银行系统动态模型中的系统性风险治理

在图5a）-7a）中，我们只显示了Xt，t的一个轨迹∈ [0，T]，T=1，模型（23），（24），（3）的解，因为（23），（24），（3）所描述的银行人口是同质的，并且过程Xit，T∈ [0，T]，T=1，i=1，2，N、 行为举止都一样。让我们研究（23）、（24）、（3）的DiffusionProcesses解在时间间隔[0，T]T=1的损失分布，也就是说，让我们考虑rando m变量的概率分布：时间间隔[0，T]内的银行违约数量，T=1。在（23），（24），（3）的10条数值生成轨迹的aset上，使用统计模拟来评估[0，T]中的损失分布，T=1。在图5b）-7b）中，虚线表示独立扩散过程的损失分布当N=10时，（1）、（4）、（3）的解，即系统（23）、（24）、（3）的解，当α=γ=0，N=10，ξ（t）=0，t∈ [0，T]，T=1，=0，而实线表示当N=10，ξ（T）=0.5 sin（2πT），T∈ [0，T]，T=1，=0.05，对于参数α和γ的以下值：α=100，γ=-10（图5b）），α=50，γ=-50（图6b）），α=10，γ=-100（图7b））。图5-7显示了银行系统模型（23）、（24）、（3）是如何通过前面讨论的两种合作机制来稳定的。特别是图5-7显示了这两种机制的不同影响。当α和γ为常数时，andα支配|γ|，即当α>>|γ|，（见图5），我们的情况与第2节中讨论的福克和太阳模型（5）、（4）、（3）的情况相似，如图1-3所示。在这种情况下，银行间借贷活动的影响占主导地位。

当α增加时，这种机制提高了单个银行的稳定性，但牺牲了极端系统风险概率的增加。此外，图5显示了沿轨迹ξ+t，t的“群集效应”∈ [0，T]，T=1，由dξ+tin（23）项诱导。当α和γ恒定且|γ|支配α时，即当α<<γ|（见图7）时，银行和货币当局之间借贷活动的影响占主导地位。这一机制使银行对数货币储备的经验平均值沿着ξ的轨迹趋于稳定-t、 t型∈ [0，T]，T=1，系统性风险的可能性基本不变。当|γ|增加时，这种稳定效果会增加。请注意，将银行对数货币储备的经验平均值稳定在“安全”目标行业周围，有助于保护银行系统免受系统性故障的影响。事实上，围绕“安全”目标轨迹稳定的银行对数货币储备的经验平均值意味着，如果有一家倒闭的银行（即对数货币储备低于“安全”目标轨迹且实际上低于违约水平的银行），那么一定有一家或一组“繁荣”的银行（即对数货币储备高于“安全”的银行）目标轨迹）。在这种情况下，一家繁荣的银行或一家繁荣的银行联合体有可能挽救一家或多家失败的银行。在中间情况下，即当α等于|γ|的相同数量级时（见图6），两种机制的影响是平衡的。很容易理解，如果默认水平D提高目标轨迹ξt，t>0，（即增加ξt-D>0，t>0）在有界时间间隔内降低系统性风险的概率。然而，提高目标轨迹会导致银行的原始货币储备增加。

这一事实阻碍了经济活动。请注意，由ξt升高（t>0）引起的经济活动损失是我们的模型中未考虑的意外影响。类似地，减小目标区域ξt，t>0，（即减小ξt- D>0，t>0）在有限的时间间隔内增加系统性风险的概率，并导致银行的法定货币储备减少。我们得出结论，货币当局必须追求避免系统性失败的目标，将银行的原始货币储备保持在尽可能小的水平。4均值方程的最优控制问题——设R+为正实数集。请注意，银行系统模型（5）、（4）、（3）的平均场方程（6）和银行系统模型（23）、（24）、（3）的平均场方程（25）的形式为：dZt=β（t，Zt）dt+σdWt，t>0，（29），其中函数β：R+×R→ R是一个充分正则函数。事实上，选择Zt=Yt，t≥ 0，且β=βt=β（t，Yt）=-αYt，t>0，（30）将（29）减少到（6），类似地，选择Zt=Xt，t≥ 0，且β=βt=β（t，Xt）=α\'\'Xt- Xt公司+ γ\'\'Xt- ξ-t型+ （ξ+t）′，t>0，（31）0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-2.-1.5-1.-0.500.511.52t（年）a）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.050.10.150.20.250.30.350.4违约次数s分布b）图5：a）实线显示Xt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，当N=10，=0.05，α=100，γ=-da棚线显示目标轨迹ξ（t）=0.5 sin（2πt），t∈ [0，T]，T=1。粗实线显示了溶液Xt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，对应的平均场初值问题（25）、（26）、（27）。点划线显示默认级别D=-0.7.

