等级效应

然后，我们研究了商品期货价格，发现从1974年到2018年，存在着一个巨大且一致的排名效应，其中排名靠后的资产组合表现优于排名靠前的资产组合。与前面的讨论一致，决定专注于商品期货的主要动机是这些资产不支付股息，很少退出市场。事实上，在我们所考虑的1974-2018年期间，没有发生此类事件。通过这种方式，商品未来的选择使我们的实证分析尽可能与我们在本节中描述的简单论点和我们在下一节中发展的严谨理论保持一致。3理论在本节中，我们描述了排名最低和排名最高的资产子集的相对价格、排名交叉和排名资产组合相对于市场的回报之间的关系。这是使用Fernholz和Stroup（2018）的连续半鞅资产价格表示完成的。这些通用方法考虑到了广泛的相对回报特征，并囊括了几乎所有的均衡资产定价理论，因此我们的结果不需要对交易行为、代理人信念或市场微观结构的特定模型作出承诺。3.1设置考虑由N>1项资产组成的市场。时间是连续的，用t表示，这个市场的不确定性用概率空间表示(Ohm, F、 P）具有正确的连续过滤{Ft；t≥ 0}. 每个资产价格pi，i=1，N、 由一个适用于{Ft；t的正连续半鞅表示≥ 0}，因此pi（t）=pi（0）+gi（t）+vi（t），（3.1），其中gi是有限变化的连续过程，via是连续的平方可积局部鞅，pi（0）是初始价格。

半鞅表示法（3.1）将资产价格动态分解为一个时变累积增长分量gi（t），其总变化在每个区间[0，t]上是有限的，以及一个随机波动的局部鞅分量vi（t）。通过将资产价格表示为连续半鞅，我们能够对基础经济环境施加几乎没有结构的影响。本文中我们的方法是非常规的，因为我们不致力于特定的资产定价模型。相反，继Fernholz和Stroup（2018）之后，我们在一个非常普遍的背景下得出了结果，我们理解这些结果背后的最小假设意味着它们将与几乎任何基本经济模型一致。实际上，本质上，由模型内生产生的任何资产价格动态都可以表示为形式（3.1）的一般连续半鞅。这种普遍性至关重要，因为我们的目标是得出适用于所有经济和金融环境的结果。框架（3.1）所依赖的假设是什么？这些假设如何与其他资产定价理论相关联？第一个重要的假设是，资产不支付股息，因此收益完全由通过价格变化获得的资本收益驱动。从这个意义上讲，我们可以将市场上的N项资产视为展期期货合约，这些合约保证在未来某一日期交付一些基础实物资产。我们强调，这个假设只是为了简单起见。我们的结果可以很容易地推广到包含类似于（3.1）的一般连续半鞅分红过程。包括这样的分红过程会使理论复杂化，但不会改变我们结果的基本观点，这一点我们将在下面进一步讨论。其次，我们考虑一个封闭的市场，在这个市场中，随着时间的推移，没有资产进入或退出。我们假设市场上的N项资产随着时间的推移保持不变。

在附录B中，我们将主要结果扩展到一个市场，在这个市场中，资产偶尔会退出，并随着时间的推移被新资产取代。虽然这种进入和退出确实使我们的结果复杂化，但它并没有改变基本观点，即排名交叉和排名资产子集相对价格的变化是回报的关键决定因素，如（1.1）所示。此外，在第4节的实证分析中，我们考虑了在我们的样本期内资产退出（更重要的交易）不会发生的商品期货合约，从而使我们的实证分析尽可能与无股息和无进入或退出的理论假设保持一致。（3.1）背后的另一个假设是，价格是时间t的连续函数，适用于过滤{Ft；t≥ 0}. 连续性假设对于数学可处理性至关重要，因为我们依赖于在连续时间内容易获得其解的随机微分方程来推导我们的理论结果。鉴于我们的设置的普遍性，很难看出将瞬时跳跃引入资产价格动态（3.1）将如何有意义地改变我们的结论。尽管如此，在第4节中，我们使用月度离散时间资产价格数据确认了连续时间结果的有效性，这一点很重要，也很令人放心。然而，这并不奇怪，因为使用离散时间数据，无法将瞬时价格上涨与快速但持续的价格变化区分开来，根据（3.1）的规定，这是允许的。最后，资产价格调整的假设只意味着它们不能依赖未来。这反映了代理无法将有关随机过程未来实现的信息传递到当前的现实。分解（3.1）将资产价格动态分为两个不同的部分。

