异国情调下的路径依赖最优运输与模型标定

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英文标题：
《Path Dependent Optimal Transport and Model Calibration on Exotic
  Derivatives》
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作者：
Ivan Guo, Gregoire Loeper
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this paper, we introduce and develop the theory of semimartingale optimal transport in a path dependent setting. Instead of the classical constraints on marginal distributions, we consider a general framework of path dependent constraints. Duality results are established, representing the solution in terms of path dependent partial differential equations (PPDEs). Moreover, we provide a dimension reduction result based on the new notion of \"semifiltrations\", which identifies appropriate Markovian state variables based on the constraints and the cost function. Our technique is then applied to the exact calibration of volatility models to the prices of general path dependent derivatives.
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中文摘要：
本文引入并发展了路径相关环境下的半鞅最优运输理论。我们考虑的是路径依赖约束的一般框架，而不是对边际分布的经典约束。建立了对偶结果，用路径相关偏微分方程（PPDE）表示解。此外，我们提供了一个基于“半过滤”新概念的降维结果，该结果基于约束和代价函数识别适当的马尔可夫状态变量。然后，我们的技术被应用于波动率模型对一般路径依赖衍生品价格的精确校准。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Path_Dependent_Optimal_Transport_and_Model_Calibration_on_Exotic_Derivatives.pdf (2.66 MB)

2022-6-11 06:11:47 上传

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关键词：路径依赖 Differential Mathematical Applications Optimization

基于奇异导数的路径依赖最优运输和模型校准Van Guo1,2和Gr’egoire Loeper1,2数学学院，维多利亚州莫纳什大学克莱顿校区，3800，澳大利亚定量金融和投资策略中心*, 本文介绍并发展了路径相关环境下的半鞅最优运输理论。我们考虑的是路径依赖约束的一般框架，而不是对边际分布的经典约束。建立了对偶结果，用路径依赖的部分微分方程（PPDE）表示解。此外，我们基于“半过滤”的新概念提供了降维结果，该概念根据约束条件和成本函数确定了适当的马尔可夫状态变量。然后，我们的技术被应用于波动率模型对一般路径依赖衍生品价格的精确校准。数学学科分类（2010）：60H30、91G80、93E20关键词：最优运输、路径依赖型偏微分方程、波动率校准1简介受Benamou和Brenier[3]关于最优运输的开创性工作的启发，以及在[4]和后来的[25]中发展的二元理论，我们研究了连续时间环境下半鞅的最优运输问题。Tan和Touzi在[34]中研究了在给定时间具有边缘约束的半鞅最优运输问题，扩展了Mikami和Thieullen的工作[26]。其他相关工作包括【23，35】。我们研究的主要目标是通过考虑更广泛的约束来扩展这项工作。如我们的抽象公式所示，所考虑的约束可以由任意闭集和凸集的概率测度来定义。

特别是，这包含了对经典最优运输问题边缘的约束。此外，它可以包括约束，例如分布的边界以及路径相关函数的期望。*致谢法国巴黎银行为量化金融和投资战略中心提供了支持。一、 郭获得了澳大利亚研究委员会（GrantDP170101027）的部分支持。作者还要感谢BenGoldys和匿名仲裁人提出的宝贵意见和建议。[4，25]中发展的对偶技术的结果之一是，它绕过了建立动态规划原则的需要，因为Hamilton-Jacobi-Bellman方程直接来自对偶公式。我们的研究建立了这一最优运输问题与[7、8、11、13、14、30]中发展的路径相关偏微分方程（PPDE）的最新理论之间的自然联系。我们还提供了用于BSDE（参见，例如，[16，37]）和路径相关随机控制问题（参见，例如，[33]）的数值方法中的降维技术的形式化，该方法通过从成本函数和约束中识别相关的状态变量，将PPDE的复杂性降低为更易于处理的PDE。这是通过引入半过滤来实现的，半过滤有助于获得最佳运输问题解决方案以及最佳漂移和扩散特性的可测量性结果。最近，最优运输在数学金融中得到了应用，特别是在稳健对冲领域。例如，它用于获得[21]中exotics衍生品的无模型边界和[9，22]中的稳健对冲策略。如备注3.9所示，连续时间内所谓的稳健定价套期保值二元性也是我们二元结果的必然结果。

