时间齐次SPX随机的一致模型间规范

对于这个多维模型，对数未来相对于T isfθ（Xt）的导数=Tlog（英尺，吨）T=T+θ=γ*ke公司-kθ∑e-k*θγ +γ*e-kθ∑e-k*θk*γ - γ*ke公司-kθXt。方程（11）的波动函数为νθ（Xt）=γ*e-kθσ。VIX的公式是显式的，由fr om（15）（达到初始值）得到，hθ（x）=hθ（0）exp（γ*e-kθx）。与第3.1节中的标量情况一样，很容易在可解性条件（22）下进行验证。当k可与线性独立的特征向量对角化时，则生成器具有一组离散的特征值和由多元Hermite多项式给出的完整的双正交（通常）基函数（见[24，27，40]），因此，即使生成器在假设2.4的意义下通常不是对称的，第2.2.2节的方法也适用。例如，考虑[1，7]中的二维模型，其中因子为dxit=-对于i=1和2，κixidt+σidwit，对于i=1和2，κi>0，dWtdWt=ρdt，VIX为h（x）=h（0）expx+x,其中，为简单起见，假设γ=1，1=（1，1）*. XtisL=跟踪的生成器σρσσρσσσ*- x个*κ0 κ ,不变密度为ω（x）=2πp∑exp-x个*Σ-1台,式中，∑=σ2κρσσκ+κρσσκ+κσ2κ！，所以（24）成立。在[40]之后，伴随算子L的本征函数φ*为φn（x）=-x个n-x个nω（x），其中nand是非负整数；请注意，L*ω = 0. 这些φn是方程l的解*φn=-αnφn，其中αn=nκ+nκ。然后，算子L的本征函数ψ是多变量厄米多项式，其ψn（x）=ω（x）φn（x），并满足方程Lψn=-αnψn；这些ψn中的每一个都是一个次数等于n+n的多项式。

在这种情况下，传递度核是Φ（y，x）=τZτyyP（Xt≤ y | X=X）dt，其中Xt≤ y表示元素不等式，d当应用于多元Hermite多项式时，与第3.1节的标量OU示例类似，存在特征值λ=1λn=1- e-αnταnτn≥ 1.ψn的集合在L（R；ω）中形成了一个完整的基，它相对于第二个基满足双正交关系。将第二组基函数定义为beeψn（x）=ω（x）-zn-znω（∑z）z=∑-1x。在Zreψn（x）ψm（x）ω（x）dx=n的意义上是双正交的！nδ（n- m） 。表示1=（1，1）*, 逆p问题ish（0）exp（x*1） =τZτEhv（Xt）Z=zidt=∞Xn=0anλnψn（x），对于所有x∈ R、 通过双正交关系，其解为n=h（0）λnn！nZRexp（x*1） eψn（x）ω（x）dx=h（0）λnn！n锆exp（z*Σ1)-zn-znω（∑z）z=∑-1xdx=h（0）（∑+∑）n（∑+∑）nλnn！nZexp（x*1） ω（x）dx=h（0）（∑+∑）n（∑+∑）nλnn！n经验值*Σ1.与标量Bergomi一样，不需要检查解的可解性、存在性或唯一性，因为解的特征系数是显式的。图2和图3显示了该2因素Bergomi模型以及恢复的v（x）的模拟，这看起来是正的，图4显示了差异Q（x）=v（x）- h（x）到gaina sens e的v（x）和VIX函数h（x）中的差异因子敏感性。近似v（x）使用所有高达并包含6，v（x）幂的多元Hermite多项式≈qPNanψn（x），其中n={n:n+n≤ 6}. 仅使用6次多项式是非常精确的，因为近似的平均误差为10阶-6，即r | x | Pi，jqPNanψn（xij）- h（xij）= O（10-6） 其中，xijdenotes以Rand | x |表示离散评估点的总数。注意atrv（x）ω（x）dx=Rh（x）ω（x）dx（看看为什么（16）的两边都乘以ω（x）并进行积分）。

