用简写J（t，x）：=Jψ，H（t，δt，x）。通常，J（t，·）只取决于时间t之前的路径，并且可以显示为可测量的。但在所有实际例子中，支付函数ψ和成本函数h都只取决于路径的某些特征，而不是整个路径，并且通常可以由有限数量的状态变量参数化。直观地说，就这些状态变量而言，解J（t，·）应该是马尔可夫的。这在实践中很有用，因为它允许我们识别驱动路径相关特征的状态变量，并将有限维PPDE简化为有限维PDE。这种降维思想在BSDE的数值方法（参见，例如，[16，37]）和路径相关随机控制问题（参见，例如，[33]）中是众所周知的。通常的方法是识别一个“更新函数”[6]或等效函数，该函数根据路径的演变更新状态变量。在本文中，我们将以一种略有不同的方法将这一概念正式化。在这里，我们介绍了一种所谓的“半过滤”，它是一类比F小的σ-代数，它捕获了解决方案所需的信息。通常，这可以是由状态变量生成的σ-代数，但我们的构造也允许更一般的情况。此外，如备注3.22所示，我们的方法能够明确构建任意问题的“最小”半过滤。定义3.19（半过滤）。

（i） σ-代数的集合G={Gt:t∈ 如果以下属性成立，【0，1】}称为半过滤：o对于每t，Gt 英尺；o对于所有t<u，Gu 燃气轮机∨ F[t，u]，其中F[t，u]是由F[t，u]=σ（{Xs）定义的σ-代数- 文本：s∈ [t，u]}）。（ii）一对函数（ψ，H）∈ Cb公司(Ohm) 如果ψ是G-可测的且对于每t∈ [0，1]，H（t，·，·）是Gt B（U）-可测量。一般来说，半过滤G不是过滤。它有以下解释。随着时间的推移，G收集了关于规范过程X的更多信息，与F收集信息的方式相同。同时，G也被允许“忘记”信息，每当包含Gu时，G都会被忽略 燃气轮机∨F[t，u]是严格的。此外，一旦信息被“遗忘”，G就不允许“回忆”信息。对于许多实际问题的数值实现，G的优点是比F小得多。例如，如果已知问题是马尔可夫问题，那么它可以跟踪状态变量Gt=σ（Xt）的当前值，而不是整个路径Ft的历史。理想情况下，我们会选择G尽可能小，同时保留解决方案所需的所有因变量。条件Gu 燃气轮机∨ F【t，u】可以解释为半过滤的时间一致性条件。给定Gt和时间段[t，u]的所有可能信息，我们有足够的时间来构造Gu。这个概念在下面的重要引理中正式化了。引理3.20。设G是半过滤空间，X，Y是抛光空间。修复t∈ [0，1]和考虑函数f∈ Cb公司(Ohm ×X，Y）即（（Gt∨F【t，1】）B（X），B（Y））-可测量。确定地图：Ohm → Cb公司(Ohmt×X；Y） 通过ωΓ→ f（ω·∧t+·，·）。那么Γ是可测量的。证据

