异国情调下的路径依赖最优运输与模型标定

在这种情况下，约束的特征是n={u∈ M级(Ohm) : u o G-1=(R)ρ}，N*= {ψ ∈ Cb公司(Ohm) : ψ = λ o G、 λ∈ Cb（Rm）}，andF（ψ）=ZRmλd′ρ，λ∈ Cb（Rm），ψ=λo G、+∞, 否则鞍点问题由INFP给出∈P（ρ）supλ∈Cb（Rm）EP（λo G）-ZRdλd′ρ+EPZH（αPs，βPs）ds。示例2.11。修复G∈ Cb公司(Ohm; Rm）并考虑约束EPG=c。这对应于{u∈ M级(Ohm) :ZOhmgdu=c}，N*= {ψ ∈ Cb公司(Ohm) : ψ=λ·G，λ∈ Rm}。在这种情况下，F（ψ）=（λ·c，ψ=λ·G，λ∈ Rm+∞, 否则然后鞍点问题由INFP给出∈Pt（ρt）supλ∈Rmλ·（EPG- c） +EPZtH（αPs，βPs）ds。示例2.12。让G：Ohm → Rm+是一个在每个组件中都是下半连续的函数。考虑约束EPG≤ c代表一些c∈ Rm+，其中不等式按元素取值。这对应于N={u∈ M级+(Ohm) :ROhmG du≤ c} 。我们可以检查这个集在弱拓扑下实际上是封闭的。在这种情况下，f（ψ）=supu∈新西兰Ohmψdu=inf{λ·c：λ∈ Rm+，ψ≤ λ·G}。使用Cb的密度(Ohm) 在L中(Ohm, P） ，鞍点问题由INFP给出∈Pt（ρt）supψ∈Cb公司(Ohm)λ∈Rm+，ψ≤λ·GEPψ- λ·c+EPZtH（αPs，βPs）ds=infP∈Pt（ρt）supλ∈Rm+λ·（EPG- c） +EPZtH（αPs，βPs）ds。通过适当的转换，条件G：Ohm → Rm+可以放松，以便从下方限制G。3主要结果3.1主要结果总结定理3.1。让N M级(Ohm) 是相对于弱拓扑闭合的凸集。定义F：Cb(Ohm) → R∪ {+∞} 和F*: M级(Ohm) → R∪ {+∞} byF（ψ）：=supu∈新西兰Ohmψdu，F*（u）：=supψ∈Cb公司(Ohm)ZOhmψdu- F（ψ）=（0，u）∈ N+∞, u /∈ N、 （4）设H：∧×Rd×Sd→ R∪{+∞} 为满足假设2.6的函数，设H*（t，ω，·）表示H（t，ω，·）的凸共轭。给定t∈ [0，1]和概率测度ρtonOhmt、 回想一下，具有路径依赖约束的半鞅最优运输问题指的是以下最小化问题，V：=infP∈Pt（ρt）F*（P） +EPZtH（αPs，βPs）ds。

