等级效应

根据表5的结果，这两种排名效应与商品的价值异常相似。表5中的结果表明，Asness et al.（2013）所涵盖的大宗商品未来价值异常大多是1974-2018年间排名靠后的大宗商品相对于排名靠前的大宗商品价格近似稳定的直接结果，如图9所示。此外，表4表明，如果不存在这种价值异常，2018年的大宗商品期货价格将不得不与过去大相径庭。事实上，排名靠后的大宗商品的相对价格必须比实际价格低一个数量级以上。这一结果为商品期货的价值异常提供了一种新的解释，并意味着对这种异常的任何解释也必须解释排名相对商品价格的近似稳定性。只有在1974年至2018年期间，排名最低和排名最高的商品期货价格出现了前所未有的巨大分裂时，价值异常才会存在。5.4排名效应和有效市场定理3.2和推论3.3的相对回报分解揭示了一种新的市场二分法，在这种市场中，股息和资产进入/退出随着时间的推移所起的作用很小。一方面，排名靠后的低价资产的相对价格可能会随着时间的推移而稳定，在这种情况下（1.1）意味着排名靠后的资产组合存在可预测的超额回报。这就是我们在图4-9中观察到的商品期货的情况。在各个市场中，排名资产子集的相对价格波动通过会计恒等式（3.25）-（3.27）与超额回报挂钩。

在资产定价的标准均衡模型中，只有当这些可预测的超额收益是对风险的补偿时，它们才可能存在。反过来，这种风险由与经济主体边际效用相关的内生随机贴现因子确定。然而，目前尚不清楚边际效用如何与排名靠后的低价资产的相对价格相联系。当排名较低的资产的相对价格下降时，边际效用为什么应该更高，这也不清楚，但根据我们的结果，这是任何标准资产定价模型的必要含义，其中相对价格是渐近稳定的。另一方面，排名靠后的低价资产的相对价格可能不会随着时间的推移而稳定。在这种情况下，排名较低资产的相对价格持续快速下降，分解（1.1）不再预测超额回报。相反，这种分解预测相对价格下降，从而抵消了（1.1）中随时间推移的非负rankcrossovers。定理3.2和推论3.3的相对收益分解没有预测rankedasset子集相对价格的稳定性，因此我们的理论结果没有排除这种可能性。尽管如此，值得注意的是，我们对商品期货的实证结果与此不一致。没有稳定，没有超额回报的市场结构。根据这些结果，未来研究不同资产市场中排名相对价格的长期性质，并试图区分这种二分法的两面——具有可预测超额收益的渐近稳定市场与没有可预测超额收益的渐近不稳定市场——可能会产生有趣的新见解。这种新颖的二分法有几个含义。

首先，它根据对横截面资产价格动态和排名资产子集的相对价格的约束，对市场效率进行了新的解释。要么排名靠后、定价较低的资产的相对价格随着时间的推移持续快速下跌，符合这一约束条件，要么存在基于分解的市场效率或风险因素（3.25）-（3.27）。其次，它提出了一种可能性，即众所周知的股票规模效应（Banz，1981；Fama和French，1993）可以用排名靠后的小型公司的相对规模的动态来解释。在定理（3.2）和推论3.3的分解具有普遍性的情况下，规模异常背后的可预测超额回报应与违反上述对横截面资产价格动态和小公司相对价值的约束有关。根据这种解释，股票的规模效应可能是排名较低的小型公司的组成（1.1）和相对规模稳定性的简单结果。这一解释得到了Fernholz（1998）和Famaand French（2007）的实证结果的支持。这些作者表明，小公司成长为大公司——很像（1.1）的等级交叉——解释了大多数规模效应。利用定理3.2和推论3.3的分解更仔细地研究规模效应的未来工作可能会对公司市场资本规模分布与规模异常之间的关系产生有趣的新见解。6结论我们将资产价格表示为一般连续半鞅，并表明排名资产组合的收益可以分解为排名交叉和排名资产子集相对价格的变化。

