股权债务评估

这激发了我们在以下章节中介绍和研究的连续时间模型。4连续时间内的问题公式在连续时间模型下，我们假设EBDO在很多点都不成熟0≤ T<T<…<T及时，但根据速率函数h：[0，T]×[0，∞) → [0, ∞) 在给定的时间周期[0，T]内。换句话说，一段时间内的总薪酬【0，t】，其中t∈ [0，T]由zth（s，Ys）ds给出，其中，Ysis是公司在s时的（先验未知）净权益。这里，T>0大于每个EbDO的到期日，因此所有未偿EbDO在时间间隔[0，T]内到期。请注意，值Ysis将随机确定或建模。事实上，我们的主要目标是计算Y。我们假设h（t，·）是单调递增的，满足h（t，0）=0，其中t∈ [0，T]是任意的。备注4.1。请注意，如果公司在其账簿中有固定到期日支付功能的EbDO，则相关支付（YTi）可近似为εrti-εhi（Ys）ds，一些小ε>0。该近似在数学上符合连续时间设置，支付率函数为（s，y）7→εhi（y）1[Ti-ε、 Ti]（s）。除了支付率h外，我们还有总均衡X≥ 0在时间0作为我们计算的起始点。最后，我们需要及时假设总股本的动态。很明显，总股本由于支付率h（s，Ys）而不断减少。除此之外，我们假设存在无漂移的几何布朗运动的随机波动特征。

因此，我们得到X的动态xs=X-Zsh（r，Yr）dr+ZsXr·σdWr，s∈ [0，T]，其中W是布朗运动，其中σ∈ [0, ∞) 是一个固定参数，决定了由于公司的内在绩效，总股本未来演变的不确定性。请注意，我们的工作假设是，公司平均不会收缩，也不会及时增长，因为对未来利润的预期不能包含在计算中，并且已知的未来支出已经包含在x的计算中。这意味着总财富7-→ Xt+Zth（s，Ys）ds是鞅。出于会计目的，我们还必须假设净权益Yt，t∈ [0，T]也是鞅。请注意，XT=YTholds s，因为我们假设在时间T之后没有更多未完成的EBDO。现在，鞅表示定理yieldsYs=XT-ZTsZrdWr，s∈ [0，T]，用一些平方可积过程Z。总之，我们必须求解以下耦合的前后向系统：Xs=X-Rsh（r，Yr）dr+RsσXrdWr，Ys=XT-RTsZrdWr，a.s.适用于所有s∈ [0，T]。（2） 为了证明解X，Y的存在性和唯一性，我们使用了所谓的解耦场方法，该方法旨在分析耦合系统。Webrie在下一节中简要介绍了解耦领域的理论。该方法的基石是构建一个依赖时间的随机场u，该场u通过u（s，Xs）=Ys连接X和Y。备注4。2.在介绍我们分析的理论基础，然后在第6节中实际解决上述问题之前，让我们指出，强耦合FBSDE是一种强大而灵活的工具，可以制定和研究比（2）给出的问题更一般、更复杂的问题。例如，有人可能会对一个问题感兴趣，其中报酬率h也取决于ω∈ Ohm 或在总等式X上。

研究多维问题也是可能的，其中不同公司的净股本将同时确定，例如，由于两个或多个公司相互持有ebdos。如果有一组关联公司组成一个集团，则可能会发生这种情况。我们将这些考虑和归纳保留到未来的研究中，并将重点放在（2）提供的基本时间连续问题上。5解耦方法作为本文的一个关键结果，我们在第6节中证明了（2）的可解性。即使在h的Lipschitz假设下，由于（2）的耦合性质，证明（2）的适定性也不是微不足道的。我们的意思是，描述X动力学的正向方程通过h依赖于Y，而描述Y动力学的反向方程通过条件yt=XT依赖于X。这意味着这两个过程都不能独立于另一个过程进行模拟或计算。此外，即使在underLipschitz条件下，耦合系统也不总是可解的。因此，有必要考虑更微妙的结构特性来进行证明。我们的论证将基于我们在本节中简要总结的解耦领域的方法。对于固定时间范围T>0，我们考虑一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P），其中Fcons包含所有空集，（Wt）T∈[0，T]是一维布朗运动，Ft：=σ（F，（Ws）s∈[0，t]），F：=英尺。

