异国情调下的路径依赖最优运输与模型标定

这就减少了检查Γuis＠Gt∨F[t，u]-可测量的t<u，根据映射的连续性（Γt，ω[t，u]）→ Γu.4波动率校准本文的结果可以应用于将波动率模型校准为复杂路径依赖衍生品的问题。在不丧失一般性的情况下，我们假设利率为0。假设已知一些衍生产品价格，目标是找到达到这些价格的基础资产的阿马丁格尔差异。据作者所知，精确校准技术仅适用于香草产品（Europeanoptions）。所提供结果的路径依赖性允许我们包括路径依赖性产品，如亚洲选项、障碍选项和回溯选项。让正则过程X是基础股票价格的对数。请注意，选择对数变换纯粹是为了便于记法和数值计算，并不完全必要。我们有兴趣找到概率测度P∈ P具有特征(-σ、 σ）其中σ是一些F适应过程。换句话说，我们希望X是一个（F，P）半鞅，形式为fDxt=-σdt+σdWPt。下一个let G：Ohm → rm表示m（路径相关）贴现期权支付函数的向量。我们进一步限制P，以便期权具有已知价格EPG=c（对于某些c）∈ Rm。这个问题是第2节中介绍的一般问题的一个特例，特别是在示例2.11中。特别是，我们要解决∈Pt（δX）EPZH（αPs，βPs）ds，服从于EPG=c，其中H是任何合适的凸成本函数，其有效域在集合内{-2α =β}.

在本节的示例中，我们考虑以下形式的成本函数：h（α，β）=（a（β/’σ）p+b（β/’σ）-q+c，-2α = β,∞, -2α6=β，其中σ是一些参考挥发性水平，p、q是大于1的常数，a、b、c是选择的常数，以便函数在β=(R)σ且min H=0时达到其最小值。基本思想是保持β为正，并惩罚与∑的任何大偏差。如例2.11所述，相应的鞍点问题为v=infP∈Pt（δX）supλ∈Rmλ·（EPG- c） +EPZH（αPs，βPs）ds。应用定理3.1并假设Payoff函数具有充分的正则性，问题的对偶公式为V=V=supλ∈Rm-λ·c- φ（0，X），（32），其中φ是PPDEφ（1，·）=-λ·G和Dtφ+H*xφ，xφ= 0。（33）在数值上，困难的部分是求解PPDE（33）以确定φ（0，X）。关键思想是使用定理3.1（iv）有效地将φ的维数降低到可管理的大小。对于许多例子，解φ不是依赖于X的整个路径，而是关于一些状态变量的马尔可夫解。一般抽象结果见定义3.21。但对于大多数实际情况，通过检查识别相关状态变量很简单，它们是标准期权定价技术中常见的变量。以下是一些相关状态变量的示例：o欧洲期权：现货价格Xt；o亚洲期权：现货价格XT和运行平均价格TRTXTDT；o连续障碍选项：现货价格XT和指标变量1（Xs>B，s∈[0，t]），用于较低的屏障或1（Xs<B，s∈ [0，t]），用于上部屏障；o回望选项：现货价格XT和运行最小分钟数∈[0，t]x或运行最大值∈[0，t]Xs。在每种情况下，时间t的相关半过滤是由时间t的每组状态变量生成的σ-代数。

然后，PPDE简化为一个PDE，该PDE取决于现货价格以及一个额外的路径因变量，可以通过常规方法求解。第3.6节和第3.5节的结果要求成本函数H具有一个紧凑的有效域，这可以通过在β的极值处截断H并将H设置为这些值之外的整数来实现。λ上（32）的上确界∈ 由标准优化例程计算的Rmis。通过以下方式数值计算物体相对于λ的梯度，可以进一步辅助该过程。从（33）中，φ也是通过终端条件的函数aλ。写入φ=λφ，将PPDE与λ进行微分，我们得到dtφ+αxφ+βxφ=0。（34）式中（α，β）=H*xφ，xφ. 因此，目标函数的梯度如下所示：λ(-λ·c- φ（0，X））=-c- φ（0，X），其中φ满足φ（1，·）=-G和（34）。一旦找到最佳λ和φ，最佳波动率由σ=β=-2α，其中（α，β）=H*xφ，xφ.备注4.1。（i） 目标函数相对于λ的梯度具有自然的财务解释。因为φ（0，X）=EP(-G） 其中P具有特征（α，β），梯度实际上是EPG- c、 或者当前优化迭代给出的期权价格与目标期权价格之间的差异。当差值为零时，即达到最佳值，换句话说，即完全达到目标期权价格。（ii）回想一下，在我们最初的公式中，G必须是有界且一致连续的函数。实际上，许多期权没有有界的支付（如看涨期权）。这可以通过将其转换为具有有界支付的套利参数的期权（例如，通过看跌期权平价的看跌期权）来解决，也可以通过截断某个极大值的域来解决。