第一种是有限变化过程gi，其瞬时方差为零（零二次方差），衡量价格随时间的累积增长。尽管变化有限，但累积增长过程GI可以根据经济和金融条件以及其他因素（包括不同资产的价格）不断变化。第3.4节中，我们表明，我们的主要相对收益分解结果也包括一个有限的变化过程。在随后的实证分析第4节中，我们使用离散时间资产价格数据构建了这一有限变化过程，并将其时间序列行为与正二次变化（瞬时方差大于零）过程的行为进行了明确对比。分解的第二部分（3.1）由平方可积局部鞅vi组成。通常，该过程具有正的瞬时方差（正的二次方差），因此其波动比有限变量累积增长过程gi大得多，也快得多。请注意，局部鞅比鞅更一般（Karatzas和Shreve，1991），因此包含一类非常广泛的连续随机过程。直觉上，这个过程可以被认为是一个随机游走，其方差可以根据经济和金融条件以及其他因素不断变化。此外，我们考虑了不同资产价格的局部鞅分量之间的潜在时变协方差的丰富结构。我们将我们的理论结果应用于商品期货市场，这是我们的理论最简洁的应用之一，因为商品很少退出市场，其未来合约也不会产生股息。

许多研究将商品期货分解为风险溢价和未来现货价格预测（Fama和French，1987；Chinnand Coibion，2014）。大宗商品现货价格是未来价格的主要决定因素，反过来又与存储成本和供需波动相关（Brennan，1958；Alquist和Coibion，2014）。在本文献的背景下，从决定现货和期货商品价格的基本经济和金融力量到资产价格的一般连续半鞅表示（3.1），存在许多潜在映射。事实上，存储成本上升、需求增加、风险溢价上升以及许多其他因素都可以表示为累积增长过程gi的增加。同样，影响大宗商品市场的所有不可预测的随机冲击都可以用局部鞅vi的变化来表示。然而，关键的一点是，所有这些模型以及它们强调的不同经济和金融因素都与资产价格的简化形式表示相一致（3.1）。毕竟，任何提出商品价格增长和波动解释的模型都可以转化为我们的设置。（3.1）的优点是，我们无需承诺任何特定的资产定价模型，从而可以得出所有不同模型的一致结果。3.2排名资产为了描述排名效应，有必要引入排名资产价格的符号。然而，在这样做之前，确定相对资产价格是有用的。设θ=（θ，…，θN），其中每个θi，i=1，N、 由θi（t）=pi（t）PNi=1pi（t）给出。（3.2）由于连续半鞅在假设下均为正，因此0<θi<1，对于所有i=1，N、 通过构造，我们还得到θ+···+θN=1。对于k=1。