由于这一结果背后的最低假设，我们的分解只不过是一个基本上与任何资产定价模型一致的会计恒等式。我们表明，随着时间的推移，排名交叉近似为常数，对于排名靠后的资产组合，排名交叉为正值。这一结论意味着，在一个封闭、无股息的市场中，排名靠后的资产的相对价格大致不变，随着时间的推移，排名靠后的资产组合必然会跑赢市场组合，从而产生排名效应。我们使用商品期货证实了我们的理论预测，并表明排名靠后、价格较低的商品组合在1974-2018年期间的表现始终显著优于价格加权市场组合。我们表明，如果这种排名效应不存在，那么2018年排名靠后的价格就必须比排名靠前的价格低得多，这意味着商品价格与实际观察到的价格存在根本差异。ReferencesAlquist，R.和O.Coibion（2014年3月）。商品价格联动与全球经济活动。NBER工作文件20003。Asness、C.S.、T.J.Moskowitz和L.H.Pedersen（2013年）。价值和动力无处不在。《金融杂志》68（3），929–985。Banner，A.、R.Fernholz和I.Karatzas（2005年）。Atlas股票市场模型。应用概率年鉴15（4），2296–2330。Banz，R.W.（1981年3月）。普通股票的回报与市场价值之间的关系。《金融经济学杂志》9（1），3–18。Brennan，M.J.（1958年3月）。存储的供应。《美国经济评论》48（1），50–72。Bryzgalova，S.（2016年2月）。线性资产定价模型中的虚假因素。mimeo，斯塔夫诺德大学。Chinn，M.D.和O.Coibion（2014年7月）。商品期货的预测内容。《期货市场杂志》34（7），607–636。Cochrane，J.H.（2005年）。

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，xN）=NXi=c+1xi，为小型投资组合sc建立了（3.22）。B资产进入和退出本附录考虑了资产进入和退出对理论3.2和推论3.3中分解的影响。在主要分析中，我们假设市场上的资产数量固定在N，并且这些资产在t的任何时候都保持正价格。我们希望放宽这一假设。考虑一个由N>1资产组成的市场，但假设每次t时只有前N<N银行资产可交易。如第3.2节所述，资产按其价格排名，因此每次t时可交易的前N资产是当时t时最昂贵的前N资产。当一项资产跨越并加入前N级时，它进入可交易市场，当它超越并退出topn排名时，它就会退出可交易市场。由于每次t时只有排名前n位的资产可交易，因此修改第3.2节中仅针对可交易资产的排名相对价格θ（k）的定义很有用。对于所有k=1，n、 设θ（k）（t）=p（k）（t）Pn`=1p（`）（t）。（B.1）我们修改了排名最靠后和排名最靠前的资产子集ΘscandΘbc的相对价格的定义，类似地，以便对于任何削减1≤ c<n，Θsc（t）=nXk=c+1θ（k）（t），并且，对于任何截面积1≤ c≤ n、 Θbc（t）=cXk=1θ（k）（t）。大型投资组合BC3与第3.3节中的定义相同，但有额外的限制，即排名下降系数c弱于可交易资产的数量n。该限制确保大型投资组合只持有每次t时可交易的资产，并立即出售任何因退出前n名而变为不可交易的资产。小型投资组合scand市场投资组合m还需要在此设置中修改定义，包括资产进入和退出。让修改后的市场投资组合m（t）=（m（t）。

，mN（t））由mk（t）定义=1/bc（0），用于k≤ n0，对于k>n，对于所有k=1，N、 投资组合M在每次t时，在经济体中的N项可交易资产中所占份额相等。由于这些N项可交易资产也是N项排名靠前的资产，因此修改后的市场投资组合与第3.3节中定义的大型投资组合B不相等。为确保初始条件（3.14）成立，投资组合MHA的权重等于投资组合MHA中定义的修改后的排名相对价格θ（k）持有资产的1/bc（0）股，而非1股。投资组合和持有相同资产一股的投资组合具有相同的回报。（B.1），因为Wmk（t）=p（k）（t）Θbc（0）Vm（t）=Θbc（0）p（k）（t）Θbc（0）Pn`=1p（`）（t）=θ（k）（t），（B.2）对于所有k=1，n和所有t。对于任何等级削减1≤ c<n，让修改后的小型投资组合sc（t）=（sc，1（t），sc，N（t））由c，k（t）定义=0，代表k≤ cΘsc（0）-Θsn（0），对于n≥ k>c0，对于k>n，对于所有k=1，N、 投资组合SCN购买相同数量的N- C市场上最小、价格最低的可交易资产。值得注意的是，该投资组合不持有n级以下非交易资产的任何股份，这一修改将SCF与标准小型投资组合scof第3.3节区分开来。修改后的小型投资组合schas权重由WSCK（t）决定=0，代表k≤ cθ（k）（t）Θsc（t），对于n≥ k>c0，对于k>N，所有k=1，N和所有t。因此，投资组合scprice对N中的每一个进行加权- c其持有的可交易资产。在这个包括资产进入和退出的设置中，我们对定理3.2进行了以下扩展。定理B.1。适用于所有1≤ c<n，修改后的小型投资组合是一个满足Vsc（T）的价值过程- log Vm（T）=ZTd∧n（t）Θbn（t）+d∧c（t）- d∧n（t）Θbn（t）- Θbc（t）+ 对数Θsc（T）- 所有T的logΘsc（0），（B.3）。