也观察到了最优运输和随机投资组合理论之间的联系。在本文中，我们关注模型校准的应用，这是金融建模中的一个关键问题。著名的杜皮尔公式[12]提供了一种独特的方法，可以从所有罢工和到期的普通期权知识中恢复局部波动性模型。然而，它需要某种形式的价格插值，因为只有有限数量的选项可用。此外，无法通过此方法实现对更复杂（路径相关）产品的校准。除了这一分析结果之外，还有一些解决校准问题的理论进展。因此，从业者经常使用参数化模型，他们将其调整为尽可能匹配可观测仪器。本文发展的对偶理论可以精确地校准任意数量的路径依赖导数，而无需进行任何价格插值。[19]探讨了使用最优运输将局部波动率模型校准为欧式期权的想法，这是对[3]数值方法的一种改进。文献[2]在熵最小化的背景下研究了离散期权价格的类似数值算法。在本文中，我们将该方法扩展到路径依赖导数的校准，从而得到路径依赖的波动率函数，这一概念也在[20]中进行了探讨。尽管问题具有复杂的XPath依赖性，但通过降维结果仍然可以实现有效的数值算法，其中最优波动率函数是驱动导数的状态变量中的马尔可夫函数。这在某种程度上类似于这样一个事实，即欧洲期权价格总是可以根据本地波动性模型进行校准。

我们的方法也可用于重新定义随机波动率模型，以精确匹配一组给定的支付，同时接近参考随机波动率模型。因此，这是对所谓的局部随机波动率（LSV）模型校准的概括（见[1，18]及其参考文献）。最近，我们的对偶结果也被用于[17]股票和VIX期权的联合校准，这是研究人员多年来一直回避的一个极其困难的问题。本文的组织结构如下。第2节介绍了本文中使用的基本符号以及问题的抽象表述，包括一些示例。第3节包含主要结果及其证明。定理3.1总结了主要结果。第4节包括我们的结果在波动率校准中的应用，展示了大量欧洲、屏障和回溯选项校准的数值示例。2路径依赖约束下的最优运输2.1预备阶段letOhm := C（[0，1]；Rd）是连续路径集，X是正则过程，F=（Ft）0≤t型≤1b X.为每个t生成的规范过滤∈ [0，1]，让Ohmt： ={ω·∧t： ω∈ Ohm} 是在时间t和let∧停止的路径集：={（t，ω）：t∈ [0, 1], ω ∈ Ohmt} 。接下来，让Ohmt： ={ω∈ Ohm : ωs=0，s∈ [0，t]}和∧t={（u，ω·∧u） ：u∈ [t，1]，ω∈ Ohmt} 在[0，t]上保持在0的路径集。空间Ohm, Ohm坦德Ohm皮重配备标准kωk∞= 支持∈[0,1]|ωt |，而∧和∧空间配备了metricd∞（（t，ω），（t，ω））=| t- t |+kω·∧t型- ω·∧tk公司∞.

注意，我们有关系Ohm = Ohmt+Ohmt、 这也导致了Ohm 以及产品Ohm~=Ohmt×Ohmt、 以及他们的σ-代数，F~=英尺 B类(Ohmt） 。给定一个具有Borelσ-代数的Polish空间X，设C（X）是X上的连续函数集，Cb（X）是有界连续函数集，M（X）是X上有符号有限Borel测度集。在Cb（X）上，让Tkdenote表示X紧集上一致收敛的拓扑。表示为Cb（X）上的最近一个局部凸拓扑，它与Cb（X）的Tkon闭球一致（通过一致范数）。Le Cam【24】引入了拓扑，也被称为“混合拓扑”【15】或“亚tricttopology”【32】。在本文中，我们将使用以下关键结果（参见，例如，[15，32]）。提案2.1。Cb（X）的Ttdual可与Cb（X）识别*= M（X）。备注2.2。拓扑TT的选择将允许在非局部紧设置中应用我们的对偶论证，并避免Cb问题(Ohm)*在通常的一致范数拓扑下，与所有正则、有符号、有限和完全可加的Borel测度集相一致（【10】定理IV.6.2）。设M+（X） M（X）表示正测度的子集。对于任何u∈ M（X），设L（X，u）为u-可积函数集。还可以将Cb（X；Rm）、M（X；Rm）、L（X，u；Rm）等作为各自的向量值版本。在本文中，X的典型选择是Ohm, ∧，RMA及其各种子空间。设P为上的Borel概率测度集(Ohm, F） 。对于每个s∈ [0，1]，让Ps Pbe度量的子集，对于每个P∈ Ps，X∈ Ohm 是[s，1]上的（F，P）-半鞅，由xt=Xs+APt+MPt给出，hXit=hMPit=BPt，P-a.s.，t∈ [s，1]，其中[s，1]和（AP，BP）上的MPis-an（F，P）-鞅是F-适应的，P-a.s.相对于时间是绝对连续的。