没有连续支付的期权（例如，数字期权、障碍期权）可以用一致连续函数近似。（iii）通过增加典型过程的维数以包括方差过程等其他特征，同样的技术可以用于校准局部随机波动率（LSV）模型。有关更多详细信息，请参见[18]。（iv）基于本文的结果，已开发出类似的方法来校准LSV模型[18]，以及股票和VIX期权的联合校准[17]。（v） 我们的结果仅限于不可赎回产品，因此排除了百慕大和美国选项的校准。可调用产品涉及将停止时间合并到对偶空间中，这需要超出当前工作范围的其他技术。这一问题目前正在研究中，将在即将发表的论文中予以解决。在以下小节中，我们将展示几个涉及将波动率函数校准为欧式、屏障和回望期权的数值示例。由于每个Payoff函数都满足假设3.16（另见引理3.6），相应的PPDE（33）有一个唯一的粘度解。关于PPDE粘度解的数值格式的收敛性，我们参考了[29，38]。4.1欧洲期权欧洲期权具有G（XT）形式的支付功能，其中每个期权取决于固定到期日T的基础价值。在这种情况下，函数φ和最优波动率σ仅取决于状态变量t和Xt。换句话说，我们恢复了一个局部波动率模型。这与Dupire公式等经典方法一致[12]。在某种意义上，局部波动率模型是可以校准到化感物质产品的“最简单”模型。

与杜皮尔公式不同，我们的方法不需要在离散的行权和到期之间插入期权价格。PDE中的函数导数简化为通常的偏导数，tφ+H*xφ，xφ= 0。（35）图1显示了在所有罢工和四种不同到期日下根据欧洲期权校准的波动率示例。图1：在所有交易点和四种不同交易点的欧洲看跌期权校准的波动率面4.2障碍期权正式而言，障碍是封闭的子集B [0，1]×R，其补码是包含（0，X）的连通区域。在时间T到期的屏障产品的支付是XT的函数，指标变量1T：=1（Xs∈ B、 对于一些s∈ [0，t]），检查基础的路径是否已达到障碍。当校准具有单个固定屏障的屏障产品集合时，所需的状态变量为t、XT和1t。然后函数φ可以有效地分解为两个函数，φ（t，x）和φ（t，x），分别对应于1t=0和1t=1的情况。然后，PDE由以下公式给出tφ+H*xφ，xφ= 0，（t，x）∈ [0，1]×R，tφ+H*xφ，xφ= 0，（t，x）/∈ B、 φ=φ，（t，x）∈ B、 类似地，最优波动率将在两个局部波动率σ（t，x）和σ（t，x）之间切换，条件是标的资产是否达到B。φ的偏微分方程将用于计算股票触及障碍之前的波动率函数，而φ的偏微分方程将用于计算触及障碍之后的波动率函数。如果我们校准到具有l个不同障碍的选项，则适用类似的方法，但具有l个指标变量。在这种情况下，φ和σ将被分成2L个函数，以已达到的障碍子集为条件。

在许多情况下，2L的数量可以减少图2：在所有行权和四种不同的到期日下，波动率校准为所有向下、向内、向下和向外看跌期权。上半部分显示σ（撞到障碍物之前），下半部分显示σ（撞到障碍物之后）。通过消除障碍事件的组合，无法达到。例如，如果barriers是嵌套的，则只需要l+1函数。例如，让我们考虑关于连续下势垒{x的势垒积≤ b} 其中b<Xis是一个常数。特别是，我们将校准所有履约和四种不同到期日的所有下跌和下跌和下跌期权。图2的上半部分显示了校准的波动率函数σ（击中障碍之前），下半部分显示了σ（击中障碍之后）。尽管σ仅为x定义≥ b、 为了可视化，我们将σ=σ设为x<b.4.3回溯选项。在时间T到期的回溯产品的收益取决于x以及最大值∈[0，T]x或分钟∈[0，T]Xs。在这里，我们将重点关注涉及最小YT：=分钟的案例∈[0，T]Xs。图3：波动率函数σ（t，x，y）校准为欧洲看跌期权、所有较低的障碍下跌和出局看跌期权以及所有看跌期权和四种不同到期日的固定看跌期权。图的上半部分显示了不同t值下的横截面，而下半部分显示了不同y值下的横截面。例如，带K的固定走向回溯的收益由（K）给出- YT）+。在这种情况下，φ和σ的状态变量将是t、xt和Yt。请注意，欧洲选项和具有较低屏障的屏障选项也是回溯产品的特例。PDEis由tφ+H*xφ，xφ= 0，x≥ y、 （36）yφ=0，x=y.（37）可通过以下方式获得边界条件（37）。

