银行系统动态模型中的系统性风险治理

相反，我们假设，当一家银行倒闭时，银行系统将退出模型。也就是说，违约后，破产银行不再是银行系统模型借贷活动的一部分，描述它的变量从方程组（5）中删除。非破产银行继续其时间演化，其时间演化由移除后保留的动力学模型控制。我们倾向于在一定时间间隔内使用（9）和上述系统性风险定义的规则，而不是采用[5]中给出的定义和规则。事实上，我们认为这里所做的假设比[5]中所做的假设更现实。此外，（9）和P（SR[τ，τ]）中定义的概率P（SR[τ，τ]）都可以使用统计模拟进行评估。Fouque和Sun在[5]中指出，引入αNNXj=1Yjt公司- Yit公司dt，t>0，i=1，2，N、 in（5）以增加极端系统性风险的概率为代价，稳定了单个银行的行为（即降低了单个银行的违约概率），即当M非常接近N时，M型系统性风险的概率。实际上，α>0时（5）、（4）、（3）的轨迹在直线y=0附近比（1）、（4）、（3）的轨迹更接近直线y=0。（5）、（4）、（3）轨迹的这种“蜂拥”或“涌入”效应是银行间合作机制存在的结果，并且随着α的增加而增加。由于该项，在平均场极限初值问题（6）、（7）的轨迹中也存在相同的影响-αYt，t>0，（α>0）in（6）。也就是说，（5）、（4）、（3）的“swa rming”系数很少达到默认水平（即。

单个银行的稳定性随着α的增加而增加），但由于蜂拥效应，当它们达到违约水平时，它们一起达到违约水平，系统性风险就会发生。尤其是当α增加时，极端系统性风险的概率增加。在图1 a）-3a）中，我们显示了Yt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，当N=10且一条轨道为Yt，T时，（5）、（4）、（3）的解∈ [0，T]，T=1，（6），（7）对于α的三个不同值的解，即α=1（图1a））、α=10（图2a））和α=100（图3a））。如【5】所示，我们选择D=-0.7，σ=1，我们使用带时间步长的显式Euler方法t=10-4将初始值问题（5）、（4）、（3）和（6）、（7）从时间t=0到时间t=t，t=1进行积分。不是说，在图1 a）-3a）中，有必要表示一条yt，t的轨迹∈ [0，T]，T=1，系统（5），（4），（3）的解，以说明系统（5），（4），（3）相应轨迹的行为。事实上，所考虑的银行人口是同质的，并且流程Yit，t∈ [0，T]，T=1，i=1，2，N、 行为举止都一样。正如预期的那样，增加α（即增加银行间的合作率）会增加（5）、（4）、（3）轨迹y=0线附近的“蜂拥”效应，从而减少时间间隔[0，t]内的违约次数，增加系统的稳定性。图1a）-3a）虚线显示默认级别D=-0.7.让我们考虑时间间隔[0，T]，T=1中的损失分布，即随机变量的概率分布：时间间隔[0，T]中的银行违约数量，T=1。在模型（5）、（4）、（3）中，当N=10时，使用从模型的10个模拟区域开始的统计模拟来评估[0，T]，T=1中的损失分布。

请注意，图1b）-3b）中所示的损失分布是使用系统性风险的定义（9）和本文中的银行倒闭假设计算的。在图1b）-3b）中，虚线表示当N=10时，系统（1）、（4）、（3）的[0，T]，T=1中的损失分布，而实线表示当N=10和α=1（见图1b））、α=10（见图2b））和α=100（见图3b））时系统（5）、（4）、（3）的损失分布。注意，在独立扩散过程的情况下，即当我们考虑系统（1）、（4）、（3）或当我们考虑α=0 in（5）、（4）、（3）时，[0，T]中的损失分布，T=1，是具有已知参数的一项分布。当N=10时，让我们更仔细地观察（5），（4），0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9的扩散过程溶液在[0，T]中的损失分布-2.-1.5-1.-0.500.511.52t（年）a）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.10.20.30.40.50.60.70.80.91违约次数s分布b）图1：a）实线显示了溶液的一条轨迹y，t∈ 当N=10，α=1时，系统（5）、（4）、（3）的[0，T]，T=1。粗实线显示了溶液Yt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，对应的平均场初值问题（6），（7）。虚线显示默认级别D=-0.7. b） 当N=10时，系统（5）、（4）、（3）的[0，T]，T=1，o中的损耗分布，α=1（实线），当N=10时，系统（1）、（4）、（3）的[0，T]，T=1中的损耗分布（das hedline）。（3） 作为α的函数。该分布用实线绘制在图ur es 1b）3b）中。这些分布具有接近零默认值的较大质量，以及接近N默认值的较小但不可忽略的质量。

