跳跃扩散的博弈论最优投资组合

如果有人能够预测到这些跳跃，那么增长的最佳政策将是在每次跳跃前的瞬间将b：=0.5，实现每次跳跃6%的长期资本增长。在差异期间（跳跃前后），正确的策略是设置b：=（u-r） /σ=2.27，实现每年8.8%的增长率，每年总计14.8%。然而，在我们的游戏中，跳跃是出乎意料的；规则b：=2.27在x·dNt=-50%. 事实上，B=(-1, 2).跳跃差异的凯利法则为b：=0.585，年收益率为11.3%。图1中绘制了该地址。我们将其与其他两个玩家的次优行为进行比较：一个玩家使用c：=1（买入并持有），另一个玩家使用SD：=1.1。图3绘制了T=300年的样本路径。图4显示了T=10年的（不同）样本路径。让UT表示股票在区间[0，t]上跳跃的次数，其中Nt- UTI是它向下跳跃的次数。我们让P（n，u，t；b，c）：=Prob{Vt（b）>Vt（c）| Nt=n，Ut=u}。然后我们有prob{Vt（b）>Vt（c）}=e-λt∞Xn=0nXu=0（λt/2）nu！（n）- u） 哦！P（n，u，t；b，c），（18），其中，对于b 6=c，P（n，u，t；b，c）=Φu对数（1+b1+c）+（n- u） 日志（2-b2级-c） +[γ（b）- γ（c）]tσ| b- c类|√t型, （19） 其中Φ（o）是累积正态分布函数，γ（b）：=r+（u-r） b类-σb/2表示扩散过程中b的增长率。该特定实验的超越概率（b*= 0.585，c=1，d=1.1）绘制在图2中≤ t型≤ 图1：参数ν：=0.07，σ：=0.15，r：=0.03，λ：=1，b：=0.585，c：=1，d：=1.1，x的支付核100·π（b，c）∈ {+100%, -50%}.

可添加点为b*= c*= 0.585.图2：不同博弈长度下的超越概率∈ [0，300]对于参数ν：=0.07，σ：=0.15，r：=0.03，λ：=1，b：=0.585，c：=1，d：=1.1，x∈ {+100%, -50%}.图3:large中的示例路径。ν：=0.07，σ：=0.15，r：=0.03，λ：=1，b：=0.585，c：=1，d：=1.1，x∈ {+100%, -50%}，T：=300。图4:small中的（不同）示例路径。ν：=0.07，σ：=0.15，r：=0.03，λ：=1，b：=0.585，c：=1，d：=1.1，x∈ {+100%, -50%}，T：=10.6结论本文制定并解决了一个连续时间的两人交易游戏，该游戏将Garivatis（2018）推广到多跳差的情况。按照Bell和Cover（1980、1988）提出的思路，我们解决了杠杆“投资φ-博弈”，其中目标是在或多或少任意的相对绩效标准φ（o）方面胜过其他投资者。在游戏开始时，每位玩家对初始美元进行“公平随机”，将其交换为平均值最多为1的随机财富。然后，每个玩家将产生的资本存入一些持续重新平衡的投资组合（或固定分数下注方案），并在固定的时间间隔内遵守这些投资组合。我们发现，预期最终财富比率的唯一鞍点是两个层使用凯利规则进行跳跃差异，并结合完全由标准φ（o）确定的适当公平随机。从远古时代（Kelly 1956）起，Kelly法则就是通过最大化一个人资金的几乎确定的渐进连续复合增长率来定义的。然而，上述分析表明，即使是一个以在很短的时间内超越同龄人为唯一目标的利己主义者，跳跃差异的凯利法则也是正确的行为。

一方面，尽管投资者知道跳跃式回报的分布，但他无法预测它们的确切到达时间。因此，他唯一的资源就是建立一个投资组合，以便在闪电来袭时持续表现良好。另一方面，他希望交易策略在证券价格的纯粹差异性波动中表现良好。凯利法则是完美平衡这两种担忧的最佳选择。因此，本论文直接概括了Bell and Cover（1988）和Garivatis（2018）。如果预期跳跃到达率为零，我们专门研究toGarivaltis（2018）。如果将差异参数归零，那么我们将得到Bell和Cover（1988）最初的博弈论最优投资组合的leveragedversion，尽管有一个附加条件，即球员必须在等待跳跃的过程中看着油漆变干。如果一切都归零了，那么我们就得到了选择公平随机的“原始φ-对策”，其构成了E[φ（W/W）]的鞍点。参考文献【1】Bell，R.M.和Cover，T.M.，1980年。对数投资的竞争最优性。运筹学数学，5（2），第161-166页。[2] Bell，R.和Cover，T.M.，1988年。博弈论最优投资组合。《管理科学》，34（6），第724-733页。[3] Berge，C.，1963年。拓扑空间。奥利弗和博伊德。[4] 加里瓦蒂斯，A.，2018年。连续时间博弈论最优投资组合。《经济理论公报》，第1-9页。[5] Kelly，J.L.，1956年。信息率的新解释。贝尔系统技术杂志。[6] 默顿，R.C.，1976年。基础股票收益不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》，3（1-2），第125-144页。[7] Poundstone，W.，2010年。《财富》杂志的公式：关于击败赌场和华尔街的科学教育体系的不为人知的故事。希尔和王。[8] 塞缪尔森，P.A.，1979年。

为什么我们不应该让财富的平均值变大呢？尽管行动的时间很长。《银行与金融杂志》，3（4），第305-307页。[9] Wilmott，P.，2001年。保罗·威尔莫特介绍了量化金融。约翰·威利父子公司。