等级效应

该理论还指出，根据推论3.3，小投资组合相对于大投资组合的回报可以分解为排名靠后的资产子集相对于排名靠前的资产子集的等级交叉和价格变化，以便实证研究定理3.2中的分解（3.22），在图4中，我们绘制了小投资组合的累积异常回报（相对于价格加权市场投资组合的回报）以及1974-2018年间排名交叉的累积值RTd∧c（t）2Θsc（t）。此外，图5绘制了排名垫底的小型商品期货的相对价格，即相对于其1974-2018年平均值的标准化价格。除了小型投资组合相对于价格加权投资组合的一致且实质性的表现优异外，这些图表还表明，小型投资组合的短期相对回报率与最低排名商品的相对价格密切相关，而这些相对回报率的长期行为则与平稳交叉密切相关。实际上，图5中相对价格的高波动性与图4中交叉点的低波动性之间存在着鲜明的对比。这是一个重要的观察结果，是对定理3.2的直接预测，我们将在下面进一步讨论这一点。除了相对价格和交叉点的相对波动性外，图4和图5显示，小投资组合的累计异常回报率等于调整后的当地时间过程的累积价值，RTd∧c（t）2Θsc（t），加上排名靠后商品的相对价格的对数变化，logΘsc（t）- logΘsc（0）。

事实上，图4（累计异常回报）中的实心黑线等于该图中的红色虚线（调整后当地时间过程的累积值）减去图5中的线（排名靠后商品相对价格的变化）。这正是定理3.2中（3.22）所描述的关系。然而，我们强调，这种经验关系是如何计算非递减局部时间过程∧c的必然结果。对于我们有数据的每一天，∧cF的值是通过从累计可正常回报率log Vsc中减去排名靠后的商品相对价格logΘsc的log值来计算的- 记录Vm，然后根据定理3.2中的恒等式（3.22）进行调整。考虑到图4和图5的经验分解是为了（3.22）必须保持不变而构建的，因此很自然会想知道这种分解的有用性是什么。分解（3.22）的一个有用方面在于预测该分解的一部分，即测量秩交叉的调整后当地时间过程的累积值，是非递减的。该预测由图4中银行交叉线相对平滑的向上斜率证实，并对小型和价格加权投资组合的长期相对绩效产生影响，如下所述。分解的另一个关键预测（3.22）是，经调整的当地时间过程的累积值是一个有限的变化过程，而另一部分，排名靠后的商品相对价格的对数变化，logΘsc，则不是。回顾第3.1节中的讨论，有限变化过程具有零二次变化或零瞬时变化。

需要明确的是，预测调整后当地时间的累积值是一个有限的变化过程，并不是预测使用每月离散时间数据计算的调整后当地时间累积值的样本变化方差将等于零，而是预测这些变化将随时间大致不变。因此，我们的结果预测，调整后的本地时间过程的累积值将以大致恒定的速率增长，随着时间的推移变化很小。这种平稳增长正是在图4的红色虚线中观察到的，如上所述，与图5所示的排名靠后的相对价格的高度波动行为形成鲜明对比。通过注意调整后的当地时间累积值的变化变化系数等于7.57，而排名靠后的商品相对价格的变化系数等于326.06，可以量化这种对比。这些结果证实了定理3.2的一个关键预测。由局部时间∧c测量的正且相对恒定的等级交叉对小投资组合相对于价格加权市场投资组合的长期回报具有重要意义。由于定理3.2和（3.25）意味着相对收益可以分解为排名交叉和相对价格的变化，因此长期内持续的正交叉只能通过排名靠后的资产持续下降的相对价格来抵消。在相对价格没有下降的情况下，积极的交叉保证了相对于市场的跑赢大市。

