跳跃扩散的博弈论最优投资组合

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英文标题：
《Game-Theoretic Optimal Portfolios for Jump Diffusions》
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作者：
Alex Garivaltis
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies a two-person trading game in continuous time that generalizes Garivaltis (2018) to allow for stock prices that both jump and diffuse. Analogous to Bell and Cover (1988) in discrete time, the players start by choosing fair randomizations of the initial dollar, by exchanging it for a random wealth whose mean is at most 1. Each player then deposits the resulting capital into some continuously-rebalanced portfolio that must be adhered to over $[0,t]$. We solve the corresponding `investment $\\phi$-game,\' namely the zero-sum game with payoff kernel $\\mathbb{E}[\\phi\\{\\textbf{W}_1V_t(b)/(\\textbf{W}_2V_t(c))\\}]$, where $\\textbf{W}_i$ is player $i$\'s fair randomization, $V_t(b)$ is the final wealth that accrues to a one dollar deposit into the rebalancing rule $b$, and $\\phi(\\bullet)$ is any increasing function meant to measure relative performance. We show that the unique saddle point is for both players to use the (leveraged) Kelly rule for jump diffusions, which is ordinarily defined by maximizing the asymptotic almost-sure continuously-compounded capital growth rate. Thus, the Kelly rule for jump diffusions is the correct behavior for practically anybody who wants to outperform other traders (on any time frame) with respect to practically any measure of relative performance.
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中文摘要：
本文研究了一个连续时间的两人交易博弈，该博弈推广了Garivatis（2018），以考虑股票价格的跳跃和扩散。与Bell and Cover（1988）在离散时间中的做法类似，玩家首先选择初始美元的公平随机，将其交换为平均值最多为1的随机财富。然后，每个参与者将产生的资本存入一些持续重新平衡的投资组合中，这些投资组合必须遵守超过[0，t]$的规定。我们解决了相应的“投资$\\phi$-博弈”，即带有支付核$\\mathbb{E}[\\phi{\\textbf{W}U 1V\\U t（b）/（\\textbf{W}\\U 2V\\U t（c））\\}]$的零和博弈，其中$\\textbf{W}\\U i$是玩家i$的公平随机化，V\\U t（b）$是再平衡规则中一美元存款的最终财富，而$\\ phi（\\ bullet）$是任何用来衡量相对性能的递增函数。我们表明，唯一的鞍点是两个参与者都使用（杠杆）Kelly规则进行跳跃扩散，这通常是通过最大化渐近几乎确定的连续复合资本增长率来定义的。因此，凯利跳跃扩散规则对于任何想要（在任何时间范围内）在任何衡量相对表现的指标上胜过其他交易者的人来说，都是正确的行为。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：投资组合 博弈论 Quantitative Contribution Mathematical

跳跃差异的博弈论最优投资组合Alex Garivatis*2018年12月12日摘要本文研究了一个连续时间的两人交易游戏，该游戏概括了Garivatis（2018），以考虑股价的跳跃和波动。与Bell and Cover（1988）在离散时间中的做法类似，玩家首先选择初始美元的公平随机，将其交换为平均值最多为1的随机财富。然后，每个参与者将产生的资本存入一些持续重新平衡的投资组合中，这些投资组合必须遵守[0，t]以上的规定。我们解决了相应的“投资φ-博弈”，即带有支付核E[φ{WVt（b）/（WVt（c））}的零和博弈，其中Wiis player i的公平随机化，Vt（b）是在再平衡规则b中累积到一美元存款的最终财富，φ（o）是用来衡量相关性能的任何递增函数。我们表明，唯一的鞍点是两名球员都使用（杠杆）凯利规则进行跳跃差异，这通常是通过最大化渐近几乎确定的连续复合资本增长率来实现的。因此，对于任何想要（在任何时间范围内）在任何衡量相对表现的指标上超越其他交易者的人来说，凯利跳差规则都是正确的行为。关键词：投资组合选择、持续再平衡投资组合、KellyCriterion、对数最优投资、极大极小值、跳跃过程Jel分类：C44、D80、D81、G11*北伊利诺伊大学经济学助理教授，514 Zulauf Hall，DeKalb IL 60115。电子邮件：agarivaltis1@niu.edu.ORCID:0000-0003-0944-8517.1引言1.1文献综述Bell and Cover（1980）研究了一个静态零和竞争性投资博弈，其核心是在股市经历一段时间的波动后，参与者1比参与者2拥有更多财富的概率。

