时间齐次SPX随机的一致模型间规范

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英文标题：
《Consistent Inter-Model Specification for Time-Homogeneous SPX Stochastic
  Volatility and VIX Market Models》
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作者：
Andrew Papanicolaou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper shows how to recover stochastic volatility models (SVMs) from market models for the VIX futures term structure. Market models have more flexibility for fitting of curves than do SVMs, and therefore they are better-suited for pricing VIX futures and derivatives. But the VIX itself is a derivative of the S&P500 (SPX) and it is common practice to price SPX derivatives using an SVM. Hence, a consistent model for both SPX and VIX derivatives would be one where the SVM is obtained by inverting the market model. This paper\'s main result is a method for the recovery of a stochastic volatility function as the output of an inverse problem, with the inputs given by a VIX futures market model. Analysis will show that some conditions need to be met in order for there to not be any inter-model arbitrage or mis-priced derivatives. Given these conditions the inverse problem can be solved. Several models are analyzed and explored numerically to gain a better understanding of the theory and its limitations.
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中文摘要：
本文展示了如何从波动率指数期货期限结构的市场模型中恢复随机波动率模型（SVM）。与支持向量机相比，市场模型在拟合曲线方面具有更大的灵活性，因此它们更适合为波动率指数期货和衍生品定价。但波动率指数本身是标准普尔500指数（SPX）的衍生品，通常使用支持向量机对SPX衍生品进行定价。因此，SPX和VIX衍生品的一致模型将是通过反转市场模型获得SVM的模型。本文的主要结果是，利用波动率指数期货市场模型给出的输入，将随机波动率函数恢复为反问题的输出。分析将表明，为了不存在任何模型间套利或定价错误的衍生品，需要满足一些条件。在这些条件下，可以求解反问题。为了更好地理解该理论及其局限性，对几种模型进行了数值分析和探索。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：Quantitative derivatives homogeneous Numerically limitations

SPX和VIXDerivatives的一致时间齐次建模*+A、 Papanicolaou2022年3月16日摘要本文展示了如何从波动率指数期货期限结构的市场模型中恢复随机波动率模型（SVM）。市场模型比支持向量机更灵活地拟合曲线，因此更适合为波动率指数期货和波动率指数衍生品定价。但波动率指数本身是标准普尔500指数（SPX）的衍生品，通常使用支持向量机对SPX衍生品进行定价。因此，SPX和VIX的一致性建模应包括一个SVM，该SVM可通过反转市场模型获得。本文的主要结果是通过求解一个反问题来恢复随机波动率函数，其中输入是市场模型给出的VIX函数。分析将显示该反问题唯一解决方案所需的条件。如果覆盖的波动率函数是非负的，则模型是一致的。举例说明了该理论，强调了解决方案中的负性问题，并显示了非马尔可夫过程中可能存在的不一致性。关键词：随机波动率、市场模型、波动率指数期货、一致定价。AMS主题代码：91B24、91B70、45Q05内容1动机和公式21.1问题公式。31.2背景文献。41.3本文件的结果和组织。

5.*数据共享和数据可访问性：数据共享不适用于本文，因为本研究未创建或分析新数据。+这项工作得到了NSF拨款DMS-1907518的部分支持北卡罗来纳州立大学数学系，地址：2311 Stinson Drive，Raleigh，NC 27695。apapani@ncsu.edu2定义和主要结果52.1一致性。62.2主要结果：v（x）的马尔可夫反问题。92.2.1一般可解性。92.2.2通过特征级数展开求解。123可跟踪模型的应用133.1标量Bergomi模型。133.2多因素Bergomi模型。183.3三/二模型。213.4双Nelson模型。283.5布朗运动因子的非负解。304非马尔可夫市场模型324.1常数νθ（t）的标量一致性。324.2不一致的示例。335总结和结论331动机和公式波动率交易在21世纪随着波动率指数衍生工具的引入而增加。这两种衍生品是2004年开始在CBOE上交易的VIX期货和2006年开始在CBOE上交易的VIX（欧洲）期权。还有写在这些期货上的交易所交易票据（ETN），以及写在这些ETN上的期权。波动率指数衍生品的定价使用所谓的市场模型，即期货期限结构的随机模型。

使用m市场模型时需要记住的一点是，已发布的指数波动率指数是根据欧洲标准普尔500指数（SPX）期权计算的，这意味着波动率指数实际上是SPX衍生品。因此，如果存在SPX期权的既定价格，VIX价格可能部分可确定。此外，SPX衍生品定价使用随机波动率模型（SVM），而不是市场模型。因此，如果同时使用市场模型和支持向量机分别为波动率指数（VIX）和波动率指数（SPX）衍生品定价，则存在潜在的价格冲突。要理解为什么这样的冲突会成为一个问题，请考虑一个单一金融机构有两个独立的交易平台的情况：一个用于SP X衍生品，另一个用于VIX衍生品。每个楼层都有自己的交易员，他们根据自己的特定模型报价。如果这些模型对30天方差的结果有实质性不同的评估，则可能存在交易台间套利，即允许第三方（机构外部）采取SPX交易台提供的SPX衍生品价格，并针对VIX交易台提供的VIX衍生品价格进行套利的错误定价。这个问题的解决方案应该为模型的一致性提供一个标准，而在实际环境中，应该提供一种方法，根据另一个模型来指定一个模型。本文提出了这样一种解决方案。1.1问题公式集St表示标量价格过程f或SPX，让Xt表示d为正整数的d维因子过程。