特别是，P被称为具有特征（αP，βP），其由αPt=dAPtdt，βPt=dBPtdt定义。注意，（αP，βP）是F适应的，几乎在所有地方都是由dP×dt决定的。通常，（αP，βP）取空间Rd×Sd+中的值。请注意，Sd、Sd+和Sd++分别表示对称矩阵、正半限定矩阵和正限定矩阵的集合。对于任何a、b∈ Sd，让我们定义a：b：=tr（a | b）。用Pt表示 P特征（αP，βP）在区间[t，1]上可积的概率测度集P。换句话说，EPZt |αP |+|βP | dt< +∞,其中|·|表示L-范数。备注2.3。可以将每条路径的βpf定义为X的二次变化，并且它与每个半鞅测度P兼容∈ P、 然而，这种β-Pis的选择具有高度的病理性。由于每个P的特性都是由dP×dt决定的，因此使用具有更多规律性的βP版本通常更为实际。对于每个t∈ [0，1]和任何概率测度ρtonOhmt、 定义Pt（ρt） P是与ρton一致的集合Ohmt、 Pt（ρt）：={P:P∈ P、 Po 十、-1·∧t=ρt}。此外，设Pt（ρt）=Pt（ρt）∩ Ptand Pt（ρt）=Pt（ρt）∩ Pt。路径导数和函数It^o演算的概念最初是在c\'adl\'ag路径的inDupire[11]和Cont及Fournie[8]中引入的。在这里，我们选择了一种侧重于连续路径空间的定义，因为它更适合于半鞅最优运输的研究。具体而言，我们使用了【7、13、14】中定义的微小变化。定义2.4（路径导数和函数It^o公式）。

对于每个t∈ [0，1]，我们说φ∈ C1,2t（λ）ifφ∈ Cb（λ），存在函数（Dtφ，xφ，xφ）∈ Cb（λ；R×Rd×Sd），使得对于任何P∈ P和u∈ [t，1]，下面的函数It^o公式成立：φ（u，X）- φ（t，X）=ZutDtφdt+xφ·dXt+xφ：dhXit，P-a.s.函数Dtφ，xφ，xφ分别称为φ的时间导数、一阶空间导数和二阶空间导数。备注2.5。定义2.4中C1,2（λ）的定义比[13，14]中的相应版本在以下方面更具限制性。我们要求集合P包含所有具有可积特征（αP，βP）的测度，而不是有界特征。此外，我们还要求函数及其导数有界。路径导数dtφ，xφ，无论何时存在，xφ都是唯一的。更多关于路径衍生工具不同定义的讨论，以及与[11，8]原始定义的比较，请参考[7，13，14]。2.2问题公式现在让我们定义路径相关约束下的半鞅最优运输问题。用H表示：∧×Rd×Sd→ R∪ {+∞} 成本函数。定义H*: ∧×Rd×Sd→R∪{+∞} 所以H*（t，ω，·）是H（t，ω，·）的凸共轭。当没有歧义时，我们将简单地写H（α，β）：=H（t，ω，α，β）和H*（p，q）：=H*（t，ω，p，q）。我们对H.假设2.6施加以下全局假设。