请注意，空格Cb(Ohmt×X；Y） 被赋予上确界范数k·k∞以及相关的Borelσ-代数。对于任何打开的球D Cb公司(Ohmt×X；Y） 对于中心g和半径r，我们必须检查Γ-1（D）∈ 燃气轮机。由于Ohmt×X，我们可以写Γ-1（D）=\\（ω，x）∈SΓ-1（ω，x）（D（ω，x）），（27），其中S是Ohmt×X，mapΓ（ω，X）：Ohm → Y由ω定义→ f（ω·∧t+ω，x）和D（ω，x） Y是一个中心为g（ω，x）且半径为r的开放球。通过（27），可以检查Γ-1（ω，x）（D（ω，x））∈ GT全部（ω，x）∈ Ohmt×X.现在自f起-1（D（ω，x））∈ （燃气轮机∨F【t，1】）B（X），通过取这个集合的X截面，我们得到了f-1（D（ω，x），x）∈ 燃气轮机∨ F【t，1】。那么我们有以下含义{ω：f（ω，x）∈ D（ω，x）}∈ 燃气轮机∨ F【t，1】==> {ω：f（ω，x）∈ D（ω，x），ω-ω·∧t=ω}∈ 燃气轮机∨ F【t，1】<==> {ω：f（ω·∧t+ω，x）∈ D（ω，x），ω-ω·∧t=ω}∈ 燃气轮机∨ F[t，1]（28）==> {ω：f（ω·∧t+ω，x）∈ D（ω，x）}∈ 燃气轮机。（29）最后一个含义依赖于一个事实，即存在一个自然同构gt∨ F【t，1】~=\'\'Gt B类(Ohmt） ，其中'gt是上的σ-代数Ohmt、 自f（ω·∧t+ω，x）∈ D（ω，x）不依赖于时间t后的路径，（29）通过ω剖分（28）得到-ω·∧t=ω∈ Ohmt、 因为（29）等于Γ-1（ω，x）（D（ω，x））∈ Gt，这就完成了证明。现在我们可以证明定理3.1（iv），它在下面被重述为命题3.21。提案3.21。假设假设满足假设2.6和3.14。让（ψ，H）适应半过滤G={Gt:t∈ [0, 1]}. 我们得到以下结果：（i）（25）定义的映射J（t，·）是Gt可测量的；（ii）如果φ∈ C1,2t（λ）是[t，1]上PPDE（24）的经典解，H是严格对流的（α，β），则对（α，β）=H*xφ（t，·），xφ（t，·）Gt是否可测量。证据（i） 首先要注意的是，由于（ψ，H）是有界的、连续的并且适应于G，所以映射（ω，u，v）→ （ψ（ω），H（u，ω·∧s、 v）），其中u≥ t是有界的、连续的和（Gt∨F【t，1】）B（R×U）可测量。

因此，通过引理3.20，映射Γ：Ohm → Cb公司(Ohmt） ×Cb（λt×U）由ωΓ定义→ (ψ(ω·∧t+·），H（·，ω·∧t+·，·））。Gt是否可测量。在适当的翻译后，J（t，x）可以写成J（t，x）=支持（δt，x）-EPψ- EPZtH（s，·，vPs）ds=支持（δt，0）-EPψ（x+·）- EPZtH（s，x+·，vPs）ds。因此，J（t，x）可以写成合成xΓ→ （ψ，H）→ 支持（δt，0）-EPψ- EPZtH（·，vPs）ds。我们已经确定Γ是G-可测的。第二个映射是连续的，因为EPRt·ds和EPRt·ds都是Lipschitz连续泛函。因此J（t，·）是Gt可测的。（ii）首先，φ的Gt可测性紧随命题3.17。根据函数It^o公式，对于u>tφ（u，X）- φ（t，x）=ZutDtφds+xφ·dXs+xφ：dhXis，P-a.s.（30）适用于所有P∈ Pt。考虑概率P∈ Pt（δt，x），其特征（g，h）在[t，1]上恒定。然后由limu和tEP（φ（u，X））给出φ（t，X）的最小生成元- φ（t，x）u- t=Dtφ（t，x）+xφ（t，x）·g+xφ（t，x）：h（31）由引理3.20和命题3.21（i）得到，（31）的左侧作为x的函数，是可测的。因为（31）适用于所有（g，h）∈ Rd×Sd+，（Dtφ（t，x），xφ（t，x），xφ（t，x））也必须是Gt可测量的。最后，H在U上严格凸意味着H*是连续的。因此（αt，βt）=H*xφt（t，·），xφt（t，·）也是可测量的。备注3.22。事实上，存在一个（ψ，H）适用的“最小”半过滤G。对于每个t，我们可以定义σ-代数ΓGt=σ（Γ），其中Γ是由ωΓt定义的映射→ (ψ(ω·∧t+·），H（·，ω·∧t+·，·））。从命题3.21的证明中，我们已经看到 Gt每半过滤={Gt，t∈ （ψ，H）所适应的[0，1]}。所以必须证明▄G={▄Gt，t∈ [0，1]}确实是一种半过滤。