（5） （i）对偶性：如果问题是可容许的，则得到（5）中的极限，它等于V=V：=supψ∈Cb公司(Ohm)-F（ψ）- Jψ，H（t，ρt），（6）Let{ui} N是收敛到u的度量序列。设{Gj} Cb公司(Ohm; Rm+）是一个渐增的函数序列，收敛于G。然后通过Fatou引理，RωG du≤ supjRωGjdu=supjlimiRωGjdui≤ lim supiRωG dui≤ c、 其中J由Jψ给出，H（t，ρt）：=supP∈Pt（ρt）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds=infφ∈C1,2t（λ）ZOhmtφ（t，·）dρt，（7）受制于φ（1，·）≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0、设Δω·∧在ω处具有奇异质量的狄拉克测度·∧t、 然后函数Jψ，halsosatiesjψ，H（t，ρt）=ZOhmtJψ，H（t，Δω·∧t） dρt.（8）此外，如果设置Cb(Ohm) 可替换为凸集N* Cb公司(Ohm) 在（4）中，则可以在（6）中进行相同的更换。（ii）最优解：假设▄P是最优运输问题的最优概率测度，并且在[t，1]上具有特征（▄α，▄β）。Let（ψn，φn）n∈Z+是（6）和（7）的优化顺序。然后我们有以下概率收敛Ohm ×【t，1】：Dtφn+H*xφn，xφndP×dt→ 0，φn+ψndP→ 此外，假设H是强凸的，即存在一个常数C>0，使得对于所有t，ω，α，β，α，β和任何子导数H、 如果H（α，β）是有限的，则H（α，β）≥ H（α，β）+HH（α，β），（α- α, β- β） i+C（kα- αk+kβ- βk），其中k·k是Rd和Sd上的Lnorm。然后，以下内容将继续Ohm ×[t，1]，H*xφn，xφndP×dt→ (~α,~β).（iii）PPDE特征描述：假设假设满足假设2.6和3.14。则jψ，hh表示jψ，H（t，ρt）=支持∈Pt（ρt）-EPψ- EPZtH（αPs，βPs）ds=ZOhmtφψ，H（t，·）dρt.（9），其中φψ，His是以下路径相关PDE的粘度解：φ（1，·）=-ψ和Dtφ+H*xφ，xφ= 此外，如果假设3.16也满足，那么φψ，His是PPDE（10）的唯一粘度解。（iv）尺寸缩减：固定t∈ [0，1]和ψ∈ Cb公司(Ohm).

假设假设满足假设2.6和3.14。设G={Gt，t∈ [0，1]}是一种半过滤（见定义3.19），使（ψ，H）适应于G。然后映射J（t，·）：Ohm → 定义为J（t，x）：=Jψ，H（t，δ（ω·∧t=x·∧t） ）是可测量的。此外，如果φ∈ C1,2（λ）是PPDE（10）的经典解，H是严格对流的（α，β），然后（αt，βt）=H*(xφ（t，·），xφ（t，·））也是可测量的。备注3.2。通过降维，我们的意思如下。一般来说，最优的αP，βPare路径依赖，F-适应过程。对于实际应用，这不是很有帮助，因为路径相关函数通常很难计算。然而，在许多问题中，我们可以证明，解决方案实际上只取决于几个状态变量，这些状态变量通常可以从约束和成本函数中识别出来。本质上，时间t时这些状态变量生成的GTI。例如，考虑示例2.9（也可在[34]中找到），其中约束条件是X的初始密度和X的最终密度，而时间t时的成本函数不依赖于路径，只依赖于Xt。在这种情况下，最佳αP，βPat时间t仅取决于（t，Xt）。因此，有必要求解有限维经典偏微分方程，而不是有限维PPDE。考虑另一个例子，如果约束条件是对某些固定t<t的期望f（Xt，Xt）（对于金融应用，这将对应于所谓的cliquetor棘轮选项），那么最佳αP，βP只取决于t的（t，Xt≤ t<t时的tand（Xt，t，Xt）≤ t、 备注3.3。定理3.1是许多现有连续时间最优运输结果的推广（见第2.3小节中的示例）。

在这里，我们将进一步强调我们的技术与其他作品之间的一些技术差异。我们的方法和[23]之间有一些相似之处，因为这两部作品都使用了Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5。在[23]中，这个问题是在马尔可夫集中提出的，并且仅限于鞅。对偶定理首先应用于紧域，然后通过验证参数扩展到无界域。另一方面，我们的公式是在具有更一般约束的非马尔可夫半鞅环境中。由于缺乏局部紧性，在底层拓扑空间的构造和对偶结果的应用中带来了额外的技术挑战。与[23]不同，我们不能将半鞅条件编码为福克-普朗克方程的形式。相反，通过引理3.4形式的泛函It^o公式来确定半鞅测度。我们的工作还将[34]的结果推广到非马尔可夫约束。[34]的方法包括证明目标函数的凸性和下半连续性，并将Fenchel-Moreau定理应用于测度函数对偶对。结果PDE表示是通过经典的可测选择和动态编程参数推导出来的。我们的方法在functionmeasure对偶对上使用Fenchel-Rockafellar对偶定理，并绕过动态规划直接得到路径依赖的对偶问题。事实上，我们的对偶结果也将隐含动态规划原则，而无需调用可测量的选择参数。为了简化我们的符号，主要对偶结果的证明将集中在t=0的情况。换句话说，这对应于从时间0开始的具有初始分布ρ的最优运输问题。