适用于所有1≤ c≤ n、 大型投资组合BCC有一个价值过程Vbc，它满足了Vbc（T）- log Vm（T）=ZTd∧n（t）Θbn（t）-d∧c（t）Θbc（t）+ logΘbc（T）- 所有T的logΘbc（0），（B.4）。证据首先，注意（B.4）是定理3.2中（3.23）的直接结果。这是因为修改后的市场投资组合mis相当于大投资组合bn，并且在第3.3节中，投资组合scholdsΘsc（0）-Θsn（0）份资产，而不是一份，以确保初始条件（3.14）保持不变。持有相同资产一股的投资组合具有相同的回报。因此，我们可以使用（3.23）来描述bcand和mand的相对回报，然后取差值得到（B.4）。对于（B.3），让Fcn:RN→ R是函数fcn（x，…，xN）=nXi=c+1xi，其中1≤ c<n.对于排序的资产共享过程θ（1），…，函数Fcnis是正则的，θ（N）根据Karatzas和Ruf（2017）的定义3.1和定理3.8，因为它是连续的和凹的，我们假设价格总是正的。因为我们假设没有三个点，所以当地时间过程∧θ（k）-θ（k+`）=0，表示所有`≥ 2且所有k=1，N- 1.因此，Karatzas和Ruf（2017）的例3.9和命题4.8意味着Vsc（T）/Vm（T）=Fcn（θ（1）（T），θ（N）（T））Fcn（θ（1）（0），θ（N）（0））expZTdΓFcn（t）Fcn（θ（1）（t），θ（N）（t））=十亿欧元（吨）- Θbc（T）Θbn（0）- Θbc（0）扩展ZTdΓFcn（t）Θbn（t）- Θbc（t）, （B.5）对于所有T，ΓFcn（T）=∧c（T）- ∧n（t），对于所有t。最后，请注意，定理3.2适用于修改后的市场投资组合mimpliessthatlog Vm（t）- 日志Vm（T）=-ZTd∧n（t）Θbn（t）+logΘbn（t）- 所有T的logΘbn（0），（B.6）。从（B.5）的对数中减去（B.6），得出结果（B.3）。我们可以通过从（B.3）中减去（B.4），将推论3.3扩展到此设置，其中包括资产进入和退出。推论B.2。

适用于所有1≤ c<n，修改后的小投资组合Sc相对于大投资组合Bcstieslog Vsc的价值（T）- 对数Vbc（T）=ZTd∧c（t）Θbc（t）+d∧c（t）- d∧n（t）Θbn（t）- Θbc（t）+ 日志Θsc（T）/Θbc（T）- 日志Θsc（0）/Θbc（0）,（B.7）对于所有T。定理B.1和推论B.2的分解（B.3）、（B.4）和（B.7）将定理3.2和推论3.3的结果扩展到包括资产进入和退出超时的设置。（3.22）和（B.3）之间最显著的差异是当地时间过程d∧n，它进入（B.3）的负面影响，并衡量资产退出修改后的小型和市场投资组合的影响。特别是，差异d∧n（Θbn-十亿欧元-Θbc）始终是负的，它衡量了资产退出对修改后的小投资组合Sc相对于修改后的市场投资组合m的影响。因此，通过将这一术语与非负本地时间过程d∧c进行比较，我们能够比较资产退出和排名交叉从最底层到顶层对累积相对投资组合回报的影响。将（B.4）和（B.7）与（3.23）和（3.24）进行比较时，会得出类似的结论。局部时间过程d∧在（B.4）和（B.7）中均出现，但在（3.23）和（3.24）中均未出现。与（B.3）一样，该当地时间过程衡量资产退出的影响。在分解的情况下（B.4），过程d∧n测量资产退出对修改后的市场组合m的影响，而在（B.7）的情况下，它测量资产退出对修改后的小组合sc的影响。定理B.1和推论B.2表明，资产进入和退出并没有推翻我们在定理3.2和推论3.3中的结果的基本见解。事实上，即使在引入进入/退出后，排名交叉和排名资产子集的相对价格仍然是排名最低和排名最高资产组合相对回报的关键决定因素。