FBSDE的动力学由xs=X+Zsu（r，Xr，Yr，Zr）dr+Zsσ（r，Xr，Yr，Zr）dWr，Yt=ξ（XT）给出-ZTtf（r、Xr、Yr、Zr）dr-ZTtZrdWr，用于s、t∈ [0，T]和X∈ R、 式中，（ξ，（u，σ，f））是可测函数，ξ：Ohm ×R→ R、 u：[0，T]×Ohm ×R×R×R→ R、 σ：[0，T]×Ohm ×R×R×R→ R、 f:[0，T]×Ohm ×R×R×R→ R、 在整个截面u中，假设σ和f相对于（Ft）t可逐渐测量∈[0，T]。与经典解决方案（X、Y、Z）相比，解耦场的结构更加丰富。定义5.1。让t∈ [0，T]。A函数u：[t，t]×Ohm ×R→ R与u（T，·）=ξa.e.对于[T，T]上的（ξ，（u，σ，f）），如果对于所有T，T∈ [t，t]带t≤ tand anyFt可测量Xt：Ohm → R在[t，t]上存在逐步可测量的过程（X，Y，Z），例如xs=Xt+Zstu（R，Xr，Yr，Zr）dr+Zstσ（R，Xr，Yr，Zr）dWr，Ys=Yt-Ztsf（r、Xr、Yr、Zr）dr-ZtsZrdWr，Ys=所有s的u（s，Xs），（3）a.s∈ [t，t]。特别是，我们希望所有积分都得到很好的定义。关于这一定义的一些评论已经到位（3）中的第一个方程称为正向方程，第二个方程称为反向方程，第三个方程称为解耦条件注意，如果t=t，我们得到y=ξ（XT）a.s.作为解耦条件的结果，以及u（t，·）=ξ如果t=t，我们可以说三元组（X，Y，Z）求解FBSDE，这意味着它满足正向和反向方程，以及YT=ξ（XT）。这种关系yt=ξ（XT）被称为终端条件。下面我们需要引入进一步的符号。让我 [0，T]为区间，u:I×Ohm ×R→ 一个映射，使得u（s，·）对于每个s都是可测量的∈ 一、 We definelu，x：=支持∈Iinf{L≥ 0 |对于a.a.ω∈ Ohm : |u（s，ω，x）- u（s，ω，x′）|≤ L | x- x′|对于所有x，x′∈ R} ，其中inf := ∞. 我们还设置Lu，x：=∞ 如果u（s，·）不是每个s都可测量的∈ 我

可以显示Lu，x<∞ 相当于u具有在x中真正Lipschitz连续的修改∈ R、 我们用Lσ，z表示σw.R.t的Lipschitz常数。依赖于最后一个成分z。我们设置Lσ，z=∞ 如果σ在z上不是Lipschitz连续的，则由L-1σ，z=Lσ，zwe表示Lσ，zif Lσ，z>0和∞ 否则对于可积实值随机变量F，表达式Et[F]表示E[F | Ft]，而Et，∞【F】指ess sup E【F | Ft】，可能是∞, 但始终在所有常数c的范围内定义良好∈ [-∞, ∞] 使E【F | Ft】≤ c a.s.此外，我们编写kF k∞对于| F |的本质上确界。在实践中，对（X，Y，Z）的规律性有明确的认识是很重要的。例如，了解进程所在的空间以及它们如何对初始值的更改作出反应是很重要的。定义5.2。让u：[t，t]×Ohm ×R→ R是（ξ，（u，σ，f））的去耦场。如果Lu，x<L，我们说u是弱正则的-1σ，zand sups∈[t，t]ku（s，·，0）k∞< ∞.2、弱正则解耦域u称为强正则域，如果对于所有固定t，t∈ [t，t]，t≤ t、 （3）中出现的过程（X、Y、Z）是唯一且令人满意的过程∈[t，t]Et，∞[| Xs |]+支持∈[t，t]Et，∞[| Ys |]+Et，∞Ztt | Zs | ds< ∞, （4） 对于每个常量初始值Xt=x∈ R、 此外，要求它们作为（x，s，ω）的函数可测量，甚至是弱可微的w.R.t.x∈ rN对于每个s∈ [t，t]映射xs和y是（x，ω）的可测函数，甚至是弱可微的w.r.t.x，使得ess supx∈Rsups∈[t，t]Et，∞h类|xXs | i<∞,ess supx∈Rsups∈[t，t]Et，∞h类|xYs | i<∞,ess supx∈REt，∞Ztt公司|xZs | ds< ∞. (5)3.