（i） 对于每个（t，ω）∈ ∧，H（t，ω，·，·，·）是下半连续的性质凸函数，minα，βH一致有界。（ii）如果β∈ Sd\\Sd+然后H（·，·，·，·，β）=+∞.（iii）成本函数H是强制性的，因为存在常数p>1和C>0，因此|α| p+|β| p≤ C（1+H（t，ω，α，β）），（t，ω）∈ Λ.为了描述约束的特征，让N M级(Ohm) 是度量的凸集。假设N在弱拓扑下是闭合的，即在u下的最粗拓扑→ROhmψdu对于所有ψ都是连续的∈ Cb公司(Ohm). 在我们的问题中，我们希望将概率度量限制为集合N.definition 2.7。给定t、ρt、H和N，我们将路径相关约束下的半鞅最优运输问题定义为以下最小化问题infp∈Pt（ρt）EPZtH（αPs，βPs）ds，受P∈ N、 如果Pt（ρt），则该问题是可容许的∩ N 6= 上述内容是有限的。要处理约束，请考虑凸函数F:Cb(Ohm) → R∪ {+∞} 定义BYF（ψ）：=supu∈新西兰Ohmψdu。由于N是闭合的，F的凸共轭具有以下表示：对于任何u∈M级(Ohm),F*（u）=supψ∈Cb公司(Ohm)ZOhmψdu- F（ψ）=（0，u）∈ N+∞, u /∈ N、 （1）在许多情况下，在定义F时可能进一步限制ψ的选择*对某凸子集N* Cb公司(Ohm). 每当（1）中的上确界总是由N的元素实现时，就会发生这种情况*, soF公司*（u）=supψ∈N*ZOhmψdu- F（ψ）=（0，u）∈ N+∞, u /∈ N、 （2）例如，如果N是M的子空间(Ohm) 定义单位：N={u：ROhmψdu=0}，其中ψ∈ Cb公司(Ohm) 是固定函数，那么我们可以选择N*= {λψ: λ ∈ R} 。更多的例子可以在下一小节中找到。一般来说，N的适当选择*不能总是容易识别。但是，如果可能，Cb的减少(Ohm) 至N*可以大大简化问题。F的公式*在（2）中指出，事实上，它是实现N以外度量的合适函数。

因此，该问题可以重新表述为以下鞍点问题：infP∈Pt（ρt）EPZtH（αPs，βPs）ds，受P∈ N=infP∈Pt（ρt）F*（P） +EPZtH（αPs，βPs）ds=infP∈Pt（ρt）supψ∈N*EPψ- F（ψ）+EPZtH（αPs，βPs）ds。（3） 2.3示例在我们的公式中，对度量的约束是非常普遍的，并允许存在广泛的问题，包括文献中的许多连续时间最优运输问题的现有公式。这里有一些例子。示例2.8（确定性最佳传输）。如果成本函数满足（α，β）=（|α|，β=0+∞, β6=0，则我们恢复了Benamou Brenier的经典确定性最优运输问题[3]。示例2.9（半鞅最优运输）。考虑t上的问题∈ [0，1]初始测量ρ。设ρ为Rd上的概率度量，并考虑时间1约束Tpo 十、-1= ρ. 然后通过设置n={u∈ M级(Ohm) : u o 十、-1=(R)ρ}，N*= {ψ ∈ Cb公司(Ohm) : ψ = λ o 十、 λ∈ Cb（Rd）}，我们恢复了文献[34]中研究的半鞅最优运输问题。特别是Rf（ψ）=ZRdλd′ρ，λ∈ Cb（Rd），ψ=λo X+∞, 否则，鞍点问题由INFP给出∈P（ρ）supλ∈Cb（Rd）EP（λ（X））-ZRdλd′ρ+EPZH（αPs，βPs）ds。此外，如果成本函数由H（t，ω）给出·∧t、 α，β）=H（t，Xt，α），如果β=Id×d，和+∞ 否则，我们恢复了[26]中的随机最优控制问题。或者，如果成本函数的形式为H（t，ω·∧t、 α，β）=H（t，Xt，β），如果α=0，和+∞ 否则，我们从[23]中恢复鞅最优运输问题。最后，如果d=1且h（·，β）=(√β-c） 对于某些常数c>0，如果α=0，并且+∞ 否则，我们的公式相当于[35]中的一维情况。示例2.10。进一步推广前面的示例，让G∈ C类(Ohm; Rm）为任意连续函数且|ρ∈ M（Rm）是目标分布。我们想施加约束Po G-1= ρ.