异国情调下的路径依赖最优运输与模型标定

因此，我们可以编写并绑定*通过以下方式*（ξ，ρ，u，ν，’ν，￠ν）=ZOhm du+Z∧ dν+sup（q，r）Z∧q·d′νdν+r:d′νdν- H*（q，r）dν≤ZOhm du+Z∧ dν+Z∧sup（q，r）q·d′νdν+r:d′νdν- H*（q，r）dν=ZOhm du+Z∧ dν+Z∧Hd？νdν，d？νdνdν。注意，我们使用了H的下半连续性。等式可以通过选择（q，r）为收敛于的连续函数序列来表示H（d|νdν，d|νdν），然后应用支配收敛定理和H*在dom中是连续的（H*).最后，我们看到条件ξ=0，ρ=ρ，u≥ 0, ν ≥ 0和（°ν，°ν） ν对于*< +∞. 因此，该权利要求得到了证明。参考文献【1】Abergel，F.和Tachet，R.数学金融中的非线性部分积分微分方程。离散Contin。Dyn公司。系统。27, 3 (2010), 907–917.[2] Avellaneda，M.、Friedman，C.、Holmes，R.和Samperi，D.通过相对熵最小化校准挥发性表面。应用数学金融4，1（1997），37–64。[3] Benamou，J.-D.，和Brenier，Y.。Monge-Kantorovich传质问题的计算流体力学解决方案。《数学》（Numerische Mathematik）84，3（2000），375–393。[4] Brenier，Y.《体积保持映射组上的最小测地线和Euler方程的广义解》。普通纯应用程序。数学52, 4 (1999), 411–452.[5] Br’ezis，H.《分析基金会》（Analysis fonctionnelle），th’eorie et applications，（1983），1983年。[6] Brunick，G.，Shreve，S.，等人通过随机微分方程的解来模拟It^o过程。《应用概率年鉴》23，4（2013），1584–1628。[7] Buckdahn，R.、Ma，J.和Zhang，J.多维路径上随机场的路径泰勒展开。随机过程及其应用125，7（2015），2820–2855。[8] Cont，R.，Fourni\'e，D.-A.，等人，《泛函It^o演算与鞅的随机积分表示》。

《概率年鉴》41，1（2013），109–133。[9] Dolinsky，Y.和Soner，H.M.鞅最优运输和鲁棒hedgingin连续时间。概率论及相关领域160，1-2（2014），391–427。[10] Dunford，N.，和Schwartz，J.T.《线性算子第一部分：一般理论》，第7卷。跨科学出版社纽约，1958年。[11] Dupire，B.《函数It^o微积分》。论文ssrn。com（2009）。[12] Dupire，B.等人，《微笑定价》。风险7，1（1994），18-20。[13] Ekren，I.，Touzi，N.，Zhang，J.，et al.《完全非线性代谢路径相关偏微分方程的粘度解：第一部分：概率年鉴》44，2（2016），1212–1253。[14] Ekren，I.，Touzi，N.，Zhang，J.，等。完全非线性代谢路径相关偏微分方程的粘度解：第二部分。《概率年鉴》44，4（2016），2507–2553。[15] Fremlin，D.、Garling，D.和Haydon，R.《拓扑空间上的有界测度》。《伦敦数学学会会刊》3，1（1972），115–136。[16] Gobet，E.、Lemor，J.-P.、Warin，X.等。一种基于回归的蒙特卡罗方法，用于求解反向随机微分方程。《应用概率年鉴》15，3（2005），2172–2202。[17] Guo，I.、Loeper，G.、Obloj，J.和Wang，S.通过优化传输对PX和vix进行联合建模和校准。arXiv预印本arXiv:2004.02198（2020）。[18] Guo，I.、Loeper，G.和Wang，S.用最优运输对局部随机波动率模型进行校准。arXiv预印本（2019年）。[19] Guo，I.、Loeper，G.和Wang，S.通过最优运输进行局部波动率校准。2017年矩阵年鉴。Springer，2019年，第51-64页。[20] Guyon，J.《路径依赖波动率》。https://ssrn.com/abstract=2425048 (2014).[21]Henry Labord\'ere，P.和Touzi，N.一维Brenier定理的显式鞅版本。金融斯托克。20, 3 (2016), 635–668.[22]Hou，Z.，和Ob l\'oj，J。

稳健的定价–连续时间内的对冲双重性。《金融与随机》22，3（2018），511–567。[23]Huesmann，M.，Trevisan，D.，等人。鞅最优输运的benamou–brenier公式。伯努利25，4A（2019），2729–2757。[24]LeCam，L.随机过程分布的收敛性。加利福尼亚大学公共。Statist 2（1957），207–236。[25]Loeper，G.宇宙学中Euler-Poisson系统的重构问题。《理性力学与分析档案》179，2（2006），153–216。[26]Mikami，T.，和Thieullen，M.随机最优控制问题的对偶定理。随机过程及其应用116，12（2006），1815–1835。【27】Pal，S.，Wong，T.-K.L.，等。指数凹函数和一种新的信息几何。《概率年鉴》46，2（2018），1070–1113。【28】Privault，N.《随机金融：市场实例介绍》。查普曼和霍尔/CRC，2013年。[29]Ren，Z.，和Tan，X.关于路径依赖型微分方程单调格式的收敛性。随机过程及其应用127，6（2017），1738–1762。【30】Ren，Z.，Touzi，N.，和Zhang，J.完全非线性粘性解的比较产生抛物线路径依赖型偏微分方程。《暹罗数学分析杂志》49，5（2017），4093–4116。【31】Rockafellar，R.T.，等人。凸函数Fenchel对偶定理的推广。杜克数学杂志33，1（1966），81–89。【32】Sentiles，F.D.完全正则空间上的有界连续函数。美国数学学会学报168（1972），311–336。【33】Tan，X.，等人。路径相关随机控制问题的离散时间概率近似。《应用概率年鉴》24，5（2014），1803–1834。[34]Tan，X.，Touzi，N.，等。受控随机动力学下的最优运输。《概率年鉴》41，5（2013），3201–3240。【35】韦拉瓜斯，J。

B、 ，Beiglb–ock，M.，Huesmann，M.，和K–allblad，S.MartingaleBenamou–Brenier：概率观点。arXiv预印本arXiv:1708.04869（2017）。[36]Villani，C.《最佳运输主题》。第58号。美国数学学会。，2003[37]张，J.，等。BSDEs的一种数值格式。《应用概率年鉴》14，1（2004），459–488。[38]Zhang，J.，和Zhuo，J.完全非线性抛物型路径相关偏微分方程的单调格式。《金融工程杂志》1，01（2014），1450005。