他们发现有必要为一个平均数最多为1的随机资本引入初始美元的“公平随机”装置。这样做，在均衡状态下，两个参与者都使用Kelly（1956）规则（或对数最优投资组合）与初始美元的均匀（0,2）随机组合。凯利（1956年）最初是通过考虑一个事先掌握的情况并非百分之百可靠的电汇诈骗者在赛马上的反复下注来确定自己的标准的。Kelly\'sexample的简单性很好，它引导人们将对数恢复为“正确的”效用函数。与以往一样，Kelly自然地考虑了固定压裂下注方案，并发现了一种几乎可以肯定的最高无条件资本增长率的方案。这给了他对这条线的“信息率的新解释”。Bell和Cover（1988）的续集通过对两个赌徒的相对表现的一些任意度量φ（o）的预期来取代跑赢大盘的概率。他们再次发现，凯利规则以及完全以φ（o）为特征的公平随机性是至高无上的。因此，对于几乎所有的利己主义者来说，他们唯一的目标是在短期内超越其他交易者（无论他的个人标准是什么），正确的行为是由凯利标准规定的。嗯，也许并非对所有人都正确：萨缪尔森（1979）对《凯利规则》的简单批评方法只使用了一个音节的单词。Garivatis（2018）想看看Bell和Cover的结果是否在几个It^o过程的随机差异投资φ-博弈中保持不变，这些过程具有依赖于状态的漂移和差异。他们做到了；正确的做法是将Belland Cover（1988）的随机化Wi[φ]与反馈控制策略b（s，t）结合使用：=∑-1[u（S，t）-r1]，这是连续时间内多变量Kellyrule的局部版本。

这里，u（S，t）是局部漂移向量，∑（S，t）是单位时间瞬时收益的局部协方差矩阵，1是1的向量。1.2贡献本论文将加里瓦蒂斯（2018）的分析扩展到默顿（1976）引入的证券价格既上涨又下跌的一般股票市场。我们定义了相应的杠杆凯利法则，并表明它是参与者最终财富预期比率的唯一鞍点。跳跃达到每单位时间λ的预期值；当差异参数归零后，我们恢复了Bell and Cover（1988），尽管有一个附带条件，即球员必须在等待跳跃到达时扭动膝盖。在这方面，我们扩展了Bell和Cover的分析，以考虑杠杆投资组合，只要在某种紧凑、无套利的支持下，能够保证所有可能的跳跃实现x的偿付能力。2投资φ-跳跃差异博弈我们考虑一个连续时间的两人交易博弈，它概括了Garivatis（2018）。Bell和Cover（19801988）研究了该游戏的离散时间版本。这个游戏有几个移动部分，我们现在讨论。每个玩家都从一美元开始。定义1。通过对初始美元的公平随机分配，是一个随机财富W分布在[0，∞) 使E[W]≤ 1、例1。W：~ 均匀（0，2）。示例2。W：=经验值(-σ/2+σZ），其中Z是单位法线。示例3。W：=1。在比赛开始时，每个球员∈ {1，2}选择一个公平的随机化Wi。然后将资金存入股票市场上的一个不断重新平衡的投资组合中，该投资组合中有n个相关证券，其价格会上涨并有所不同。我们让Sit表示股票i的价格，它遵循跳跃式差异Sit=uidt+σidWit+（Xi- 1） dNt。（1） 这里，ui和σi分别是股票i的漂移和波动性，而Witis是标准布朗运动。