b） 当N=10，=0.05，α=100，γ=-当N=10，=0，α=γ=0（虚线）时，系统（23）、（24）、（3）的[0，T]，T=1中的10（实线）和损耗分布。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-2.-1.5-1.-0.500.511.52t（年）a）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.050.10.150.20.250.30.350.4默认Sloss分布数b）图6：a）实线显示了溶液Xt，t的一条轨迹∈ 当N=10，=0.05，α=50，γ=-5 0. 虚线d表示目标轨迹ξ（t）=0.5 sin（2πt），t∈ [0，T]，T=1。粗so lid线显示Xt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，对应平均场初值问题的解（25），（26），（27）。点划线显示默认级别D=-0.7. b） 当N=10，=0.05，α=50，γ=-当N=10，=0，α=γ=0（虚线）时，系统（23）、（24）、（3）的[0，T]，T=1中的50（实线）和损耗分布。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-2.-1.5-1.-0.500.511.52t（年）a）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.050.10.150.20.250.30.350.4违约次数s分布b）图7：a）实线显示Xt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，当N=10，=0.05，α=10，γ=-da下降线显示目标轨迹ξ（t）=0.5 sin（2πt），t∈ [0，T]，T=1。粗实线显示了溶液Xt，t的一条轨迹∈ [0，T]，T=1，对应的平均场初值问题（25）、（26）、（27）。点划线显示默认级别D=-0.7.

b） 当N=10，=0.05，α=10，γ=-100（实线），当N=10，=0，α=γ=0（虚线）时，系统（23）、（24）、（3）的损耗分布在[0，T]中，T=1。式中（ξ+t）′=dξ+tdt，t≥ 0和？Xt，t≥ 0，定义为（26），（27）减少（2 9）到（25）。最后请注意，选项Zt=Xt，t≥ 0，且β=βt=β（t，Xt）=α\'\'Xt- Xt公司+ γ\'\'Xt- ξt+ （ξt）′，t>0，（32），其中\'Xt，t≥ 0，定义为（20），（21），减少（29）至（19）。然而，如第3节所述，方程式（20），（21）表示“Xt=ξt，t≥ 这意味着in（32）γ乘以0。In（6）和In（25）α和γ是常数。在本节中，参数αa和γ是时间的函数。设B为[0，T]中定义的实平方可积过程集，T>0。面随机过程ζ=ζt，t∈ [0，T]属于B当且仅当EZTζtdt<+∞.给定常数λ>0，t>0，目标轨迹ξt，t∈ [0，T]，让我们确定β=βT∈ B作为以下随机最优控制问题的解：minβ∈BUλ（β），（33），其中uλ（β）=EZT公司（Zt- ξt）+λβtdt公司, β=βt，t∈ [0，T]，λ>0，（34）受约束：dZt=βdt+σdWt，T∈ [0，T]，（35）Z=ξ+。（36）在控制问题（33）、（34）、（35）、（36）中，函数Uλ（β），β=βt，t∈ [0，T]，λ>0，是效用函数，β=βT，T∈ [0，T]是控制变量。效用函数Uλ（β），β∈ B、 λ>0，在（34）中定义为两项之和。第一学期，EZT（ZT- ξt）dt, 处罚Zt、t的离开∈ [0，T]，从目标轨迹ξT，T∈ [0，T]。第二个，EZTλβtdt, 惩罚控制变量βt，t的“大小”∈ [0，T]。我们使用动态规划原理（见[10]）来解决问题（33）、（34）、（35）、（36）。