考虑一个模型，其中SPX回报由风险中性SVM给出，dStSt=rdt+v（Xt）dBt，（1）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，（2）其中r≥ 0是无风险利率，v（x）是标量值波动率函数，u（x）是多维漂移，σ（x）是d×d d扩散矩阵，WT是d维风险中性向量值标准布朗运动，d Bt是风险中性标量布朗运动，WT和Bt之间的相关性用ρ表示，dBtdWit=ρidt表示1≤ 我≤ d用（Ft）t表示≥0 WT和Bt产生的过滤。VIX是风险中性预期实现的30天方差的平方根，在（1）和（2）的连续差异模型中，VIXT=sEτZt+τtv（徐）du英尺,式中，τ=30天，且HT给出VIX未来-t（Xt）=t的E[VIXT | Ft]≤ T（3） 对于该支持向量机，很明显，资产价格St、波动率指数和所有波动率指数期货都是Ft-adaptedMarkov过程。与支持向量机不同的是市场模型，旨在直接描述VIX和VIX期货。让Ft，Tbe作为到期的VIX期货的市场模型价格≤ T这些价格来自以下SDEs系统，dFt，TFt，T=ν（T，T）dWt，（4）其中，WT是等式（2）中的相同布朗运动，其中，波动率ν（T，T）是一个Ft适应的d维行向量函数，特定于给定T。该模型同时应用于T的多个或连续统，从而形成VIX期货的完整曲线。重要的是要记住，方程式（4）通常是时间非齐次非马尔可夫模型，但本文的结果适用于时间齐次马尔可夫市场模型，该模型也由因子过程Xtofequation（2）驱动。

第2.1节将阐述时间同质性和马尔可夫性的假设以及一些解释，但第4节将进一步讨论，其中将说明在试图用非马尔可夫市场模型指定一致的马尔可夫VM时，本质上是如何存在矛盾的。本文考虑的市场模型包括：Bergomi型市场模型，其中ν（t，t）=γ*e-k（T-t） σ，其中k和σ为d×d正定义矩阵，γa为d×1波动向量；一个三分之二的市场模型，其中所有期货均为Ft给出的VIX预期，t=1/XT，XT为Cox-IngersolRoss（CI R）过程；与模型相似的双Nelson（或双均值回复模型）[6]；XT是布朗运动的非平稳模型。在实践中，使用市场模型是一个好主意，因为波动率指数期货非常具有流动性，有丰富的信息可用于了解波动状态。因此，有必要首先定义市场模型，然后根据市场模型的结构构建支持向量机。如果市场模型是与SVM具有相同因子的马尔可夫模型，则瞬时方差v（x）是反问题的解。该逆问题的公式如下：如果所有x的因子过程u（x）和σ（x）的系数都已知，且市场模型提供了函数h（x），则v（x）的逆问题表示为ash（x）=EτZt+τtv（徐）duXt=x. （5） 第2节表明，如果过程Xt是遍历的，并且具有与其微元生成器对称的不变定律，使得Xt可逆，并且还有一个谱gap[4]，那么在某些可积条件下，存在唯一的v（x），它是方程（5）的解。

此外，如果解是非负的，则市场模型为方程（1）提供了有效的波动率函数，留下了相关系数ρ，ρdas为SVM确定的唯一剩余参数。然而，很难证明解的非负性；第3节的例子进一步探讨了这个问题。类似的非负性问题出现在文献的其他地方，例如量子逆散射理论[13，12]和Fourier分析[39]。在大多数情况下，证明积极性的文献中的结果不如解决方案存在的理论那么普遍。1.2背景文献S VM的背景，包括Heston模型，可以在各种书籍和论文中找到，包括[18，23]，以及涉及跳跃的更一般模型[16]。BergomiThis的论文自始至终都会提到“Bergomi模型”，也许它应该说“VIX期货的Bergomi类型模型”，但这将很难理解，因此该名称被用于一般意义上。最初的Bergomi模型是针对未来瞬时方差的曲线，而不是直接针对VIX。[7、8、9]介绍了期货方差模型，并在[10]中给出了方差期货曲线中的偏差一致性条件。[11、22、36、37]中讨论了术语结构和associatedHeath Jarrow Morton（HJM）框架。在[25]中，使用具有随机波动性的市场模型来推导波动率指数期货的公式。在过去十年中，对SPX和VIXoptions的联合模型进行了大量研究，其中包括对广泛使用的支持向量机进行一些重新评估，以及寻找适合这两个市场的新模型。一个这样的例子是所谓的3/2模型，该模型在[5，15]中进行了分析，是一种流行的选择，因为它能够反映波动率期权中日益增加的右手隐含波动率偏差。