首先，通过使用动态规划原理的标准参数，以及Y具有有限变化的事实，我们推导出以下方程式tφdt+H*xφ，xφdt+yφdYt=0。然后，通过使用[28]命题8.5中的论点。，所需的边界条件（37）源自dt和Dytar相互奇异的事实。在图3中，我们显示了校准至欧洲看跌期权、所有较低的看跌期权和四种不同到期日的固定看跌期权的最终波动率函数σ（t、x、y）。图的上半部分显示了不同值的横截面，而下半部分显示了不同值y的横截面。尽管σ仅为x定义≥ y、 为了可视化，我们将σ（t，x，y）=σ（t，x，x）设为x<y。为了进一步证明降维的效果，我们重复相同的计算，但删除了一些选项。在第一个测试中，我们只校准到欧洲选项，而在第二个测试中，我们校准到欧洲选项和两个不同载体b<b<X的障碍选项。结果如图4所示。当仅使用欧式期权时，σ仅取决于（t，x），而不取决于y。在添加一些障碍期权的情况下，σ对y的依赖可分为三个区域，y>b，b≥ y>波段b≥ y、 对应于基础设施遇到的障碍数量。这种行为与我们的降维结果一致。附录A。引理3.4的证明引理3.4的证明。“if”方向紧随函数It^o公式，因此我们将只关注“only if”方向。首先注意，我们可以用任意φ（0，·）来翻译φ∈ Cb公司(Ohm) 不改变右侧。这个yieldsZOhmφ（0，·）d（uo 十、-1.- ρ） =0对于所有φ（0，·）∈ Cb公司(Ohm). 因此u是u的概率度量o 十、-1= ρ.让f∈ Cb（λ）是任意函数。考虑φ（t，X）=Rtf（s，X）ds。

那么我们有xφ=xφ=0，Dtφ=f。应用Fubini定理，我们得到r∧f（dν- d^u）=0，因为fis是∧上的任意连续函数，这意味着ν=^u，我们可以重写我们的条件asEu（φ（1，X）- φ（0，X））=EuZDtφ+αt·xφ+βt：xφdt。（38）图4：上半部分显示了仅根据欧洲期权校准的波动率函数σ（t，x，y）。下半部分在两个不同的载体上校准为欧洲选项和障碍选项。修复u∈ [0，1]并允许∈ Cb（[0，1]）是一系列递增函数，对于t，In（t）=0∈ [0，u]和In（t）=1表示t∈ 【u+1/n，1】。定义函数P:Rd→ R byP（x）=√1+x·x≥ |x个|∞让Pn∈ Cb（Rd）是具有一致有界导数的正有界函数序列，使得Pn（x）=P（x）表示| x|∞≤ n、 设置φn（t，X）=Pn（Xt- Xu）In（t）。很明显φn∈ C1,2（λ）。那么Dtφnca的积分可以有界于ZDtφndt=Zu+nuPn（Xt- 徐）锡（t）dt≤最大值∈[u，u+n]| Pn（Xt- 徐）|！祖+奴tIn（t）dt=最大值∈[u，u+n]| Pn（Xt- Xu）|，收敛到1为n→ +∞. φnar的空间导数一致有界。利用Fatou引理和（α，β）的可积性，我们得到了euX- 徐|∞≤ EuP（X- 徐）≤ 画→+∞EuPn（X- 十） <+∞,因此X- Xuisu-可对所有u积分∈ [0, 1].接下来，fix u∈ [0，1]并让Kn∈ Cb（Rd；Rd）是一个有界函数序列，其一致有界导数满足Kn（x）=x的| x|∞≤ n、 让g∈ Cb公司(OhmuRd）为任意函数，并考虑φn（t，X）=Kn（Xt- Xu）·g（X·∧u） In（t）。使用类似于前面的参数，φn∈ C1,2（λ）。