我们假设ρij：=Corr（dWit，dWjt）是股票i和j的非预期（不同）瞬时收益的相关性。我们假设∑ij：=Cov（dSit/Sit，dSjt/Sjt）/dt=ρijσiσjdenote单位时间瞬时收益的协方差。我们假设矩阵∑：=[σij]n×nis可逆，因此为正定义。跳跃按照泊松过程到达，每单位时间的预期跳跃率为λ。我们让Nt表示在[0，t]上发生的跳跃数。因此，我们没有~ 泊松（λt）和dnt=概率为λ的1·dt0概率为1- λ·dt。（2） 跳跃的总回报是随机向量X：=（X，…，Xn），其中Xi：=Si（t+）/Si（t-) 是股票i在t发生跳跃时的总回报。我们设为：=Xi- 1是净回报，我们写x：=（x，…，xn）作为跳跃的净回报向量。我们假设跳跃X是根据某些CDFF（o）绘制的iid。我们假设游戏中的所有随机性来源，即X、Nt、W、W和（Wit）ni=1，都是相互独立的。我们允许玩家使用杠杆化的、持续重新平衡的投资组合（或已执行的吸引博彩计划），表示为b：=（b，…，bn）∈ 注册护士。在分化过程中，平衡规则b持续交易，以维持每个股票i中的固定部分生物财富。我们假设存在一种无风险债券，其价格Bt：=ErtflowsDbt/Bt=r·dt。我们让Vt（b）表示在t时的财富，该财富在再平衡规则b中累积为1美元存款。因此，交易员在t时拥有biVt（b）/SITShards of stock i。剩余的（1-Pni=10亿美元投资于债券。尽管使用差异，但无论使用多少杠杆，在不同的时间间隔【t，t+dt】内都没有破产风险。

然而，为了避免跳跃X后破产，必须限制每个交易员可以使用的杠杆率。因此，我们假设净收益向量x具有闭合且有界的支撑，表示为Ξ 注册护士。有限责任是指Ξ以向量为界-1 = (-1.-1） ，例如xi≥ -100%. Ξ生成相应的非破产（可接受）再平衡规则集B，其中B：={B∈ Rn:1+bx>0表示所有x∈ Ξ}. （3） 这里1+bx是跳跃期间再平衡规则b的总回报。我们假设跳跃期间没有收到（或支付）债券利息，因为没有时间流逝。在贴现期间，交易员的保证金贷款余额为（Pni=10亿- 1） Vt（b）。因此，HEMAINTAIS的固定负债与资产比率为（Pni=1bi- 1） /Pni=1bi。提案1。动作集B是非空的、凸的和开放的。证据首先，请注意0∈ B、 下一步，因为B=Tx∈Ξ{b∈ Rn:1+bx>0}是半空间的交集，它是凸的。最后，定义函数m（b）：=minx∈Ξ1+bx。根据最小值定理（Berge 1963），m（b）是连续的，因为Ξ是紧的。注意m（b）>0当且仅当b∈ B、 因此，B=m-1(0, ∞) 是开放的，因为它是开放集（0，∞) 在连续映射下。我们将假设Ξ不允许套利，在这个意义上，MaxB∈Bminx公司∈Ξbx=0。（4） 示例4。净回报支持Ξ：=[0.01,0.2]是不允许的，因为supb∈Bminx公司∈Ξbx=+∞. 赌徒可以获得任意大额的保证金贷款，并在发生第一次跳跃时赚取有限的、无风险的利润。我们有B=(-5.∞) andm（b）=1+0.01b b≥ 01+0.2b≤ 0。（5）示例5。