从该曲面图可以看出，当快速均值回复因子较低（即，当nx<0）时，持续因子x的上升对VIX的影响大于对v（x）的影响；这可以在曲面图的一角看到，其中Q（x，x）几乎为负。这是对反问题解决方案的一个有趣的警告，因为它说VIX可以比瞬时波动率更持久，但这不应该太令人惊讶，因为VIX是平方瞬时波动率移动平均值的平方根。3.3 3 3/2模型考虑一个m市场模型，该模型基于平方VIX是一个3/2过程，VIXt=Vt=Xt，其中Xt是一个C IR过程，dXt=κ（(R)x- Xt）dt+σpXtdWt，其中2κ′xσ>2。应用It^o引理yieldsdVt=Xtκ - （κ'x- σ） Xtdt公司- σXt公司3/2dWt=Vtκ - （κ'x- σ） Vt公司dt公司- σV3/2tdWt，从中可以看到差异中的3/2幂，因此给过程命名。请注意，此3/2模型基于假设2.2，因为Xt的SDE具有非利普希茨系数。然而，XT确实有str on g解决方案，未来是Ft，T=E[√所有t的VT | Ft]≤ T，这是构造鞅。因此，不需要假设2.2，一致性定义2.1适用于该模型。本节中提出的模型类似于[20]中使用的模型，其中VIXt=1/Xt，此处也可以这样做，但需要2'xκσ>4才能具有串联扩展的过分整体性。0 1 2 3 4 5 6 7 8 10t-1-0.50.51.52维OU过程0 1 2 4 5 6 8 9 10t0.10.20.30.40.5模拟模型，VIXt=h（0）exp（.5（x+x））图2：对于2因子Bergomi模型，模拟的2维OU过程Xt=（Xt，Xt）和VIXt=h（0）exp（Xt+Xt）, 参数h（0）=。2, κ= 1, κ= 10,σ= .6, σ= .8，ρ=。4、本次实现的平均VIX为22.2%，模式为20.0%。

XT过程是持久的，因为它具有较慢的均值回复。首先考虑归一化CIR过程，其生成器具有完整的IGenfunctions正交基，由广义拉盖尔多项式给出。因此，利用特征级数展开和第2.2.2节的方法再次解决了反演问题。考虑归一化的CIR过程，dZt=（1+α- Zt）dt+p2ZtdWt，其中α>0。此过程的生成器isL=zz+（1+α）- z）z、 L的本征函数满足方程Lψn=-nψn=0，1，2，其中每个ψ都是广义拉盖尔多项式，ψn（z）=n！埃兹-αdndzne-zzn+α,0.050.40.10.150.20.20.250.30.5恢复的v（x，x）0.35x0.4x0.45-0.2-0.5-0.4-1图3：参数h（0）=的2因子Bergomi模型恢复的v（x）近似值。2, κ= 1, κ= 10, σ= .6, σ= .8，ρ=。近似V（x）使用高达并包括6次幂的多元Hermite多项式-0.060.4-0.04-0.020.20.5Q（x，x）=v（x，x）-h（0）exp（.5（x+x））x0.02x0.04-0.2-0.5-0.4-1图4：对于双因子Bergomi模型，Q（x）表示随机波动率函数和VIX之间的差异，Q（x）=v（x）- h（x），其中h（x）=h（0）exp（x+x）.模型参数为h（0）=。2, κ= 1, κ= 10, σ= .6, σ= .8，ρ=。4.即ψ（z）=1ψ（z）=-z+α+1ψ（z）=z- （α+2）z+（α+2）（α+1）。。。这些多项式与Z的不变测度Z正交∞ψn（z）ψm（z）ω（z）dz=cnδ（n-m） ，其中cn=Γ（n+α+1）n！Γ（α+1），ω（z）=Γ（α+1）zαexp(-z） ，γ函数的α>1。这些本征函数在L（R+；ω）中形成一个完全正交基，并且很方便，因为ψn（Zt）Z=zi=e-ntψn（z）。对于上面定义的CIR过程Xt，与ascaled Zt存在以下弱等效性，Xt=dσ2κZκt，α=2'xκσ-1.

还应确定标度域方差或波动率函数，v（z）=vσ2κzz>0，然后注意τzτE[v（Xt）| X=X]dt=τzτEv（Zκt）Z=2κσxdt。因此，确定Zt的核是有用的，Φz（y，z）=τRτyP（Zκt≤ y | Z=Z）dt，当应用于拉盖尔多项式时，类似于标量OU示例，Z∞Φz（y，z）ψ（y）dy=1Z∞Φz（y，z）ψn（y）dy=τzτe-κntψn（z）dt=1- e-κnτκnτψn（z）n≥ 1，有特征值，λ=1λn=1-e-κnτκnτn≥ 1.因此，如果SVM和市场模型一致，那么VIXt=h（Xt）由市场模型明确给出，h（x）=x=2κσz，如果α>1，则为L（R+；ω）。然后，根据z和标度函数v（z），反问题的解具有展开式v（z）=∞Xn=0anψn（z），因此2κσz=τzτEhv（zκt）Z=zidt=∞Xn=0anλnψn（z），对于所有z>0。利用正交性，系数arean=2κσλncnn！Γ（1+α）Z∞zdndzne-zzn+αdz=2κσλncnΓ（1+α）Z∞e-zzα-1dz=2κσλncnΓ（1+α）Γ（α）=2κΓ（α）n！σλnΓ（n+α+1）。对于n large，存在以下行为≈ n-α+1，需要α>2才能得到▄v（z）展开式的平方可积性。最后，对于x，解决方案是v（x）=∞Xn=0anψn2κσx.图5显示了3/2过程的模拟以及使用25和30拉盖尔多项式对恢复函数v（x）的两种近似。在图中，模拟运行了10年，时间步长为t=1/365，并产生经验统计数据NPNI=1VIXti=19.89%和模型≤N（VIXti）=16.0%（总和N=10×365=3650）。图中显示了恢复的v（x）fr om，很明显，与VIX相比，瞬时波动性更受Xt低值的影响；i、 随机波动率对Xt的左尾分布更为敏感。