，N，让p（k）（t）表示时间t时第k个最昂贵资产的价格，因此max（p（t），pN（t））=p（1）（t）≥ p（2）（t）≥ · · · ≥ p（N）（t）=最小值（p（t），pN（t）），（3.3），并设θ（k）（t）为时间t第k最昂贵资产的相对价格，因此θ（k）（t）=p（k）（t）PNi=1pi（t）。（3.4）在我们下面的分析中，我们考虑了由N项资产中排名最低和排名最高的子资产组成的投资组合。为此，引入排名靠后和靠前资产子集合相对价格的符号很有用。对于任何切割1≤ c<N，设ΘSc表示N的相对价格- c排名靠后、价格最低的资产，因此Θsc（t）=NXk=c+1θ（k）（t）。（3.5）类似地，让Θbc表示c排名靠前、定价最高的资产的相对价格，因此Θbc（t）=cXk=1θ（k）（t），（3.6）对于所有1≤ c≤ N、 为了描述由排名资产组成的投资组合的动态，有必要引入局部时间过程的概念。局部时间过程是必要的，因为秩函数是不可微的，因此我们不能简单地应用它的^o引理来描述由排名资产组成的投资组合的行为。对于任何连续过程x，x的0处的本地时间是由∧x（t）定义的过程∧xd=|x（t）|- |x（0）|-Ztsgn（x（s））dx（s）. （3.7）如Karatzas和Shreve（1991）和Fernholz（2017）所述，x的本地时间测量过程x花费的时间量接近零，也可以定义为∧x（t）=lim↓02Zt{| x（s）|<}ds。（3.8）为了能够将资产排名与资产指数联系起来，让ωtbe为{1，…，N}的置换，例如，对于1≤ i、 k级≤ N、 如果p（k）（t）=pi（t），ωt（k）=i。（3.9）这一定义意味着，当资产i是第k个最昂贵的资产时，ωt（k）=i，以某种一致的方式断开联系。当地时间过程在分解银行资产不同投资组合的收益方面起着关键作用。

特别地，过程的局部时间θ（k）- θ（k+1），k=1，N- 1，出现在下面的整个分析中。为了简化符号，那么，让∧k（t）=∧θ（k）-θ（k+1）（t），（3.10），对于所有k=1，N-1、当地时间过程∧Km测量秩交叉的强度。更具体地说，对于每个k=1，N-1，局部时间过程∧k测量强度At例如，如果pi（t）=pj（t）且i>j，那么我们可以设置ωt（k）=i和ωt（k+1）=j。k-th和k+1排名资产在排名上交叉，因为任何时候过程θ（k）-θ（k+1）为零，秩中存在潜在的交叉。最后，为了符号完整性，设∧N=0。假设3.1。对于所有t，如果对于某些i，pi（t）=pj（t），j=1，N、 i 6=j，然后pi（t）6=p`（t），对于所有`=1，N、 `6=i和`6=j。假设3.1确保不会出现三个点，这意味着不超过两个不同的资产在同一时间t具有相同的价格。此假设是为了简单起见。我们在第3.4节中的主要结果可以扩展到确实存在三个点的市场，但这种扩展在不改变基本洞察力的情况下，使这些结果的阐述变得非常复杂。我们建议读者参考Karatzas和Ruf（2017）的更一般框架，以扩展我们的结果。3.3排名资产组合排名资产组合π（t）=（π（t），πN（t））表示，对于每个秩k=1，…，应在时间t持有k-thranked资产ωt（k）的πk（t）股份，N、 更准确地说，排名资产组合π表示，应持有价格为p（k）的资产的πk股，p（k）是排名第k的资产的价格。股票π。

，πn组成的复本必须是可测量的、可调整的和非负的。投资组合π的值取决于Vπ>0，满足度Vπ（t）=NXk=1πk（t）p（k）（t），（3.11）对于所有t。有时也可以用权重来描述投资组合π，用wπ（t）=（wπ（t），wπN（t）），用于衡量投资组合π在每项资产中所占的比例。一个投资组合所持有的每项排名资产的份额πk很容易与该资产的权重联系起来。事实上，假设3.1比简化第3.4节的结果所需的略强。我们对这种简化所需的假设是，过程θ（k）的局部时间为零- θ（k+`），k=1，N- 2, ` ≥ 2，等于零。参见Ichiba et al.（2011）和Ichiba et al.（2013）。假设投资组合只持有每项资产的非负份额，因此不持有空头头寸，仅为简单起见。我们的理论和结果也可以推广到多空投资组合。投资组合，wπk。特别是，投资组合π（t）=（π（t），对于所有秩k=1，…，πN（t））的权重等于towπk（t）=p（k）（t）πk（t）Vπ（t），（3.12），N和所有t，因为（3.12）等于投资组合π投资于排名第k位资产的美元价值除以投资组合π的美元价值。使用（3.11）和（3.12）很容易确定重量wπksum最多为1。我们要求所有投资组合满足自我融资约束，这确保投资组合的收益或损失π能够反映投资价值随时间的所有变化。这意味着vπ（t）- Vπ（0）=ZtNXk=1πk（t）dpωt（k）（t），（3.13）对于所有t。