即letV（t，Z）=最小βt∈BE公司ZTt公司（Zτ- ξτ)+ λβτdτZt=Z,Z∈ R、 t型∈ [0，T]，（37）是控制问题（33），（34），（35），（36）的值函数。函数v（t，Z），Z∈ R、 t型∈ [0，T]满足以下Hamilton，Jacobi，Bellman方程（见[10]）：tV（t，Z）+σZV（t，Z）+HZV（t，Z）+ （Z）- ξt）=0，Z∈ R、 t型∈ [0，T]，（38），最终条件：V（T，Z）=0，Z∈ R、 （39）其中h（p）=最小δ∈Rδp+λδ= -p4λ，p∈ R、 （40）是最优控制问题（33）、（34）、（35）、（36）的哈密顿函数。使用（40）式（38）可得出：tV（t，Z）+σZV（t，Z）-4λZV（t，Z）+ （Z）- ξt）=0，Z∈ R、 t型∈ [0，T]，（41），最终条件为（39）。根据（41），（39）的函数V值解的知识，我们确定了最优控制βt，t∈ 【0，T】，（33）、（34）、（35）、（36）的溶液，使用条件：β=βT=β（T，Zt）=-2λZV（t，Z）Z=Zt，t∈ [0，T]，（42）式中，Zt，T∈ [0，T]是（35），（3 6）的解，当β=βT，T∈ [0，T]由（42）给出。命题1将（41）、（39）的解简化为普通微分方程组的终值问题的解。提案1。问题（41）、（39）的解为：V（t，Z）=A（t）+b（t）Z+c（t）Z，Z∈ R、 t型∈ [0，T]，（43）其中函数a（T），b（T），c（T），T∈ [0，T]是Riccati普通微分方程组的以下终值问题的解：ta=-σc+b4λ- ξt，t∈ [0，T]，a（T）=0，（44）tb=bcλ+2ξt，t∈ [0，T]，b（T）=0，（45）tc=cλ- 1，t∈ [0，T]，c（T）=0。（46）最优控制β=βt，t∈ [0，T]，由值函数（43）确定的问题（33）、（34）、（35）、（36）的解为：β=βT=β（T，Zt）=-2λ（b（t）+2c（t）Zt），t∈ [0，T]。（47）证明。

设V（t，Z），Z∈ R、 t型∈ [0，T]，形式为（43）（参见[10]），在（41）、（39）中替换（43），使用多项式恒等式原理，很容易看出问题（41）、（39）归结为终值问题（44）、（45）、（46）。问题（33）、（34）、（35）、（36）的最优控制方程（47）来自（43）、（42）。请注意，最优控制问题（33）、（34）、（35）、（36）的约束条件（35）是一个模型方程，当我们分别具有Zt=Yt，t≥ 0，或Zt=Xt，t≥ 0，且方程式（30）或（31）保持不变。问题（33）、（34）、（35）、（36）是（23）、（24）、（3）中平均场近似值（25）、（26）、（27）的最优控制问题，用于控制Banking系统模型（23）、（24）、（3）的轨迹行为。事实上，我们确定了函数αt，γt，t∈ [0，T]，必须在（23），（24），（3）中替换，以强制（23），（24），（3）的轨迹围绕ξT，T聚集∈ [0，T]，来自问题（33），（34），（35），（36）的最优控制（47）输入Zt=Xt，T∈ [0，T]和（31）。当Zt=Xt，t时，将最优控制（47）与方程（31）进行比较∈ [0，T]，利用多项式恒等式原理，我们得到：αT=c（T）λ，T∈ [0，T]，（48）γT=(R)Xt- ξ-t型-c（t）λ′Xt-2λb（t）- （ξ+t）\', t型∈ [0，T]。（49）注意函数“Xt，t”∈ [0，T]由方程（26）、（27）定义，并包含一个依赖于γT，T的积分∈ [0，T]。这意味着t方程（49）是未知γt，t中的积分方程∈ [0，T]。条件α=αt≥ 0，γ=γt≤ 0，t∈ [0，T]，在（28）中施加的是必须满足的约束。当αT、γT、T的选择不能满足这些约束时∈ [0，T]，在（48），（49）中制造，必须强制执行。