还请注意，从图中可以看出，数值解是正的。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t（年）0.20.40.60.8模拟3/2过程模型，VIXt=Xt-1/22 6 8 10 12 14 16 18 20 x0.51.5恢复的波动率函数v（x）M=25M=30h（x）=x-1/2图5：对VIXt=Xt的市场模型的3/2过程和恢复的波动率函数的模拟，其中Xt是CIR过程。在底部图的图例中，M=25表示使用二十五个拉盖尔多项式的近似值，M=30表示使用三十个多项式的近似值，d h（x）=1/√x是市场模型的VIX函数。在b othplots中，CIR参数为κ=4、(R)x=30和σ=6.9282；这得出α=4。对于这些参数，CIR过程大约95%的时间在10到50之间。3.4双Nelson模型考虑二维均值回复过程Xt=（Xt，Xt）和动力学，dXt=κ（Xt- Xt）dt+σXtdWt（25）dXt=κ（(R)x- Xt）dt+σXtdWt，其中'x>0，κ>0，κ>0，dWtdWt=ρdt。这是双Nelson模型，它是双GARCH模型的连续时间限制。将波动率定义为beVIXt=h（Xt）=Xt，期货曲线Ft，T=E[h（Xt）| Xt]为Ft，T=Xte-κ（T-t） +(R)x（1- e-κ（T-t） ）+（Xt- \'\'x）κ（e-κ（T-t）- e-κ（T-t） ）κ- κ.这是一个市场模型，对于该模型，反向问题将从由相同因子Xt和Xt驱动的SVM中找到v（x）fr。该模型的微型生成器是不对称的，因此第2.1条的一般理论并不直接适用。然而，f因子过程满足随机微分方程的线性系统，其中有异序矩的闭合方程，因此可以应用第2.2.1节（22）给出的可解性条件。零到期滚动收益率为Tlog（英尺，吨）T=T=f（x）=κxx号- 1.,波动率为ν（t，t）=σ，因此方程（22）的可解性条件为2κhx（x- x） i=-σx.

（26）可以使用g It^o引理计算不变矩，然后取期望值，hxi=\'xhxi=\'xx个=2κ？x2κ- σhxxi=κ′x+κx个κ+ κ- ρσσx个=2κhxxi2κ- σ.因此，如果2κ-σ> 0和d 2κ-σ> 0以确保X具有有限（不变）秒动量，且hxxi是有限的，κ+κ- ρσσ>(σ, σ)1.-ρ-ρ 1σσ> 0，则在等式（26）成立时紧随其后。逆问题ish（x）=EτZτv（Xu）duX=X,当h（x）=x时，通过寻找形式为v（x）=ax+axx+ax+bx+bx+c的解来进行表达式求解。通过显式求解动量su（t）=E[（Xt）| X=X]，u（t）=E[XtXt | X=X]，…，可获得i的系数aijand Bif，j=1，2，满足由因子过程（25）的随机微分方程通过I to公式获得的线性普通微分方程组，dudt=-(2κ- σ） u+2κu，u（0）=xdudt=-(κ+ κ- σσρ）u+κu+κ'xu，u（0）=xxdudt=-(2κ- σ） u+2κ'xu，u（0）=xdudt=κ（u- u） ，u（0）=xdudt=κ（(R)x- u） ，u（0）=x。注意，上面得到的不变矩只是这些矩的极限值ast→ ∞, 这要求上面介绍的κ，κ，σ，σ，ρ之间的关系也保持不变。因此，x=τZτE[v（Xt）| x=x]dt=τZτau（t）+au（t）+au（t）+bu（t）+bu（t）+c通过调整系数a，a。对于x，解为v（x）=v（x，x）≥ 0和x≥ 0，这是（x，x）中的二次多项式。