在【6，19】中，使用双因素差异模型，搜索同时将SVM校准到SPX和VIX选项的模型；在【14】中，提出了一种使用跳变函数进行联合校准的数值有效模型；在[28]中，对赫斯顿模型进行了探索，其跳跃揭示了波动率期权的证据，表明波动率过程中存在跳跃；在[26]中，进一步探讨了带有跳跃的Heston模型以及Feller条件所起的作用；在【30】中，提出了位移或波动性push-u p，以改善模型的联合效应；在【33】中，使用赫斯顿模型的状态切换扩展提出了联合校准模型【23】；在【17】中，建议我们使用Heston vol of vol模型。[21]中采用了一种不同的方法，其中来自非参数族的联合分布同时满足VIX和SPX选项的边际分布，并且证明其无套利。SPX和VIX联合市场的非特定模型分析包括[32]和[31]中的未来方差掉期利率数据分析。Alex Badran的博士论文[2]也研究了支持向量机和市场模型之间的一致性问题。1.3本文的结果和组织第2.1节介绍了定义2.1，正式说明了支持向量机和市场模型之间一致性的含义。第2.2节给出了本文的主要结果，即方程（5）的可解性定理。

第3节给出了可处理模型的示例：第3.1节和第3.2节分别探讨了标量和多元Bergomi模型，对于这些模型，反问题具有显式的特征函数展开；第3.3节着眼于市场模型，其中VIXT是一个三分之二的过程，而ich也有一个明确的特征函数展开；第3.4节介绍了double Nelson市场模型，该模型易于处理，具有良好的统计特征来拟合数据，但其反问题没有所有x的正解；第3.5节研究了具有布朗运动因子过程的非平稳模型，对于该模型，应用Bochner定理可确保非负性。第4节进一步讨论了非马尔可夫市场模型的问题。2定义和主要结果具有固定期限的期货合同的价值被称为恒定到期未来（CMF），即恒定θ≥ 0由SVM给出的带水平θ的CMF价格为，hθ（Xt）=E【VIXt+θ| Ft】，（6），市场模型给出的C MF为，Ft，t+θ=E【Ft+θ，t+θ| Ft】。（7） 与常规期货不同，CMF不是风险中性鞅。相反，它们的差异是非零漂移，dFt，t+θFt，t+θ=Yθtdt+ν（t，t+θ）dWt，（8）其中Yθt=Tlog（英尺，吨）T=T+θ。在静止的情况下，Yθt，Yθt有以下表示=-Zt公司-∞ν（u，T）Tν*（u，T）du+Zt-∞Tν（u，T）dWuT=T+θ，（9），从中可以看出，平稳性要求ν（T，T+θ）和Tν（T，T）T=T+θ。例如，ν（t，t）=γe-k（T-t） 导致静止CMF。数量Yθ具有重要意义，因为它是跟踪CMF回报的交易策略的滚动收益率（见[1]）。2.1一致性首先需要确定本文件的一致性含义：定义2.1（一致性）。

假设SVM方程（2）中的SDE存在唯一的强解，并且（8）中给出的CMF的SDE也存在唯一的强解。如果CMF同意，SVM和市场模型具有一致的价格，即ifFt，t+θ=hθ（Xt）a.s。t型≥ 0和 θ ≥ 0，（10），其中hθ（x）是（6）中定义的SVM的CMF。备注1。确认SVM和市场模型之间一致性的关键步骤是证明方程式（10）所表达的陈述。然而，SVM是这样的-t（Xt）=所有t的E【h（Xt）| Ft】≥ 0，市场模型是这样的，对于所有T≥ t、 所以可以表示ft，t=h（Xt）a.s。t型≥ 0 .也就是说，SVM和市场模型共享相同的过滤（Ft）t≥0和两个hT-t（Xt）和Ft是构造的鞅，所以需要检查的是模型在各自的VIX过程之间是否一致。如果定义2.1不成立，则存在套利的可能性。例如，在[32]中，它显示了价格应该如何遵守某些结构界限，否则就存在产生套利的期权组合。从定义2.1中，首先要注意的是，方程（8）的解是XT的函数，并不单独依赖于t。因此，马尔可夫支持向量机未来价格需要与市场模型的价格相等，因此市场模型也应该是马尔可夫过程。因此，最简单的方法是假设SVM和市场模型都是马尔可夫模型，都是由因子过程Xt驱动的；第4节将介绍与此问题相关的讨论和反例。定义2.1中需要注意的第二件事是，SVM中的时间同质性意味着市场模型中的时间同质性。