一般情况下，可以使用类似的参数来处理。3.2适当测量的特征函数F*用于惩罚N之外的措施，N是问题的约束条件。在这一小节中，我们的目标是找到一个合适的函数来惩罚P（ρ）之外的测度，P（ρ）是半鞅测度集。我们论证的一个关键步骤是在M中扩展度量(Ohm) 在停止路径M（λ）上测量，然后利用该空间上的Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5（参见，例如，[31]）。以下引理提供了识别度量inP（ρ）的条件，以及合适的对应度量M（λ）。引理3.4。设ρ为Ohm. 假设u∈ M级+(Ohm) 并诱导测量^u∈ M+（λ）通过^u（E）=ZOhmZ1（（t，ω·∧t）∈ E） dtdu，E Λ.Letν∈ M+（λ）和（α，β）∈ L（λ，ν；Rd×Sd）。均衡器ZOhmφ（1，·）du-ZOhmφ（0，·）dρ=Z∧Dtφ+α·xφ+β：xφdν保持所有φ∈ C1,2（λ）当且仅当^u=ν和u∈ P（ρ）具有特征（α，β）。证据见附录。3.3对偶在本小节中，我们将证明定理3.1（i），这是本文的主要对偶结果。事实上，我们将证明定理3.6中的一个稍强的陈述，该陈述允许F是任意凸函数，而不是使用集合N定义的函数。回想一下，在时间t=0时，鞍点问题由infp给出∈P（ρ）supψ∈N*EPψ- F（ψ）+EPZH（s，X·∧s、 αPs，βPs）ds。关键步骤是对条件P进行编码∈ P（ρ）使用引理3.4，并重新表述关于度量u和ν的问题，infP∈P（ρ）supψ∈N*= infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*.然后，通过FenchelRockafellar对偶定理3.5建立对偶性（交换内界和上界）。我们将陈述[31]中定理的版本。该定理的变体也可以在[5]的开头或[36]的定理1.9中找到。定理3.5（Fenchel Rockafellar）。

设E是R上具有对偶E的局部凸Hausdorff拓扑向量空间*. 让f:E→ R∪ {+∞} 是真凸函数，g:E→R∪ {-∞} 是一个适当的凹函数，f*, g级*是它们各自的共轭物。如果f或g在两个函数都不确定的某个点连续，则infx∈Ef（x）- g（x）=最大∈E*g级*（y）-f*（y） 。粗略地说，当前上下文中使用的对偶对的形式为（u，ν，(R)ν，ν）和（φ+ψ，Dtφ，xφ，xφ），其中d′ν=αdν，dν=βdν。双重配方将使用路径依赖型偏微分方程（PPDE）进行表征。定理3.6。让F：Cb(Ohm) → R是凸函数，N* Cb公司(Ohm) 是一个凸集，如infψ∈N*F（ψ）<+∞. 定义函数F*: M级(Ohm) → R byF*（u）：=supψ∈N*ZOhmψdu- F（ψ）。设H：∧×U→ R∪ {+∞} 满足假设2.6和H*（t，ω，·）是H（t，ω，·）的凸共轭。定义：=infP∈P（ρ）F*（P） +EPZH（αPt，βPt）dt，（11）V：=supψ∈N*,φ∈C1,2（λ）-F（ψ）-ZOhmφ（0，·）dρ，（12）受制于φ（1，·）≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0。（13）则V=V。此外，如果V是有限的，则达到（11）中的最大值。证据为了方便起见，我们用φtin代替φ（t，·）。回想一下，^P∈ M（λ）由P通过d^P=dt×dP诱导。在假设2.6下，只需考虑概率度量集P∈ P（ρ）in（11）。方向V≥ V可以很容易地显示如下。应用Fubini定理，在此设置中，除非N*= Cb公司(Ohm), F*不一定是F的凸共轭。