L et us指出，在第5节讨论的数值实验中，函数αt，t∈ 由（48）确定的[0，T]总是正的，而函数γT，T∈ 由（49）确定的[0，T]并不总是小于或等于零。当（49）确定的函数γt为正时，我们强制选择γt=0以保证（28）。一般来说，在施加（28）s a约束后，可以在最小二乘意义下求解方程（48）、（49）来执行约束（28）。αt，γt，t的选择∈ [0，T]，来自（48）、（49）、（28）的信息会导致（23）、（24）、（3）的轨迹在目标轨迹ξT，T周围产生群集效应∈ [0，T]，类似于（33）、（34）、（35）、（36）最优控制β对（35）、（36）轨迹的群集效应。请注意，当我们将（47）与（31）进行比较时，可以使用多项式恒等式原理，但如果我们将（4 7）与（30）或（32）进行比较，则不能使用多项式恒等式原理。在最后一种情况下，这是因为In（32）γ乘以零。实际上，In（30）和（32）β分别是y和x的一次多项式，只有一个系数可以选择。这就是考虑模型（23）、（24）、（3）而不是模型（12）、（13）、（3）的原因。请注意，如前所述，可能的高维动态系统（即银行系统模型（23）、（24）、（3））是通过从低维动态系统（即银行系统模型（23）、（24）、（27）的控制问题（即问题（33）、（34）、（35）、（36））的解中推导出的定律（即定律（48）、（49）、（28））进行控制的（即，银行系统模型（23）、（24）的平均方程（25）、（26）、（27））， (3)).本文所探讨的利用平均场近似来控制高维动力系统的可能性，是基于问题中考虑的代理种群（即。

高维动力系统描述的银行数量是同质的（即银行都是相等的，在极限N内，所有银行的行为都像平均银行）。银行系统模型（23）、（24）、（3）的这一特征是在科学和工程的许多其他环境中发现的一个相当普遍的特征。5系统风险管理let 0≤ τ< τ< +∞ 我们在模型（23）、（24）、（3）中考虑了在有界时间间隔内控制系统风险概率的问题[τ，τ]。系统风险治理基于目标轨迹ξt，t的选择∈ [τ，τ]，参数>0。当函数αt、γt、t∈ [τ，τ]，按照（48）、（49）、（28）的建议进行选择。治理的目标是在两个给定阈值之间的时间间隔【τ，τ】，P（SR【τ，τ】）内保持系统性风险的概率。给定该目标，在时间t=τ时选择目标轨迹ξt，t∈ [τ, τ]. 事实上，我们知道增加ξt- D>0，t∈ [τ，τ]，[τ，τ]中的系统风险概率降低，而降低的ξt- D>0，t∈ [τ，τ]，[τ，τ]中的系统风险概率增加。详细讨论给定的、阈值S、S以及0<S<S<1和ξτ，我们想要确定目标轨迹ξt，t∈ [τ，τ]，使得时间间隔内系统性风险的概率[τ，τ]满足以下不等式：≤ P（SR[τ，τ]）≤ S、 （50）让我们定义一些可用于选择ξt，t的简单规则∈ [τ, τ]. 在时间t=τ时，时间间隔[τ，τ]内目标轨迹的“最简单”选择f为ξt=ξτ，t∈ [τ, τ].

根据这一选择，货币当局确定函数αt、γt、t∈ [τ，τ]，使用（48），（49），（28）并评估与ξt，αt，γt，t选择相关的时间间隔[τ，τ]内系统性风险的可能性∈ [τ，τ]完成，即计算P（SR[τ，τ]）。注意，P（SR[τ，τ]）并非仅从ξt，αt，γt，t∈ [τ，τ]，但也来自var iablesXiτ，i=1，2，N、 根据P（SR[τ，τ]）的值，货币当局的行动如下：策略1：如果P（SR[τ，τ]）小于，货币当局改变目标轨迹ξt，t的选择∈ [τ，τ]，将bankingsystem模型（23）、（24）、（3）“向下”（即减小ξt-D>0，t∈ [τ, τ]);策略2：如果P（SR[τ，τ]）>货币当局改变目标轨迹ξt，t的选择∈ [τ，τ]，“swar m”bankingsystem模型（23），（24），（3）“向上”（即增加ξt- D>0，t∈ [τ, τ]);策略3：如果S≤ P（SR[τ，τ]）≤ S货币当局选择了目标行业，即ξt=ξτ，t∈ [τ，τ]，不变。让我们讨论一些数值实验，以说明前面策略的简单实现。在数值实验中，我们模拟了未来两年内系统性风险的治理情况。治理每季度进行一次，包括在每个季度开始时，选择下一年“idealbank”的对数货币储备的目标轨迹，并将此选择转换为银行规则，使用（48）、（49）、（28）确定下一年的函数αt、γtin的值。这些选择都是为了实现在下一年实施系统性风险概率的目标，以满足不平等（50）。