等级效应

适用于所有1≤ c<N，小型投资组合是一个价值过程，满足Vsc（T）- log Vm（T）=ZTd∧c（T）Θsc（T）+logΘsc（T）- 所有T的logΘsc（0），（3.22）。适用于所有1≤ c≤ N、 大型投资组合BCC有一个价值过程Vbc，它满足了Vbc（T）- 日志Vm（T）=-ZTd∧c（t）Θbc（t）+logΘbc（t）- 所有T的logΘbc（0），（3.23）。定理3.2之所以强大，是因为它将排名靠后和排名靠前的资产子集的所有投资组合的相对价值分解为累积排名交叉，如非负本地时间过程d∧c所测量的，以及排名靠后和排名靠前的资产子集的相对价格变化。在大型投资组合的情况下，这些交叉从相对回报中减去，因为它们由排名较高、价格较高的资产组成，而这些资产不属于最顶端的子集。至关重要的是，这些投资组合很容易构建，而对资产的基本面一无所知。小型和大型投资组合scand bchold分别持有相同数量的底层N股- c级资产和始终排名第一的c级资产。随着时间的推移，这些资产价格排名很容易观察到，不需要复杂的计算或昂贵的信息获取。除了分解（3.22）和（3.23），定理3.2还得出了小投资组合相对于大投资组合价值的简单组合。这可以通过从（3.22）中减去（3.23）立即获得。推论3.3。适用于所有1≤ c<N，小投资组合Sc相对于大投资组合Bcsatieslog Vsc的价值（T）- 对数Vbc（T）=ZTΘsc（t）+Θbc（t）d∧c（t）+对数Θsc（T）/Θbc（T）- 日志Θsc（0）/Θbc（0）,（3.24）对于所有T。与定理3.2一样，推论3.3将小投资组合相对于大投资组合的价值分解为累积排名交叉和小排名最低资产相对于大排名最高资产价格的变化。

在该分解中，累积秩交叉是通过局部时间过程d∧c来度量的，正如定理所示。该分解适用于任何小的大阶cuto ffc。定理3.2中的分解（3.22）和（3.23）分别描述了相对于调整后的本地时间过程累积值中时间T的市场投资组合m的对数值，RTd∧c（T）2Θsc（T）和-RTd∧c（t）2Θbc（t），以及排名靠后和靠前资产组的对数相对价格变化，分别为logΘsc（t）- logΘsc（0）和logΘbc（T）- logΘbc（0）。为了从这些相对投资组合价值的特征化转变为相对投资组合回报的特征化，我们对（3.22）和（3.23）的两面进行了区分。该产量记录Vsc（t）- d log Vm（t）=d∧c（t）2Θsc（t）+d logΘsc（t），（3.25）表示所有t，d log Vbc（t）- d log Vm（t）=-d∧c（t）2Θbc（t）+d logΘbc（t），（3.26）对于所有t。根据（3.25），相对于市场的小投资组合的对数回报可以分解为正秩交叉，通过d∧c测量≥ 0和排名靠后资产的相对价格变化，由d logΘsc衡量。类似地，（3.26）指出，大型投资组合相对于市场的对数回报可以分解为负和交叉，由-d∧c≤ 0，以及通过d logΘbc测量的顶级rankedassets相对价格的变化。（3.24）yieldsd log Vsc（t）的类似变换- d日志Vbc（t）=Θsc（t）+Θbc（t）d∧c（t）+d对数Θsc（t）/Θbc（t）, （3.27）对于所有t。

与（3.25）和（3.26）一样，（3.27）指出，与大投资组合相关的小投资组合的对数回报可以分解为正秩交叉，再次通过d∧c测量≥ 0，以及排名靠后的资产相对于排名靠前的资产的价格变化，通过d log（Θsc/Θbc）测量。相对回报特征（3.25）-（3.27）与导言中的直觉版本（1.1）具有相同的形式。因此，定理3.2和推论3.3意味着排名靠后的相对资产价格的增加（减少）会提高（降低）小投资组合相对于市场和大投资组合的回报。它们还意味着，如果排名靠后和靠前的相对价格不变，那么小投资组合的相对回报将为非负或正，而大投资组合的相对回报将为非正或负。这种等级效应是（3.22）-（3.24）中当地时间过程非负性的一个简单而必要的结果。我们使用第4节中的商品期货数据来验证这些预测。定理3.2和推论3.3的另一个含义是，投资组合scand Bc的相对值分解的一部分是一个有限的变化过程。特别是，调整后的当地时间过程的累积值RTd∧c（t）2Θsc（t）是一个有限的施工变化过程，以及（3.23）和（3.24）中相应的调整后当地时间过程。要了解这些是有限变分过程的原因，请注意，非负连续过程的随机积分是非递减和连续的，任何非递减连续过程都是有限变分过程（Karatzas和Shreve，1991）。回顾第3.1节，一个有限的变化过程在每一个间期内都有有限的总变化【0，T】。

