时间齐次SPX随机的一致模型间规范

原因是，从It^o引理得到的hθ（Xt）的微分和（2）中的SDE具有与时间无关的系数，因此Ft，t+θ的微分也必须具有与时间无关的系数。假设2.1（Xt驱动的时间齐次马尔可夫市场模型）。方程（8）给出的CMF市场模型是由与SVM相同的因子过程驱动的时间齐次马尔可夫模型。特别是，CMF Ft，t+θ具有滚动收益率函数fθ（x）和每个水平θ的波动行向量函数νθ（x≥ 0，使得CMF动力学为，dFt，t+θFt，t+θ=fθ（Xt）dt+νθ（Xt）dWt，（11），其中Xt是方程（2）给出的因子过程。此外，存在初始曲线F0，θ，使得F0，θ=E[Fθ，θ| F]对于所有θ≥ 0，并且有一个初始值Xsuch thatX∈ h类-1（F0,0）a.s.此时，正式说明SDE系数的有效条件是合适的。假设2.2。系数u（x）和σ（x）是全局Lipschitz连续的，因此方程（2）具有强解。系数fθ（x）和νθ（x）是有界的，因此（11）和（12）有唯一的强解，（12）的未来是真鞅。根据假设2.1和2.2，可以确定定义2.1是有意义的。假设2.1对于本文中的理论是必要的，但并不总是需要假设2.2。事实上，有几个重要的非Lipschitz示例，如Heston SVM或各种其他模型，其中XT是CIR过程（见第3.3节的3/2模型）。假设2.2断言fθ（x）和dνθ（x）的有界性，但对于fθ（x）而言，限制性较小的标准是允许定义良好的黎曼积分fθ（Xu）du，对于νθ（x）而言，则满足诺维科夫条件E expZTkνT-t（Xt）kdt< ∞ 对于所有0≤ T<∞ .假设2.1表示方程（8）中的滚转屈服现在是Xt的函数，即Yθt=fθ（Xt），对于所有θ≥ 0

假设2.1，市场模型的未来动力学可以重写为dFt，TFt，T=dFt，T+θFt，T+θθ=T-t型- 英尺-t（Xt）dt=νt-t（Xt）dWt，（12）在假设2.1和2.2下，可以应用It^o引理来检查amodel是否满足定义2.1和方程（10）的一致性。实际上，表示运算符L，L=迹线[σσ*（十）*] + u*（十） , （13） 它是因子过程Xt的最小生成器。如果hθ（x）具有充分的可微性，则将dhθ（Xt）设置为等于（11）的右侧，以获得以下一对一致性方程，Lhθ（Xt）=fθ（Xt）hθ（Xt）（14）σ*（Xt）hθ（Xt）=ν*θ（Xt）hθ（Xt），（15），初始条件满足且X∈ h类-1（F0,0）。备注2（Buehler的情况）。方程（14）是B uehler条件，在【10】中确定了预期方差。备注3（使用市场数据初始化Cu rve模型）。市场模型软化的实际应用包括插入波动率曲线数据作为初始条件。这种方法的优点是，该模型能够直接吸收市场上观察到的期货价格。如果给出了初始曲线F0，θ，则方程（11）的解为ft，t+θ=F0，θexpZt公司fθ（Xu）-kνθ（Xu）kdu+Ztνθ（Xu）dWu,这可能不是由XT驱动的时间同质市场模型，如果假设2.1中描述的初始条件不满足，那么如果初始曲线不能写成X的函数，时间不均匀性可能会出现。在假设2.1的框架内，时间同质市场模型可以用曲线数据F0、θ如果F0、θ=E[Fθ、θ| F]初始化，如果存在X∈ h类-1（F0,0）。实际上，XT的尺寸应足够高，以便h-1（F0,0）包含X，即X的域中存在X和X∈ h类-1（F0,0）。2.2主要结果：v（x）的马尔可夫反问题，让h（x）=h（x）忽略VIX。