对于单只股票的市场，其跳跃具有净回报x∈Ξ：=[x，x]其中x<0<x，我们有B=(-1/x，-1/x）。一美元存款积累到b中的财富Vt（b）根据VTVT=nXi=1biditsit演变+1.-nXi=1bir·dt=[r+（u-r1）b]dt+nXi=1biσidWit+bx·dNt，（6），其中1：=（1，…，1）是1的n×1向量。jumpsisQNtk=1（1+bxk）的交易者增长因子，其中xkis是kthjump的净回报向量。将It^o\'slemma应用于若干差异（Wilmott 2001），来自差异的交易者增长因子为exp{[r+（u- r1）b- b∑b/2]t+Pni=1biσiWit}。因此，我们有公式vt（b）=exp[r+（u- r1）b- b∑b/2]t+nXi=1biσiWitNtYk=1（1+bxk）。（7） 定义2。投资φ-博弈是一个带payoff kernelE的二人零和博弈φWVt（b）WVt（c）, （8） 其中，参与者1（分子，最大化）选择一个再平衡规则b∈ B和公平随机化W，玩家2（分母，最小化）选择再平衡规则C∈ B和一个公平的随机化W。φ（o）是任何用来衡量两个交易者的相对表现的递增函数。示例6。φ（R）：=1[1，∞)（R） 。这将Payoff内核转化为玩家1比玩家2拥有更多最终财富的概率。示例7。φ（R）：=1[α，∞)（R） 。我们得到了玩家1至少达到玩家2最终财富的分数α的概率。例8。φ（R）：=Rγ，对于γ≥ 0、例9。φ（R）：=R/（R+1）。这将payoff内核转换为E[WVt（b）/{WVt（b）+WVt（c）}]，例如，玩家1的财富与总财富的预期比率。3基本鞍点我们首先用payoff核E[Vt（b）/Vt（c）]求解简化博弈。这将在第1节达到高潮。最大值B∈Bminc公司∈BE[Vt（b）/Vt（c）]=最小值∈Bmaxb公司∈BE[Vt（b）/Vt（c）]=1。

最大策略b*和极大极小策略c*两者都等于跳跃差异的凯利法则（对数最优连续再平衡投资组合）。为了证明该定理，我们解释并定义了跳跃微分的凯利规则。交易员实现的持续复合资本增长率超过[0，t]islog Vt（b）t=r+（u- r1）b- b∑b/2+nXi=1biσiWitt+Ntt·NtPk=1log（1+bxk）Nt，（9）收敛到Γ（b）：=r+（u- r1）b- b∑b/2+λE[对数（1+bx）]作为t→ ∞.渐近增长率Γ（b）在b定义3上是严格凹的。跳跃差异的凯利法则是（唯一的）再平衡法则，它最大化了渐进的连续复合资本增长率。其特点是一阶条件B=∑-1.u - r1+λEx1+bx. （10） 接下来，我们计算E[Vt（b）/Vt（c）]=Eexp{（u- r1）（b- c） t+（t/2）（c∑c- b∑b）+nXi=1（bi- ci）σiWit}ENtYk=11+bxk1+cxk= exp{（u- r1级- ∑c）（b- c） t}expλtE1+bx1+cx- 1.= 经验值u - r1级- ∑c+λEx1+cx（b）- c） t型. （11） 因此，我们将使用简化的支付核π（b，c）：=u - r1级- ∑c+λEx1+cx（b）- c） ，（12）是E[Vt（b）/Vt（c）]的复合增长率。由于π（b，c）在b中是凹的（实际上是线性的），在c中是凸的，鞍点的特征是一阶条件π（b，c）=0。取b的梯度，我们得到方程C*= Σ-1.u - r1+λEx1+hc*, xi. （13） 这正是定义跳跃差异凯利法则的一阶条件。该方程有一个唯一的解决方案，用于确定c*. 稍后，我们将使用乘积规则，求出π（b，c）相对于c的梯度。为此，我们让D表示映射c 7的微分（n×n矩阵）→ Ex1+cx对自身的影响。我们有DIJ=cjE公司xi1+cx=cj公司ciE公司日志（1+cx）.