为了具有可比性且不丧失一般性，我们将所有投资组合的初始持有量设置为等于经济体中所有资产的组合初始值，因此所有投资组合π的vπ（0）=NXk=1p（k）（0），（3.14）。在我们的许多理论和实证分析中起核心作用的投资组合的一个简单例子是市场投资组合，我们用m表示。市场投资组合m持有每项资产的一份份额，因此m（t）=（1，…，1）代表所有t。继（3.11）之后，我们得到了市场投资组合Vm的价值，由Vm（t）=NXk=1mk（t）p（k）（t）=NXk=1p（k）（t）=NXi 1pi（t），（3.15）对于所有t，最后一个等式（3.15）如下，因为所有N个资产价格的总和总是相同的，无论这些价格是在k级还是指数i中求和。请注意，市场投资组合满足自我融资约束，因为Ztnxk=1mk（t）dpωt（k）（t）=ZtNXi=1dpi（t）=NXk=1pi（t）-NXi=1pi（0）=Vm（t）- 所有t的Vm（0），（3.16）。它也满足初始条件（3.14），如t=0时的评估（3.15）所示。市场投资组合m的权重等于（3.4）中定义的排名相对价格θ（k）。这是从（3.12）和（3.15）得出的，它们共同意味着Wmk（t）=p（k）（t）Vm（t）=p（k）（t）PNi=1pi（t）=θ（k）（t），（3.17）对于所有k=1，这样，市场投资组合就是一个价格加权投资组合，因为它投资于每项资产的金额与该资产的价格成比例。对我们的理论和实证分析至关重要的另外两个投资组合是排名最低和排名最高的资产子集的投资组合。对于任何1≤ c<N，排名靠后的低价资产的“小”投资组合用sc（t）=（sc，1（t），sc，N（t）），由c定义，k（t）=（0，对于k≤ c1/sc（0），对于k>c，（3.18），对于所有k=1。

，N.投资组合购买数量相等的“最小”、价格最低的股票N- c市场中的资产，并具有wsck（t）=（0，对于k）给出的权重≤ cθ（k）（t）Θsc（t），对于k>c，（3.19），对于所有k=1，N和所有t。因此，小投资组合scprice加权N- 它持有的cassets，其方式类似于市场投资组合，该组合对所有N种资产进行价格加权。对于任何1≤ c≤ N、 为了简单起见，我们使用符号dpωt（k）（t）表示排名靠前、定价较高的资产的“大”投资组合，并注意到dpωt（k）（t）=PNi=1{ωt（k）=i}dpi（t），对于所有k=1，N和所有t。为了确保初始条件（3.14）成立，投资组合将持有1/sc（0）股资产，而不是一股。投资组合持有相同资产的一份股票，其回报率相同。bc（t）=（bc，1（t），bc，N（t）），由bc定义，k（t）=（1/bc（0），对于k≤ c0，对于k>c，（3.20）对于所有k=1，N、 投资组合bc购买市场上“最大”的、价格最高的c类资产的同等数量的股份，其权重为WBCK（t）=（θ（k）（t）Θbc（t），对于k≤ c0，对于k>c，（3.21）对于所有k=1，N和所有t。就像小型投资组合scand和市场投资组合m一样，大型投资组合bcprice对其持有的每个c资产进行加权。3.4结果在本节中，我们描述了小型和大型投资组合相对于市场投资组合以及相互之间的回报。我们表明，这些相对回报可以分解为排名交叉，如当地时间过程所测量的，以及排名最低和排名最高的资产子集的相对价格变化，如（1.1）所示。以下定理与Karatzas和Ruf（2017）的定理3.8和示例3.9中更一般的结果相似，确立了这一事实。其证明见附录。定理3.2。