假设h（x）和市场模型满足定义2.1和假设2.1。对于支持向量机的一致性规范，应使用函数v（x）。如果已知h（x），则发现v（x）相当于解决一个逆问题，h（x）=EτZt+τtv（徐）duXt=x, （16） 其中，解决方案是函数v:Rd→ R满足方程（16）。如果该解决方案是非负的，那么它将提供一个有效的SVM。2.2.1一般可解性对于一类一般的因子p过程，可以解决inver-se问题。假设factorprocess XT是一个平稳的遍历过程，最小生成元L由（13）给出。让ω表示Xt的不变测度。在本文和后半部分中，关于任何（可积）测试函数g的不变测度的期望用hgi表示：=Zg（x）dω（x），并且所有计算将遵循[4]中定义的半群微分分析框架。有必要假设存在唯一不变测度，并且算子L有一个谱间隙：假设2.3（唯一不变测度）。对于任何测试函数g（x），存在唯一不变度量ω，使得hLgi=0。假设2.4（光谱间隙）。算子L是对称的，即对于任何测试函数g（x）和g（x），hgLgi=Hglgif，其频谱在间隙为零时为非正。换句话说，存在一个常数λ>0，这样，（eLtg）≤ e-λtg级, （17） 对于所有t≥ 对于任何g（x），hgi=0和g级< ∞. 这里，eLtg表示由L生成的合同半群，由eLtg（x）=Ehg（Xt）给出对于有界g（X）和平方i可积g（X），X=xi。[34]给出了唯一不变测度存在的条件。

它们包括矩阵σσ的有界性和一致椭圆性*（x） 还有lim supkxk→∞x个*u（x）≤ -ckxk1+α对于某些c>0和α≥ -1、明确| eLtg（x）|≤ supy | g（y）|以及（eLtg）≤g级对于所有合适的g（x），t≥ [3，4]中给出了对称扩散发生器L具有光谱间隙的条件，其中Orns tein-Uhlenbeck发生器是激发更一般理论的典型案例。第3节的例子进一步探讨了该理论的范围。定理2.1（反问题的一般可解性）。一个ssu me h（x）是这样的h类<∞ 和（左侧）< ∞, 其中，L是等式（13）中的运算符。假设2.3和2.4，存在方程（16）的平方可积解。定理2.1的证明。将溶液写入v（x）=h类+ ξ（x），方程（16）的反问题可以改写为ash（x）-h类= Φξ（x），其中运算符Φ由Φ=τZτeLudu定义。（18） 使用不变测度，很明显解ξ现在居中，hξi=0，因为0=h类-h类= hΦξi=R（Φξ）dω=Rξdω=hξi，反问题为Φξ（x）=h（x）-h类. （19） 算子Φ是一个平均算子，因此h（x）比ξ（x）更规则。

算符L应用于方程（19）的两侧，由于假设量Lh（x）定义得很好，因此LΦξ（x）=Lh（x）。利用半群算子的代数性质（见[4，38]），LΦ=τZτLeLudu=τeLτ- 我,可以重新排列以获得，-τLh（x）=-τLΦξ（x）=（I- （I+τLΦ））ξ=（I- eLτ）ξ（x），（20），并且由于假设2.4的谱隙，可以用（收敛的）几何级数写出解，ξ（x）=-τ∞Xn=0enLτLh（x）。Pardoux和Veretennikov的理论[34]也可用于定理2.1。注意可解性假设：给定光谱间隙，当且仅当左侧= 0，在应用一致性方程（14）和（15）后，与方程（22）相同。此外，需要使用以下事实：Lh（x）=2h（x）Lh（x）+kσ*（十）h（x）k.hξi=0的平方可积解的唯一性也遵循方程（20）：对于任何两个具有ξ+ξ′2< ∞ 必须是LΦξ（x）=LΦξ′（x），或（I- eLτ）ξ（x）=（I- eLτ）ξ′（x）。通过反转运算符I- eLτ很明显，对于a.e.x，ξ（x）=ξ′（x）。将方程（20）的两侧乘以ξ（x），并取括号得出：，ξ= -τξLh+ξeLτξ.根据L的对称性和方程式（17）中的光谱间隙，有以下估计，ξeLτξ=D（eLτ/2ξ）E≤ e-λτ/2ξ,将其插入到前面的方程式中，以获得，ξ≤ -τξLh+ e-λτ/2ξ.重新排列并应用Cauchy-Schwartz得出估计值，（1- e-λτ/2)ξ≤ -τξLh≤ τphξih（Lh）i，对于λ>0，重新排列以获得对溶液范数的估计，ξ≤τ1 - e-λτ/2（左侧）. （21）边界（21）表明，考虑到我们对h（x）和谱隙的假设，解对于不变密度是平方可积的。备注4。