（5）、（4）、（3）损失分布的这些特征以及当α增加时它们作为α函数的行为表明，（5）、（4）、（3）中存在的银行间合作机制提高了单个银行的稳定性，但也增加了在时间间隔[0，T]T=1内出现“极端”系统风险的概率。最后一个事实如图4所示，其中我们缩放了图1b）-3b）的右下角。图4显示，当α增加时，损失分布的“t尾”增加。请注意，[5]（即（10））和本文（即（9））中使用的系统风险的不同定义不会改变系统风险概率作为α函数的定性行为，如图1-4.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9所示-2.-1.5-1.-0.500.511.52t（年）a）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.10.20.30.40.50.60.70.80.91违约次数s分布b）图2：a）实线显示了溶液的一条轨迹y，t∈ 当N=10，α=10时，系统（5）、（4）、（3）的[0，T]，T=1。粗实线显示了解决方案Yt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，对应的平均场初值问题（6）、（7）。虚线显示默认级别D=-0.7. b） 当nn=10，α=10时，系统（5）、（4）、（3）的[0，T]，T=1中的损耗分布（实线）和系统（1）、（4）、（3）的[0，T]，T=1中的损耗分布（虚线）。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-2.-1.5-1.-0.500.511.52t（年）a）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.10.20.30.40.50.60.70.80.91违约次数s分布b）图3：实线显示了溶液的一条轨迹Yt，t∈ 当N=10，α=100时，系统（5）、（4）、（3）的[0，T]，T=1。粗实线显示了溶液Yt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，对应的平均场初值问题（6），（7）。虚线显示默认级别D=-0.7.

b） 当nn=10，α=100（实线）时，系统（5）、（4）、（3）中[0，T]，T=1的损耗分布，以及系统（1）、（4）、（3）中[0，T]，T=1的损耗分布（虚线）。6 7 8 9 1000.10.2默认SLOSS分布数a）6 7 8 9 1000.10.2默认SLOSS分布数b）6 7 8 9 1000.10.2默认SLOSS分布数c）图4:a）图1b右下角r的缩放（α=1）。b） 图2b右下角的Zoom（α=10）。c） 图3b右下角的缩放（α=100）。3具有两种合作机制的银行系统模型介绍本文研究的银行系统模型。对数货币储备作为银行系统中存在的N家银行的时间函数，通过离散过程Xit，t>0，i=1，2，N、 这些微分过程通过随机微分方程系统的初值问题隐式定义。在模型中，我们使用（5）中的合作机制来描述银行间的借贷活动，并引入一种新的合作机制来描述银行与货币当局之间的借贷活动。最后一种机制取决于银行对数货币储备的经验平均值与目标轨迹ξt=ξ（t），t之间的时间差函数≥ 0，由货币当局选择，表示“理想银行”的对数货币储备随时间的变化。给定α≥ 0, γ ≤ 0，σ>0，我们开始用以下随机微分方程系统对银行对数货币储备的动力学进行建模：dXit=αNNXj=1Xjt公司- 退出dt+γNNXj=1Xjt公司- ξtdt+dξt+σdWit，t>0，i=1，2，N、 （12）初始条件为：Xi=ξ，i=1，2。