相反，F*将是F 1（·）的凸共轭∈ N*).引理3.4，我们有v=infP∈P（ρ）F*（P） +Z∧H（αP，βP）d^P=infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ+ZOhm（ψ+φ）du-Z∧（Dtφ+α·xφ+β：xφ）dν+Z∧H（α，β）dν≥ supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）-F（ψ）-ZOhmφdρ+ZOhm（ψ+φ）du-Z∧（Dtφ+α·xφ+β：xφ）dν+Z∧H（α，β）dν≥ supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ+infu∈M级+(Ohm)ZOhm（ψ+φ）du- supν∈M+（λ）Z∧sup（α，β）∈Rd×SdDtφ+α·xφ+β：xφ- H（α，β）dν=supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ+infu∈M级+(Ohm)ZOhm（ψ+φ）du- supν∈M+（λ）Z∧Dtφ+H*xφ，xφdν=supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ，s.t。

φ≥ -ψ、 Dtφ+H*(xφ，xφ）≤ 0.=V现在让我们关注相反的方向，V≤ 五、 这是非常困难的。主要的技术问题是，为了使用Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5，我们要求特定凸函数的有效域具有非空内部。这是通过引入两个额外的松弛项来实现的, H和φ+ψ中。这类似于[36]第1.3节中证明1.22中Kantorovich对偶的技巧。根据F和N上的条件*, 存在一些ψ∈ N*使得F（ψ）<+∞.在剩下的证明中，让我们 > 0是一个固定常数，因此 >最大（|ψ）|∞, |H*（0，0）|）=最大值（|ψ）|∞, |最小H |）。然后我们有V+2 = infP公司∈P（ρ）F*（P） +ZOhm dP+Z∧（H（αP，βP）+) d^P=infP∈P（ρ）supψ∈N*-F（ψ）+ZOhm(ψ + ) dP+Z∧（H（αP，βP）+) d^P.应用Fubini定理和引理3.4，我们得到v+2 = infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）+ZOhm(ψ + φ+ ) du-ZOhmφdρ-Z∧（Dtφ+α·xφ+β：xφ- H（α，β）- ) dν=infu∈M级+(Ohm),ν∈M+（λ）（α，β）∈L（λ，ν；Rd×Sd）supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*φ∈Cb公司(Ohm),φ=-(φ+ψ)-F（ψ）+ZOhm( - ^1）du-ZOhmφdρ-Z∧（Dtφ+α·xφ+β：xφ- H（α，β）- ) dν。在证明的下一部分中，介绍度量（(R)ν，￠ν）∈ M（λ；Rd×Sd）通过d？ν=αdν和d？ν=βdν，因此我们可以写ev+2 = inf（ξ，ρ，u，ν，ν，Д，ν）∈Asup（ψ，’Д，Д，p，q，r）∈B-F（ψ）+Z∧Hd？νdν，d？νdν+ dν+ZOhm du- h（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν），（ψ，’ν，ν，p，q，r）i，式中：={（ξ，ρ，u，ν，ν，’ν，ν）∈ M级(Ohm) ×M(Ohm) ×M(Ohm) ×M（∧；R×Rd×Sd）：ξ=0，ρ=ρ，u≥ 0, ν ≥ 0, (ν, ~ν)  ν} ，B：={（ψ，’Д，Д，p，q，r）∈ Cb公司(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb（∧；R×Rd×Sd）：ψ∈ N*, φ ∈ C1,2（λ）s.t。