因此，图5所示的排名垫底的小型商品期货相对价格的小幅下跌，加上图4所示的正向交叉，确保了1974-2018年期间小型投资组合表现优于市场投资组合的arank效应的存在。以与图4类似的方式，图6绘制了与价格加权市场投资组合相关的大型投资组合的累积回报以及经调整的当地时间过程的累积值-d∧c2Θbc在1974-2018年期间。此外，图7绘制了同一时期排名靠前的商品的对数相对价格。类似地，图8绘制了小投资组合相对于大投资组合的累积回报以及调整后当地时间过程的累积值Θsc+Θbcd∧c，而图9绘制了排名靠后商品相对于排名靠前商品的对数价格。使用定理3.2和推论3.3中的恒等式（3.23）和（3.24）计算图6和图8中调整后的当地时间过程的累积值。图6-9中的大小投资组合结果与图4和图5中的结果非常一致。图6-9显示了两个大型投资组合的短期回报率，并指出使用离散时间数据计算的连续时间有限变化过程的样本方差永远不会完全等于零。相对于大型投资组合，市场和小型投资组合密切遵循相应排名资产子集相对价格的变化。相反，这些相对收益的长期运行行为遵循平稳累积的排名交叉。

如图4所示，图6和图8显示，等级交叉的累积值随着时间的推移以大致不变的速度增长（在大型投资组合中为负值），这一稳定增长与图7和图9所示的相对价格的大幅波动形成了鲜明对比。如上所述，依赖于当地时间过程∧c的调整秩交叉随时间近似恒定，这一事实与其累积值是一个有限变化过程的预测一致，从而证实了定理3.2和推论3.3中的一个关键结果。最后，图6和图8分别证实了价格加权市场投资组合相对于大投资组合和小投资组合相对于大投资组合的一致性和实质性表现。与相对于市场的小型投资组合一样，考虑到图7和图9中观察到的相对价格变化较小，而图6和图8中观察到的排名交叉累积值变化较大，因此（3.22）-（3.24）和图3.2和推论3.3预测了这种长期排名效应。为了研究我们的结果对1969年1月2日价格正常化开始日期的稳健性，在图10中，我们报告了1969-2000年一系列数据开始日期的小、排名靠后的投资组合相对于价格加权市场和大、排名靠前的投资组合的月度回报夏普比率。更具体地说，我们创建了第4.1节所述的标准化商品期货价格（如图2所示），不同的标准化开始日期从1969年到2000年开始，每个季度都有。然后，使用这些不同的标准化商品期货价格数据集构建第4.2节所述的小型、大型和市场投资组合，然后在图10中报告每个数据集的相对收益率。

这些不同的数据集由不同的价格标准化开始日期确定。该图清楚地表明，我们的结果对1969年1月2日的价格标准化开始日期并不敏感，该日期用于生成表2-4和图3-9中的主要结果，之所以选择该日期，是因为它最大化了我们的数据样本长度。事实上，图10显示，1969年之后的大多数价格正常化起始日期产生了更大的夏普比率，图中所示的所有日期的平均值均等于0.66，即相对于市场投资组合的小投资组合和相对于大投资组合的小投资组合，明显高于表3.5讨论中报告的完整样本夏普比率。图4-9所示的实证结果证实了定理3.2和推论3.3的预测，即排名交叉分解（3.22）-（3.24）的成分几乎是恒定的。此外，这些数据表明，在小投资组合相对于价格加权市场和大投资组合的回报率的情况下，累积排名交叉为正且不断增加。相比之下，如果大型投资组合相对于市场的回报率较高，则累积排名交叉为负值，且呈下降趋势，如图6.5.1相对价格和相对回报率所示，我们的理论和实证结果证实，排名资产子集相对价格的变化是排名资产组合相对于市场回报的关键决定因素。从这个意义上讲，不同排名资产子资产的相对价格是一个资产定价因素，因为它们的波动驱动排名资产的所有价格加权投资组合的相对回报。

重要的是，定理3.2和推论3.3建立相对价格资产定价因子的理论结果是在最小假设下实现的，该假设应基本上与任何资产定价模型一致，这意味着该因子在不同的经济和金融环境中具有普遍性。我们的实证结果如图4-9所示，有助于证实这种普遍性。我们的无模型数学方法与Fernholz和Stroup（2018）的方法相似，我们描述的相对价格资产定价因子与这些作者分析的价格分散资产定价因子相关。因此，与价格分散系数一样，相对价格系数不受最近提出的批评的影响，这些批评是关于经验资产定价理论所确定的因素和异常数量高得惊人且不断增加。例如，Novy Marx（2014）、Harvey et al（2016）和Bryzgalova（2016），指出了许多这些拟议因素的不同计量经济学问题。相反，根据定理3.2和推论3.3建立的相对价格资产定价因子不是使用特定的经济模型或特定的回归框架推导出来的，而是使用一般的数学方法，将资产价格表示为连续半鞅，基本上与所有模型和经验规定一致。这样，我们的结果自然不会受到这些批评。5.2没有排名效应的相对价格如果小投资组合的表现没有超过价格加权市场和大投资组合，2018年的商品期货价格会是什么样子？分解（3.22）-（3.24）允许我们回答这个困难的问题。尤其是，这些分解意味着，只有当排名靠后、价格较低的商品的相对价格持续快速下降时，才不存在排名效应。