，N，（13），其中ξt=ξ（t），t≥ 0是一个连续的分段微分函数，dξt=dξtdtdt=（ξt）′dt，t≥ 初值问题（12）、（13）在假设（3）下完成。注：（13）ξ中滥用符号的t是一个随机变量，在ξt=0点处，概率为1。我们假设ξ≥ 0和ξt-D>0，t>0，其中D是默认屏障。在（12）中，参数α≥ 0规定了αNNXj=1表示的第一个合作机制Xjt公司- 退出dt，t>0，i=1，2，N、 控制银行间借贷活动（见第2节）。（12）中的术语dξt，t>0是移动系统动力学中移动当局干预的一部分，并对漂移项αNNXj=1的事实负责Xjt公司- 退出dt，t>0，i=1，2，N、 稳定Xit的轨迹，t>0，i=1，2，N、 约^ξt=ξt，t>0，而不是约^ξt=ξ，t>0，如（5）、（4）中所述，其中ξ=0（见第2节）。在（12）中，参数γ≤ 0调节由γNNXj=1表示的第二种合作机制Xjt公司- ξtdt，t>0，加到第i个方程中，i=1，2，N、 即γ控制着ba nksNNXj=1xjt的对数货币储备的经验平均值与“理想银行”的对数货币储备的目标轨迹ξt，t>0的均值回归强度。方程（12）通过与γ成比例的项规定，系统银行的对数货币储备平均值（即NNXj=1Xjt，t>0）恢复为“理想银行”的对数货币储备（即ξt，t>0）。在模型（12）、（13）、（3）中，银行人口是同质的，当Ngoes到单位时，每家银行的行为与平均银行类似。

即目标轨迹ξt，t>0，表示各银行的“理想”对数货币储备，Nξt，t>0，表示银行系统对数货币储备的“理想”目标轨迹。参数γ控制银行和货币当局之间借贷活动的利率。也就是说，该模型的第二个合作机制由γ调节，并稳定了差异过程的经验平均值Xit，t>0，i=1，2，N、 沿目标轨迹ξt，t>0。实际上，项γNNXj=1Xjt公司- ξtdt，t>0，of（12）可以重写为γNNXj=1Xjt- ξt！dt，t>0。让我们推导出Banking系统模型（12）、（13）、（3）的平均场近似值。首先，让我们将方程组（12）改写如下：dXit=α“NNXj=1Xjt！- Xit#dt+γNNXj=1Xjt- ξt！dt+dξt+σdWit，t>0，i=1，2，N、 （14）将i从1到N的方程（14）求和，然后将r求积方程除以N，我们得到：dnxi=1Xit！=γNNXj=1Xjt- ξt！dt+dξt+dσNNXi=1Wit！，t>0。（15） 设“Xt=NNXj=1Xjt，t>0，（16）为过程Xjt，t>0，j=1，2，…”的经验平均值，N、 方程式（15）可改写如下：d'Xt=γ\'\'Xt- ξtdt+dξt+dσNNXi=1Wit！，t>0。（17） 假设（3）和强大的大数定律意味着：NNXi=1Wit-→ 0，t>0，几乎可以肯定，当N-→ +∞. （18） 设“Xt，t>0”为极限，因为N等于经验平均值的整数。Xt，t>0，且Xt，t>0是表示银行系统模型（12）、（13）、（3）中“平均银行”的对数货币储备的过程，N等于整数。动力系统（12）、（13）、（3）的平均场近似值可以从（14）、（17）中间接推导出来。事实上，当N从（14），（17）到单位时，我们有：dXt=α\'\'Xt- Xt公司dt+γ\'\'Xt- ξtdt+dξt+σdWt，t>0，（19）d’Xt=γ\'\'Xt- ξtdt+dξt，t>0，（20）X=ξ，(R)X=ξ。

（21）初值问题（19）、（20）、（21）是动态系统（12）、（13）、（3）的平均场近似。方程式（20）和（21）并不意味着'Xt=ξt，t>0，因此（19）γ中的t乘以0。这意味着γ的选择不会影响（19）的轨迹。也就是说，（12）中引入的第二种合作机制对（1）、（2）、（13）、（3）的平均场近似（19）、（20）、（21）没有贡献。这是不可取的，因为我们希望使用平均场近似（19）、（20）、（21）来确定必须用于控制银行系统模型（12）、（13）、（3）的参数α、γ。为了避免这种不便，我们修改了银行系统模型（12）、（13）、（3）。从目标区域ξt，t开始≥ 0，我们引入两条辅助目标轨迹ξ-t、 ξ+t，t≥ 0，从而ξ-t6=ξ+t，t≥ 0，取自ξt，t≥ 0，带有“轻微”扰动。例如，给定>0，我们选择ξ-t、 ξ+t，t≥ 0，如下所示：ξ-t=ξt- ，t≥ 0，ξ+t=ξt+，t≥ 0。（22）我们将（12）、（13）替换为随机微分方程组：dXit=αNNXj=1Xjt公司- 退出dt+γNNXj=1Xjt- ξ-t！dt+dξ+t+σdWit，t>0，i=1，2，N、 （23）初始条件为：Xi=ξ+，i=1，2，N、 （24）其中，滥用符号，ξ+表示概率为1的集中在ξ+t=0点的随机变量。初值问题（23）、（24）用假设（3）完成。方程组（23）、（24）、（3）是本文研究的具有两种合作机制的银行系统模型。模型（23）、（24）、（3）的两种合作机制与模型（12）、（13）、（3）相同。