这意味着该过程具有零二次方差，或等效的零瞬时方差。在第4节中，我们使用月度商品期货数据对定理3.2所述的实际相对收益进行分解，并显示零瞬时方差过程rtd∧c（t）2Θsc（t）和正瞬时方差过程logΘsc（t）的时间序列行为之间的明显对比。特别是，我们发现，正如定理所预测的那样，有限变差过程的样本方差比正二次变差过程的样本方差低几个数量级。我们在（3.23）和（3.24）中也发现了类似的硝化过程行为。分解（3.22）-（3.27）比会计恒等式略多，会计恒等式在离散时间近似，在连续时间精确。对于资产价格的基本动态及其共同运动，基本上没有限制性的假设可以得出这些结果，因此很难想象一个有意义地偏离定理3.2或推论3.3的资产定价均衡模型。尽管有这种普遍性，但这些结果背后的两个简化假设——资产不支付股息，市场关闭，因此随着时间的推移，资产不会进入或退出——值得进一步讨论。如果我们在框架中包含股息，我们将得到与（3.22）-（3.24）非常相似的相对价值分解。唯一的区别是在分解（3.22）和（3.23）中增加了一个额外的术语，用于衡量大小投资组合相对于市场投资组合的累积股息的累积股息。类似地，需要在分解中添加一个额外的术语，用于衡量小投资组合的累积股息相对于大投资组合的累积股息（3.24）。

那么，在股息存在的情况下，相对资本收益仍然可以分解为排名交叉和相对价格的变化，如定理3.2和推论3.3所示。唯一复杂的是一个额外的术语，该术语将相对累积收益衡量为相对投资价值的一部分。定理3.2和推论3.3的结果也可以扩展到包括随着时间的推移进入和退出可用市场资产集。这是通过在分解（3.22）-（3.24）中引入另一个当地时间过程来实现的，该过程衡量进入和退出对所比较的一对投资组合回报的不同影响。我们在附录B中考虑了我们框架的这种扩展，并提供了与定理3.2和推论3.3.4中的分解相似的经验结果。在第3节中，我们充分概括了相对收益的特征，现在我们转向实证分析。我们希望利用实际资产价格数据研究定理3.2和推论3.3中分解的准确性。在本节中，我们将展示这些分解为小型和大型商品期货组合提供了实际相对回报的准确描述。4.1数据我们使用1969-2018年间30种不同商品期货的价格数据来检验我们的理论预测。选择关注商品期货的动机是，我们在理论框架上强加的两个最重要的假设——资产不支付股息，市场是封闭的，没有资产进入或退出——与商品期货市场相当密切。这些资产不支付股息，回报完全由资本收益驱动。商品期货也很少退出市场，这是值得注意的，因为这种退出会影响大小投资组合的回报。

事实上，我们所知的1969-2018年间，没有任何商品期货合约从市场上消失，因此在我们考虑的时间段内，这一潜在问题无关紧要。虽然新的商品期货合约确实在1969年至2018年期间进入了我们的数据集，但这种尝试并不影响我们的实证结果，我们很容易将其纳入我们的框架，如下所述。表1列出了我们1969-2018年数据集中30种商品期货的开始日期和交易市场。这些商品包括四个初级商品领域（能源、金属、农业和畜牧业）。该表还报告了各期货合约存续期内每日原木价格变化的年化平均值和标准差。这些数据从Pinnacle data Corp.获得，并在交易发生的每一天报告每种商品的两个月期初期货价格，每个月滚动合约。如（3.4）中θ（k）所定义的，排名相对资产价格对我们的理论框架和结果至关重要。然而，在商品价格的背景下，这一概念基本上是没有意义的，因为不同的商品是用桶、蒲式耳和盎司等不同的单位来衡量的。为了在商品期货的背景下给出排名价格的含义，我们使用1969年1月2日开始日期的数据对所有合同进行规范化，以便它们的价格彼此相等。所有随后的价格变化都会在没有修改的情况下发生，这意味着价格动态不会受到我们的正常化的影响。对于1969年之后进入我们数据集的商品，我们将其初始原木价格设定为等于该日期我们数据集中已有商品的平均原木价格。在这些商品以标准化价格进入数据集后，所有后续的价格变化都将保持不变。