φ = φ, φ = -（φ+ψ），（p，q，r）=（Dt，x，x） φ}，内积由h（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν），（ψ，’ν，ν，p，q，r）i定义：=ZOhm（ψdξ+Дdu）+ZOhmνdρ+Z∧（p dν+q·dν+r：dν）。请注意，A和B都是凸集。接下来，定义凸函数a:Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb（λ；R×Rd×Sd）→ R∪{+∞} 它的凸共轭*: M级(Ohm)×M(Ohm)×M(Ohm)×M（λ；R×Rd×Sd）→ R∪{+∞}根据引理A.1。它们由以下表达式给出：a（ψ，(R)Д，Д，p，q，r）：=ZOhm^1dρ，如果Д≤  和p+H*（q，r）≤ ,+∞, 否则*(ξ, ρ, u, ν, ν, ~ν) :=ZOhm du+Z∧Hd？νdν，d？νdν+ dν，if（ξ，ρ，u，ν，ν，ν，ν）∈ A、+∞, 否则进一步定义凹函数b:Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb（λ；R×Rd×Sd）→R∪ {-∞} 及其凹共轭b*: M级(Ohm) ×M(Ohm) ×M(Ohm) ×M（λ；R×Rd×Sd）→R∪ {-∞} 按以下方式b（ψ，’Д，Д，p，q，r）：=(-F（ψ），if（ψ，’Д，Д，p，q，r）∈ B-∞, 否则b*（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν）：=inf（ψ，’ν，ν，p，q，r）∈Bh（ξ，ρ，u，ν，’ν，Д），（ψ，’ν，ν，p，q，r）i+F（ψ）。注意，我们不需要计算b*明确地因此，V可以写成V+2 = inf（ξ，ρ，u，ν，’ν，Дν）sup（ψ，’Д，Д，p，q，r）a*（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν）+b（ψ，’ν，ν，p，q，r）- h（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν），（ψ，’ν，ν，p，q，r）i，=inf（ξ，ρ，u，ν，ν，’ν，’ν，’ν）a*(ξ, ρ, u, ν, ν, ~ν) - b*(ξ, ρ, u, ν, ν, ~ν).为了应用Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5，我们需要cont（a）∩dom（b）6=.回想一下，F（ψ）<+∞, -ψ<  和H*(0, 0) < . 所需条件在（ψ，(R)Д，Д，p，q，r）=（ψ，0，-ψ, 0, 0, 0). 对偶定理意味着V+2 = sup（ψ，’Д，Д，p，q，r）b（ψ，’Д，Д，p，q，r）- a（ψ，’Д，Д，p，q，r）=sup（ψ，’Д，Д，p，q，r）∈B-F（ψ）-ZOhm^1dρ，s.t.Д≤ , p+H*（q，r）≤ ,= supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ，s.t.φ+ψ≥ -, Dtφ+H*(xφ，xφ）≤ ,将φ平移2 yieldsV=supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ，s.t.φ+ψ≥  和Dtφ+H*(xφ，xφ）≤ .

（14） 为了消除 在（14）中，我们将使用这样一个事实，即可以任意修改路径相关函数的时间导数，而不改变空间导数（见Remark3.8）。对于每个φ∈ C1,2（λ）满足（14），我们可以构造φ∈ C1,2（λ）通过φ（t，·）=φ（t，·）-Zt公司Dtφ（s，·）+H*(xφ（s，·），xφ（s，·））+ds。很容易检查φ=φ，φ≥ φ- , (x，x） φ=(x，x） φ，Dtφ=Dtφ-Dtφ+H*(xφ，xφ）+≤ -H*(xφ，xφ）。因此≤ supφ∈C1,2（λ），ψ∈N*-F（ψ）-ZOhmφdρ，s.t.φ+ψ≥ 0和Dtφ+H*(xφ，xφ）≤ 0=V。因此，我们可以得出V=V的结论。如果V<+∞ 是Fenchel-Rockafellar对偶定理3.5的直接结果。这就完成了定理3.6的证明。推论3.7。下面给出了时间t>0的类似结果。infP公司∈Pt（ρt）F*（P） +EPZtH（s，X·∧s、 vPs）ds=supψ∈N*,φ∈C1,2t（λ）-F（ψ）-ZOhmtφ（t，·）dρt，受制于φ（1，·）≥ -ψ和Dtφ+H*xφ，xφ≤ 0.（15）备注3.8。通过将r·f dt加到C1,2（λ）中的任何函数，可以用任意函数f改变时间导数，而不改变空间导数。这是路径依赖导数的一个有用但独特的性质，与传统的可微分函数相比，这有点违反直觉。通过应用这一思想并适当增加Dtφ，我们可以用一个等式替换PPDE中的不等式。然而，终端状态下的不良状态仍然存在。备注3.9。由于F中的附加灵活性，定理3.6提供了比定理3.1（i）更一般的设置。除了第2.3小节中的示例之外，这还允许更广泛的应用，例如，在原始问题中包含终端目标函数。一个值得注意的例子是在连续时间设置中对路径相关期权进行稳健对冲的应用（参见，例如，[9，22]）。