尽管从1974年至2018年，排名靠后者的相对价格略有下降，如图5和图9所示，但这种下降幅度太小，无法抵消排名交叉带来的巨大收益，如图4和图8所示。使用（3.22）（3.24），我们可以量化排名靠后的商品的相对价格下降需要多大程度才能消除1974-2018年的排名效应，然后检查这种下降对2018年商品期货价格的影响。表4列出了2018年排名靠后、价格较低的商品期货的反事实相对价格，以确保1974-2018年期间，小型投资组合的表现不超过价格权重市场和大型投资组合。在相对于市场的小投资组合的情况下，通过改变（3.22）的相对价格Θsc（T）来获得反事实数，从而使相对值log Vsc（T）- log Vm（T）等于零。因此，该计算隐含地假设1974-2018年的等级交叉累积值（由TD∧c（t）2Θsc（t）测量）与该时间段的真实值保持不变。类似的假设有助于对小投资组合相对于大投资组合进行相同的计算。在这种情况下，通过将（3.24）中的相对价格Θsc（T）/Θbc（T）更改为相对值log Vsc（T）来获得计数器实际数- 对数Vbc（T）等于零。根据表4，2018年消除排名效应所需的排名靠后的低价商品期货的反事实相对价格比2018年的实际相对价格低一个数量级以上。这种差异尤其体现在排名靠后的商品相对于排名靠前的商品的价格变化上，这与小投资组合相对于大投资组合的回报相对应。

正如表3所示，1974-2018年间，小型投资组合的平均回报率比大型投资组合高出9.82%，这并不奇怪。然而，在这两种情况下，排名靠后的商品的反事实相对价格都很低，这意味着2018年的商品未来价格与2018年实际观察到的价格截然不同。表4清楚地显示了这些显著差异。根据该表，2018年排名靠前的15种商品期货的价格必须比2018年排名靠后的15种商品期货的价格高出约274倍，以便在1974-2018年期间产生不小而大的排名效应。这一比率比我们2018年数据集结束时观察到的实际比率大100多倍。这种反事实比率可以转化为排名靠后商品的反事实价格更低，排名靠前商品的反事实价格更高，或者两者的某种中间组合。更具体地说，如果2018年排名靠后的15种商品的价格比2018年实际观察到的价格低100倍以上，则不会产生任何银行效应。然而，这样的价格意味着这些商品中的任何一种都将处于历史上前所未有的低点。或者，如果2018年排名靠前的15种商品的价格比2018年实际观察到的价格高出100倍以上，也不会有排名效应。在这种情况下，任何一种商品的价格都将在2018年创下历史新高。

在这两种情况下，图6和图8所示1974-2018年的银行效应消失的反事实意味着2018年的商品价格出现了根本不同且历史上前所未有的变化。5.3表3中的排名效应和价值异常排名效应相对回报与Asness et al.（2013）所述的商品期货价值异常相似。这些作者根据当前价格相对于过去4.5-5.5年的平均价格对商品进行排名，并表明，由高价值商品期货组成的投资组合，即今天相对于过去价格较低的合约，持续且大幅优于目前相对于过去价格较高的低价值商品期货组合。这种基于当前价格相对于其最新价格的商品期货排名类似于我们的标准化商品价格排名，其中标准化价格在1969年数据开始日期相等，如第4.1节所述。为了量化这种相似性的程度，在表5中，我们报告了价值异常超额回报的时间序列回归结果，类似于Asness et al.（2013）所揭示的关于小投资组合相对于市场的回报和小投资组合相对于大投资组合的回报。对于价值异常，我们每个月都会根据当前价格相对于过去4.5-5.5年的平均价格对商品期货进行排名。然后，我们研究了相对于价格权重最大商品期货的投资组合而言，价格权重最小商品期货的投资组合的回报，这两个投资组合每月都会重新平衡。