然而，这种解决方案不会是n开-负的，因此对于支持向量机来说是不可接受的。要了解解v（x，x）如何变为负值，请考虑简化的逆问题x=τZτE[v（Xt）| x=x]dt，其解v（x）=bx+bx+c只需要一个线性表达式。Thusx=τZτE[v（Xt）| X=X]dt=τZτbu（t）+bu（t）+cdt，U（t）=e-κtx+κ（e-κt- e-κt）κ- κx+（1- e-κt）(R)x-κ（e-κt-e-κt）κ- κ′x，u（t）=e-κtx+（1- e-κt）(R)x。插入这些表达式并进行时间平均，可以看出，为了解决反问题，b=κτ1- e-κτ，所以右边xon的系数是1。然后取Bt使Xequal的系数为零，这将导致b=-bκτ1- e-κττZτκ（e-κt- e-κt）κ- κdt。求解b带后，常数c等于其余项。最后是双负f或任何κ，κ，这使得解v（x）=bx+bx+c，x≥0，x≥ 0，在0和xlarge附近取负值。这表明，在定义2.1.3.5布朗运动因子的非负解的意义上，考虑到另一个不具有假设2.3和2.4的平稳性，而是由布朗运动Zt驱动的市场模型的例子，它们不可能是一致的。这是一个关于hto的一般条件的例子，以确保恢复的波动率函数的非负性。逆问题ish（z）=τzτEv（z+Zt）dt，其中Zt是标准布朗运动。

傅里叶变换被用来解决这个问题。要考虑的空间是L（R，dz），傅立叶元素是ψ（k，z）=√2πeikz，与δ函数δ（k）具有广义正交性-k′）=2πReik′ze-ikzdz。市场模型的VIX函数和SVM函数具有傅立叶变换sch（k）=√2πZe-ikzh（z）dzbv（k）=√2πZe-ikzv（z）dz。傅里叶变换用于变换逆问题，ch（k）=τ√2πZτEeikZtZe-ik（z+Zt）v（z+Zt）dzdt=bv（k）kτ1.- e-τk.因此，问题的解是bv（k）=kτ2（1- e-τk）ch（k）。如果kch（k）在L（R，dk）中，那么Parseval的恒等式表示解v（z）在L（R，dz）中，kvk=zkτ√2π2(1 - e-τk）ch（k）dk<∞ .Ifbv（k）是连续的正定义，也就是说，如果对于任何kl∈ R和cl∈ C代表l = 1, 2, 3, . . . , M f或M任意正整数，MXl,l′=1c级l\'\'cl′bv（kl- kl′) ≥ 0，则Bochner的th-eorem应用[35]和v（z）=√2πReikzbv（k）dk为非负。这是求逆问题非负解的一般准则，但Bochner定理的这种应用特别适用于Fourier特征函数的情况。为了进一步说明，考虑具体例子H（z）=c+γz，并使用Zta标准布朗运动。对于反问题h（z）=τzτE[v（z+Zt）| z=0]，很容易检查，c+γz=τEZτc+γ（z+Zt）-τγdt。因此，如果c≥τγ.4非马尔可夫市场模型let hθ（x）表示从马尔可夫支持向量机导出的CMF。假设假设2.1不成立，因此可能存在非马尔可夫动力学。然后，为了检查定义2.1的一致性，有以下一对方程，它们是（14）和（15）的推广，trace[σσ*（Xt）*]hθ（Xt）+u*（Xt）hθ（Xt）hθ（Xt）=Yθt（27）σ*（Xt）hθ（Xt）hθ（Xt）=ν*θ（t），（28），其中Yθ是方程（8）中的轧辊屈服强度。

从等式（27）和（28）可以清楚地看出，必须对市场模型施加马尔可夫表示。即，Yθt=fθ（Xt），其中fθ（Xt）等于方程（27）的左侧，dνθ（t）=νθ（Xt），其中νθ（Xt）等于方程（28）左侧的转置。4.1常数νθ（t）的标量一致性考虑方程（2）中的Xt和Wtin是标量过程的情况。假设νθ是一个标量、常数的定常函数，νθ（t）=νθ∈ Rt。然后，解方程（27）和（28）得出以下VIX未来和r oll收益率，fθ（x）=νθu（x）+σ（x）νθ-ddxσ（x）σ（x），（29）hθ（x）=hθ（x）expνθZxxdyσ（y）θ ≥ 0 . （30）在这个方程中，假设σ（x）是严格正的，其逆e是可积的。4.2不一致示例存在违反方程式（29）标量一致性公式的非平凡情况。例如，假设市场模型的效用函数存在代数衰减，νθ=γ1+θ。然后，可通过It^o引理计算CMF的SDE，该引理产生以下辊产量，Yθt=γ（1+θ）-Zt公司-∞γ（1+t+θ）- u） dWu。由于Yθtitself不是一个马尔可夫过程，所以几乎不能肯定马尔可夫过程x的函数可以等于这个过程。因此，公式（29）不能成立。5总结和结论本文的成果是推导出适用于波动率指数的SPX-givena市场模型的一致性支持向量机。主要结果是定理2.1，该定理给出了从市场模型给出的VIX函数唯一确定SVM波动函数的条件，前提是这两个模型由相同的基本平稳遍历因子过程驱动。定理的条件包括VIX函数的矩、因子过程不变测度的唯一性，并要求算子半群具有谱间隙。