我们构建的标准化商品期货价格与价格指数相似，所有指数在初始开始日期设置为彼此相等，在此开始日期之后输入的任何指数设置为现有指数的平均值。图2绘制了1969-2018年数据集中所有30份合约的标准化原木商品期货价格与平均价格的关系。该图显示了在初始开始日期之后，正常化价格如何快速分散，大宗商品期货价格不断受到不同冲击的影响。然而，在一段初始时期之后，标准化商品期货价格相对而言大致稳定，大约在1980年之后，分散度似乎只略有增加。我们在下面的实证分析中对这些模式进行了量化和分析。4.2投资组合构建在我们的实证分析中，有必要构建一个市场投资组合策略，该策略持有每项资产的相同数量的股份。然而，就商品期货而言，市场投资组合不能持有每项资产的同等份额，因为期货合同是双方之间的简单协议，没有持有基础资产。然而，这个问题很容易解决，因为市场投资组合权重（3.17）在商品期货价格正常化的背景下得到了很好的定义。特别是，（3.17）意味着市场组合在每个商品期货合约中投资的金额与该商品的正常价格成比例。因此，在本节的实证分析中，我们通常将市场组合称为价格加权市场组合。

请注意，商品期货的市场组合不需要再平衡，因为价格变化会自动导致组合中每种商品的权重以与价格权重一致的方式变化。除价格加权市场组合外，我们还构建了第3.3节所述的低排名和高排名商品期货的大小组合。定义这些投资组合的权重由（3.19）和（3.21）给出，并使用标准化价格构建，价格排名是一个有意义的概念。我们将小投资组合和大投资组合之间的排名截止值c设置为商品期货总数N的一半，以便小投资组合持有排名较低、价格较低的期货的下半部分，而大投资组合持有排名较高、价格较高的期货的上半部分。有两种情况需要重新平衡大小投资组合。第一个问题是，如果银行发生变化，那么一种商品期货以前在排名价格的下半部，现在则在上半部。第二个问题是，如果商品期货的总数发生变化，那么当新的期货合约进入我们的数据集时，就会发生变化。如果这两个事件中的任何一个发生，大小投资组合每月都会重新平衡，但其他情况则不会。最后，尽管我们的大宗商品期货数据涵盖1969-2018年，但我们通过在1969年开始日期将价格设置为彼此相等来规范化价格的事实意味着，在这些价格有时间分散之前，排名相对价格将没有多大意义。与Asness等人（2013）的商品价值衡量方法类似，我们等待了五年才形成小型、大型和价格加权的市场组合，因此这些组合是使用1974-2018年的标准化价格构建的。

此外，对于1969年后进入我们数据集的每一种商品，我们在进入日期后等待五年，然后才将该新商品纳入小型、大型和价格加权市场组合。由于新入市商品期货的初始对数价格设定为我们数据集中已有商品的平均对数价格，因此这五年的等待期允许新入市商品的价格以一种使排名相对价格更有意义的方式分散。4.3结果图3绘制了1974-2018年间价格加权市场投资组合以及排名最靠后和排名最靠前的大宗商品期货的小型和大型投资组合的对数累积回报。该图显示，所有三个投资组合在一段时间内的表现大致相似，但随着时间的推移，小投资组合的表现始终优于价格加权投资组合和大投资组合，其中大投资组合表现最差。表2对这些模式进行了量化，其中报告了这段时间内所有三个投资组合月度回报的年化平均值和标准差。市场投资组合的月收益率具有相关性。更精确地说，我们将c设置为小于或等于N/2的最大整数。小投资组合和大投资组合的回报率分别为0.76和0.96，而小投资组合和大投资组合的回报率的相关性为0.55。表3也显示了小型投资组合相对于价格加权市场和大型投资组合的表现优异，该表列出了1974-2018年间排名靠后的小型投资组合的月度相对回报的年化平均值、标准差和夏普比率。

表2和表3还报告了我们长期样本期内每个十年的回报统计数据。表2和表3的结果表明，小投资组合在1974-2018年期间持续且实质上表现出价格加权市场投资组合，而大投资组合在这段时间内表现明显且实质上逊于价格加权市场投资组合。排名效应最明显的是小投资组合相对于价格加权和大投资组合的超额回报的高夏普比率，如表3所示。值得注意的是，这两个夏普比率在1980年之后一直上升到0.6或更高，这是在我们数据集中的大多数商品期货合约开始交易之后，如表1所示。因此，随着可交易资产数量N的增加，投资组合的表现也会更好。这并不奇怪，因为更多的可交易资产通常意味着更多的等级交叉，因此非负本地时间过程d∧c的价值更大，正是这一过程主要决定了长期内的相对投资组合回报，如下所示。第3节的一般理论没有对portfolioreturns的大小做出任何陈述。相反，该理论指出，根据定理3.2，相对于市场的大小投资组合的回报可以分解为排名交叉和排名靠前的资产子集的相对价格变化。