定理2.1的含义是，如果h（x）由市场模型给出，且方程（16）的唯一解对于a.e.x是非负的，并且如果方程（2）有强解，则存在定义2.1意义上一致的支持向量机。备注5。可能的情况是，方程（16）是可解的，但对于a.e.x没有非负的解，即使它用v（x）表示，因为这就是问题的构成方式。在这种情况下，对于提议的市场模型，不存在定义2.1意义上一致的SVM。备注6。如果存在等式（16）的squ可积解v（x），并且如果SVMand市场模型是一致的（定义2.1），则从等式（14）和（15）的一致性中，存在以下Inverseproblem的可解性条件，（2f+kνk）h= 0，（22），其中f（x）是滚动收益率，ν（x）是θ=0的（11）中的波动率。备注7。方程（22）中的可解性条件类似于有限欧几里德空间中的Fredholm备选方案（见[4，38]）。这是一个积分条件，涉及市场模型ν（x）的滚动收益率f（x）和波动率，波动率h（x），以及因子过程ω的不变量测度。备注8（对称运算符）。对于方程（2）给出的Xt，如果存在不变量密度ω（x），那么方程（13）的算子L是对称的，如果存在矩阵A（x），那么L可以写成自伴形式，Lg（x）=2ω（x） · （A（x）g（x）），对于任何测试函数g（x）。换句话说，σ（x）和u（x）需要满足a（x）=σ*（x） ω（x） · A（x）=2u*（x） ω（x）。这表明假设2.4的对称性有一定的限制性。

然而，解决反问题并不总是需要对称性，如第3.2.2.2节通过特征级数展开求解的示例所示。如果算子L具有正交特征函数的完整基，则s o不需要Φgivenin（18），然后可以通过计算v（x）级数展开中的特征系数来找到反问题（16）的解。对于许多这样的情况，给定X的因子过程xts存在传递性，因此可以使用g akernel，h（X）=ZΦ（y，X）v（y）dy来编写方程（16），其中核为Φ（y，X）=τZτyP（Xu≤ y | X=X）du。假设存在本征函数ψn:Rd→ R使得对于索引值n∈ {0, 1, 2, . . . },ZΦ（y，x）ψn（y）dy=λnψn（x），其中λn6=0，并且假设存在不变密度ω（x）>0，使得任何一对等正交，Zψn（x）ψm（x）ω（x）dx=ψnδ（n- m） 。此外，假设这些本征函数构成L（Rd；ω）中的完整基，即，。如果v< ∞ 然后是系数a、a、a。这样，v（x）=∞Xn=0anψn（x），∞Xn=0 | an |<∞ .如果是反问题的解，则存在特征级数展开，h（x）=∞Xn=0anλnψn（x），∞Xn=0 | anλn |<∞ ,并通过正交性求解an=λnhψniZh（x）ψn（x）ω（x）dx。这为方程（16）提供了一个（唯一的）解。备注9。本节中提出的本征函数展开式可以在不假设跃迁密度的情况下重新推导；一般半群算子的谱理论见[29]。3可跟踪模型的应用本节介绍了一些在实践中适用的模型示例，即可以在合理的时间内完成模拟、数值计算、数据校准等。根据假设2.1和2.2，考虑的所有模型均为马尔可夫模型，具有强大的SDE解。

假设所有θ的hθ（x）=Ft，t+θ≥ 0，然后重点将放在计算上，以找到方程（16）反问题的解。3.1标量Bergomi模型对于d=1，Bergomi市场模型具有波动函数，ν（t，t）=γσe-κ（T-t） ，其中γ是标量常数，σ>0，κ>0。定义由DXT=-κXtdt+σdWt，具有不变密度ω（x）=rκσπe-κxσ；对于该模型，漂移和扩散为u（x）=-κx，σ（x）=σ。给定Xt，marketmodel的期货价格为ft，T=F∞经验值-γσ4κe-2κ（T-t） +γe-κ（T-t） Xt公司,其中F∞= 限制→∞Ft，Tand也是一个模型参数；需要进一步检查Ft，T的表达式是否符合市场模型方程dFt，T=Ft，Tν（T，T）dWt。对于该模型，方程（11）的轧辊屈服强度为fθ（Xt）=Tlog（英尺，吨）T=T+θ=γσe-2κθ- γκXte-κθ，挥发率的形式为νθ（Xt）=γσe-κθ. 可解一致性方程（15）以获得hθ（x）=hθ（0）expγe-κθx, 很容易验证可解性条件（22）成立。（16）中的逆问题通过特征函数展开来解决。O U过程具有由Hermite多项式给出的特征函数的完全正交基。因此，反问题采用第2.2.2节所述的特征级数展开式进行求解。考虑流程DZT=-κZtdt+√2κdWt，其中dWtdWt=dt。此过程的生成器isL=κz- κzz、 L的本征函数满足方程，Lψn（x）=-k nψn（x），对于n=0，1，2，3。