（14） 我们注意到，D是负半定义，因为它是凹函数c 7的Hessian矩阵→ E[对数（1+cx）]。在此过程中，我们应用产品规则并得到一阶条件0=cπ（b，c）=(-∑+λD）（b- c）- 在中·u - r1级- ∑c+λEx1+cx| {z}=bπ（b，c）=0，（15），其中Ini是n×n单位矩阵（例如，c 7的微分→ c） 。现在，请注意矩阵-∑+λD是负定义（因此是可逆的），因为它是负定义矩阵和负半定义矩阵的和。因此，从方程式(-∑+λD）（b- c） =0我们得到了b=c。这证明了唯一鞍点是两个参与者都可以使用凯利规则进行跳跃区分，并且简单博弈（核为E[Vt（b）/Vt（c）]）的值是投资φ-博弈的1.4解，因为E[Vt（b）/Vt（c）]的唯一鞍点是设置b*andc公司*等于凯利法则，我们有不等式e[Vt（b）/Vt（c*)] ≤ E[Vt（b*)/Vt（c*)]| {z}=1≤ E[Vt（b*)/Vt（c）]，（16）适用于所有b、c∈ B、 因此，当分子参与者使用凯利规则时，它保证预期的支付是≥ 1，当分母玩家使用凯利规则时，它保证预期支付为≤ 考虑到这些保证，我们着手解决一般投资φ-博弈。首先，我们需要一个定义。定义4。对于任何递增函数φ（o），值为v[φ]的“原始φ-博弈”是两人零和博弈，其支付核为E[φ（W/W）]，其中玩家1选择公平随机化，而玩家2选择公平随机化W。原始φ-博弈的值为v[φ]=supWinfWE[φ（W/W）]=infWsupWE[φ（W/W）]。随机财富魔杖相互独立。定理2。投资φ-对策与原始φ对策具有相同的值v[φ]。

在均衡状态下，两个玩家都使用凯利规则进行跳跃差异，而玩家使用相同的公平随机（W*, W*) 解决了原始φ-对策。证据Garivaltis（2018）中给出的证据适用于几个跳跃差异的更一般情况。我们首先展示Eφ{W*Vt（b*)/（WVt（c））}≥ v[φ]对于任何公平随机化Wand和任何再平衡规则c∈ B、 其中B*是Kellyrule。请注意，WVt（c）/Vt（b*) ≥ 0是一个公平的随机化，因为E[Vt（c）/Vt（b*)] ≤ 1、因此，由于W*, 是玩家1在原始φ-博弈中的maximin策略，我们有φ{W*Vt（b*)/（WVt（c））}≥ v[φ]。同样，我们证明了Eφ{WVt（b）/（W*Vt（c*))}≤ v[φ]对于任何公平随机化和任何再平衡规则b∈ B、 其中c*是凯利法则。注意，WVt（b）/Vt（c*) ≥ 0是一个公平的随机化，因为E[Vt（b）/Vt（c*)] ≤ 1、因此，由于W*, 是原始φ-对策中玩家2的极大极小策略，我们必须有φ{WVt（b）/（W*Vt（c*))}≤ v[φ]。因此，我们已经证明（W*, b*) 保证预期收益为≥ v[φ]和（W*, c*) 保证预期收益为≤ v[φ]当b*和c*等于凯利法则和（W*, W*) 是原始φ-博弈的均衡策略。这证明了定理。5个例子为了结束本文，我们根据参数ν：=0.07、σ：=0.15和u=ν+σ/2=0.08125，模拟了一个单一股票市场的一些游戏。我们假设无风险率r：=0.03，跳跃达到每年λ：=1的预期率。跳跃时，总回报X将根据“香农的恶魔”（Poundstone 2010）进行分配，例如X：=2概率为1/21/2，概率为1/2，（17）意味着股票价格要么翻倍，要么减半，每个概率相等。