此外，φnar的空间导数一致有界且limn→+∞ZDtφndt=0，limn→+∞xφn=g（x·∧u） 1（t>u），极限→+∞xφn=0。通过α和X的可积性- Xu以及支配收敛定理，asn→ +∞,Eu（（X- Xu）·g（X·∧u） ）=EuZuαtdt·g（X·∧u）.回想一下，g是任意的，这意味着u十、- 徐-Zuαtdt傅= 因为这适用于所有u∈ [0，1]和α，X- Xuare可积，M：=X-R·αtdt必须是连续（F，u）-鞅。应用函数Ito公式，我们的条件降低了toEuZxφ：（βdt）- dhXit）= 0、固定u∈ [0，1]，设h∈ Cb公司(Ohmu考虑φn（t，X）=Kn（Xt- Xu）| h（X·∧u） 千牛（Xt- Xu）In（t），其中Knand与之前一样定义。再次，φn∈ C1,2（λ）。特别地，xφntakesvalue（单位：Sd+）一致有界且满足极限→+∞xφn（t，x）=h（x·∧u） 1（t>u）。利用β的可积性、Fatou引理和支配收敛定理，我们得到了euZuh（X·∧u） ：dhXit≤ 画→+∞EuZxφn：dhXit=limn→+∞EuZxφn：βdt=EuZuh（x·∧u） ：βdt<+∞,因此EuRuh（X·∧u） ：dhXit<+∞ 我们可以应用支配收敛理论将第一个不等式转化为一个等式，这将使uZuh（X·∧u） ：（βdt- dhXit）= 0，对于所有h∈ C类(OhmuSd）。因为M=X-R·αtdt是hMi=hXi的鞅，我们必须有eu（（M- Mu）（M- Mu）| | Fu）=Eu祖德希特傅= EuZuβtdt傅,所以嗯|-R·βtdt是一个（F，u）-鞅。因此，u必须是具有特征（α，β）的半鞅测度，从而完成证明。A、 2引理A.1引理A.1。

定义a：Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb(Ohm) ×Cb（λ；R×Rd×Sd）→ R bya（ψ，’Д，Д，p，q，R）：=ZOhm^1dρ，如果Д≤  和p+H*（q，r）≤ ,+∞, 否则其凸共轭a*: M级(Ohm) ×M(Ohm) ×M(Ohm) ×M（λ；R×Rd×Sd）→ R由A给出*(ξ, ρ, u, ν, ν, ~ν) :=ZOhm du+Z∧Hd？νdν，d？νdν+ dν，if（ξ，ρ，u，ν，ν，ν，ν）∈ A、+∞, 否则式中：={（ξ，ρ，u，ν，ν，ν，ν）∈ M级(Ohm) ×M(Ohm) ×M(Ohm) ×M（∧；R×Rd×Sd）：ξ=0，ρ=ρ，u≥ 0, ν ≥ 0, (ν, ~ν)  ν}.证据在整个证明过程中，我们将使用CBI在L中稠密这一事实。让我们确定以下情况：*< +∞. 利用凸共轭的定义，我们有一个*（ξ，ρ，u，ν，’ν，’ν）=sup（ψ，’ν，ν，p，q，r）Д≤,p+H*（q，r）≤ZOhm（ψdξ+Дdu）+ZOhm^1d（ρ- ρ） +Z∧（p dν+q·d'ν+r:d'ν）。如果a*< +∞, 然后ξ=0，ρ=ρ，u≥ 0和ν≥ 0、了解为什么可以限制为u≥ 0，假设某个可测集合E的u（E）<0 Ohm. 然后存在一系列非正函数∈ Cb公司(Ohm) 汇聚到-1（E）英寸L(Ohm, u). 通过缩放Иnarbitrarilyan并将其添加到Д，函数a*变得无界。类似的论证表明ν≥ 所以我们的函数减少了toa*（ξ，ρ，u，ν，’ν，￠ν）=ZOhm du+supp+H*（q，r）≤Z∧p dν+q·d'ν+r:dν。其次，由于函数在（p，q，r）中是线性的，如果a*是有限的，那么上确界必须占据边界*（ξ，ρ，u，ν，’ν，￠ν）=ZOhm du+supp+H*（q，r）=Z∧p dν+q·d'ν+r：d'ν=ZOhm du+Z∧ dν+sup（q，r）Z∧q·d′ν+r:d- H*（q，r）dν。我们声称，有必要有（(R)ν，￠ν） ν. 假设存在一个可测集E，使得（|ν，|ν）（E）6=0，但ν（E）=0。再次让我们构造一个Cb（λ）中的连续函数序列，收敛到L（λ）中的1（E），并将它的倍数（取决于ν（E）的符号）加到（q，r），这将允许*任意增长任意增长。