，其中每个ψnis是一个Hermite多项式，ψn（z）=(-1） nexp公司zdndznexp-z,i、 e.，ψ（z）=1ψ（z）=zψ（z）=z- 1.这些多项式与Zt的不变测度Z正交∞-∞ψn（z）ψm（z）ω（z）dz=n！δ（n- m） ，式中ω（z）=√2πexp-z.这些本征函数在L（R；ω）中形成一个完整的正交基，并且很方便，因为Ehψn（Zt）Z=zi=e-κntψn（z）。Zt的跃迁密度为以下核，Φz（y，z）=τzτyP（Zt≤ y | Z=Z）dt，当应用于Hermite多项式时，Z∞-∞Φz（y，z）ψ（y）dy=ψ（z）=1Z∞-∞Φz（y，z）ψn（y）dy=τzτe-κntψn（z）dt=1- e-κnτκnτψn（z）n≥ 1，产生特征值λ=1λn=1-e-κτnκτnn≥ 1.对于由OU过程Xt驱动的标量Bergomi模型，平均回复率κ和扩散参数σ，与Zt存在以下弱等效性，Xt=dσ√2κZt。定义缩放域方差函数，~v（z）=vσ√2κzz∈ R，然后注意τZτEhv（Xt）X=xidt=τZτE“~v（Zt）Z=√2κσx#dt。如果SVM和市场模型一致，则市场模型明确给出了th en VIXt=h（Xt），h（x）=h（0）exp（2γx）=h（0）exp√2γσ√κz！。然后，根据z和标度本征函数v（z），反问题的解具有展开式v（z）=∞Xn=0anψn（z），反问题（16）可以用标度变量和方差函数h（0）exp表示√2γσ√κz=τZτEh￠v（Zt）Z=zidt=∞Xn=0anλnψn（z），对于所有z∈ R、 然后使用正交性，系数为，an=(-1） nh（0）λnn！√2πZ∞-∞经验值√2γσ√κz！dndznexp-zdx=h（0）λnn！√2γσ√κ!nexp公司γσκ.这显然是一个在L（R；ω）上收敛且在紧集上一致的展开式。最后，对于x，解为，v（x）=v√2κσx=∞Xn=0anψn√2κσx！。这种扩展在紧集上的陆上一致收敛。数值计算表明，解v（x）为正，因此存在可接受的波动率函数。

值得注意的是，波动率指数的市场模型是一个指数函数，导致指数型波动率未来过程。然而，在这种情况下，一致支持向量机不具有指数OU波动率函数。数值计算表明，瞬时方差v（x）具有指数性质，但不是精确指数。图1显示了这个标量O U示例中模拟的波动率和恢复的波动率函数的数值示例。0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 T0.10.20.30.4模拟模型，VIXt=h（0）exp（x）-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8x0.10.20.30.4恢复的波动率函数v（x）M=3M=6h（x）=h（0）exp（x）图1：对于标量Bergomi模型，VIX为h（x）=h（0）eγx，其中h（0）=。2，γ=1，κ=3，σ=。5、平均波动率为20.1%，模型为20%。3.2多维Bergomi模型的多因素Bergomi模型VIX期货由DFT、TFt、T=γ给出*e-k（T-t） σdWt，其中k是具有正特征值的d×d矩阵，σ是d×d常数矩阵，wt是d维不相关布朗运动，γ是d×1向量。设XT为DXT给定的多维OU过程=-kXtdt+σdWt。为了保证Xt的平稳性，假设k的特征值具有正实部，并且(-k、 σ）为可控对，即中兴通讯-kuσ*e-k*udu是可逆的f或所有t>0。在这些假设下，OU进程XT的分布将收敛到平稳状态。XT的不变密度是均值为零的d维高斯密度，d×d协方差矩阵∑is∑=Z∞e-kuσ*e-k*udu，（23），如果对是可控的，则为有限的，n为单数。从（23）的积分公式可以看出，∑满足静态李雅普诺夫方程，k∑+σk*= σσ*. （24）因此，对于Ft，TisFt，T=F，市场模型SDE的解决方案∞经验值-γ*e-k（T-t） ∑e-k*（T-t） γ+γ*e-k（T-t） Xt！，其中F∞= 限制→∞英尺，吨。