然而，在模型（23）、（24）、（3）中，由α控制的银行间借贷机制将系统稳定在ξ+t，t的轨道上≥ 0，由γ控制的银行货币当局借贷机制围绕ξ轨道稳定系统-t、 t型≥ 0，我们有ξ+t6=ξ-t、 t型≥ 0、按照之前模型（12）、（13）、（3）的研究进行，很容易看出动力系统（23）、（24）、（3）的平均场近似为：dXt=α\'\'Xt- Xt公司dt+γ\'\'Xt- ξ-t型dt+dξ+t+σdWt，t>0，（25）d？Xt=γ\'\'Xt- ξ-t型dt+dξ+t，t>0，（26）X=ξ+，\'X=ξ+，（27）其中，Xt，t>0是一个随机过程，表示模型（23），（24），（3）和\'Xt，t>0的“平均银行”的对数货币储备的时间演化，是一个辅助变量。为了简单起见，我们使用相同的变量Xit，i=1，2，N、 \'Xt，Xt，\'Xt，t>0，表示模型（12）、（13）、（3）和（23）、（24）、（3）的因变量以及相应的平均场方程（19）、（20）、（21）和（25）、（26）、（27）。让我们指出，模型（12）、（13）、（3）和（23）、（24）、（3）都可以使用（25）、（26）、（27）来开始。事实上，我们可以考虑（12）、（13）、（3）作为银行系统模型，而不是（23）、（24）、（3），我们可以使用第4节所示的平均场方程（25）、（26）、（27）来管理（12）、（13）、（3）。我们倾向于选择（23）、（24）、（3）作为银行系统模型，因为通过这种选择，银行系统模型通过其平均场方程进行控制。

模型（12）、（13）、（3）可以通过辅助动力系统（25）、（26）、（27）使用第4节中介绍的方法进行控制，但不能使用其平均场近似（19）、（20）、（21），因为in（19）γ乘以零。为了以后的目的，在Banking系统模型（23）、（24）、（3）及其平均场近似（25）、（26）、（27）中，我们允许参数α和γ随时间变化。也就是在（23）、（24）、（3）和（25）、（26）、（27）中，我们假设：α=αt≥ 0，t≥ 0，γ=γt≤ 0，t≥ 0.（28）很容易看出，当我们考虑α=αt时，（23）、（24）、（3）中存在的两种合作机制的功能保持不变≥ 0，t≥ 0，γ=γt≤ 0，t≥ 0，表示时间的函数。而不是选择ξt，t≥ 0，而货币管理局可以选择实轴的间隔作为时间的函数，即间隔ξ-t、 Иξ+ti，t≥ 0，由两条目标轨迹确定ξ-t、 Иξ+t，t≥ 0，使得-t<ξ+t，t≥ 在这种情况下ξt，t≥ 0，可定义为|ξ的算术平均值-t、 Иξ+t，t≥ 图5a）-7a）显示了Xt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，模型（23）、（24）、（3）的解，以及Xt，T的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，初值问题（25）、（26）、（27）的解，当ξ（T）=0.5 sin（2πT），T∈ [0，T]，T=1，=0.05，常数α，γ的选择如下：α=100，γ=-10（见图5a）），α=50，γ=-50（见图6a）），α=1 0，γ=-100（见图7a））。如第2节所述，我们选择N=10，D=-0.7，σ=1，我们使用带时间步长的显式Euler方法t=10-4对随机微分模型（23）、（24）、（3）和（25）、（26）、（27）进行数值积分∈ [0，T]，T=1。在图5a）-7a）中，点划线显示默认级别D=-0.7，虚线显示目标轨迹ξ（t）=0.5 sin（2πt），t∈ [0，T]，T=1。