我们说，[t，t]上的解耦场在子区间[t，t]上是强正则的 如果u限制为[t，t]，则[t，t]是（u（t，·），（u，σ，f））的强正则解耦场。在适当的条件下，可以发展出一个丰富的解耦场的存在性、唯一性和正则性理论。假设（SLC）：（ξ，（u，σ，f））满足标准Lipschitz条件（SLC）if1。（u，σ，f）在（x，y，z）中是Lipschitz连续的，Lipschitz常数为L，2。k（|u|+| f |+|σ|）（·，·，0，0，0）k∞< ∞,3. ξ : Ohm ×R→ R是可测的，使得kξ（·，0）k∞< ∞ 和Lξ，x<L-1σ，z。为了获得全球存在的概念，我们需要以下定义：定义5.3。我们定义了最大区间Imax （ξ，（u，σ，f））作为所有区间的并集给出的问题的[0，T] [0，T]，因此在[T，T]上存在一个弱正则解耦场u。请注意，最大间隔可能向左打开。同样，让我们注意到，我们在这样一个区间上定义了一个解耦场，作为一个映射，它是一个解耦场，一个包含T的非常紧的子区间。同样，我们可以将弱正则解耦域和强正则解耦域定义为限制在包含t的任意紧子区间内的映射，在上述定义的意义上，它们是弱（或强）正则解耦域。最后，我们在最大区间上有全局存在唯一性：定理5.4（[4]，定理5.1.11，引理5.1.12和推论2.5.5）。设（ξ，（u，σ，f））满足SLC。然后在Imax上存在唯一的强正则解耦场u。此外，Imax=[0，T]或Imax=（tmin，T），其中0≤ tmin<T。在后一种情况下，我们有限制↓tminLu（t，·），x=L-1σ，z。

（6） 此外，对于任何t∈ Imax和任何初始条件Xt=x∈ R在[t，t]满足的情况下，FBSDE有一个唯一的解（X，Y，Z）∈[t，t]E[| Xs |]+支持∈[t，t]E[| Ys |]+EZTt | Zs | ds< ∞.等式（6）允许通过矛盾验证全局存在性，即Imax=[0，T]。我们将此方法视为解耦领域的方法。6求解连续时间问题为了应用上一节的结果，我们需要允许任意实初始值X=X∈ R in（2）。此外，我们通过将h的域设置为零来扩展h的域≤ 最后，我们假设h在x中是一致Lipschitz连续的。在此假设下，问题（2）满足（SLC）。我们使用解耦场的方法来证明[0，T]上存在（2）的解。由于（2）的参数满足（SLC），因此存在一个具有弱正则解耦场u的最大区间Imax（见定理5.4）。在下表中∈ Imax。设（X，Y，Z）=（Xt，X，Yt，X，Zt，X）是初值为X的[t，t]上（2）的解∈ R，使得所有（t，x）的Yt=u（t，Xt）a.s∈ 【t，t】×R。根据强正则性，u是弱可微的w.R.t。初始值x∈ R、 在下文中，我们用uxa版本的u w.R.t.x的弱导数来表示，使得它在其存在的所有点与经典导数一致，并且在其他任何地方都与0一致。此外，过程（X，Y，Z）是弱可微的w.r.t.X。我们可以形式上区分（2）中的正向和反向方程。可以验证是否可以改变差异和积分，以及弱导数的链式规则是否适用（见[4]中的a.2和a.3节）。

因此，对于每个版本，我们都可以得到(xX，xY，xZ）=(xXt，x，xYt，x，xZt，x）的弱导数，使得对于∈ [t，t](xXs，xYs）是（Xs，Ys）的弱导数，对于每个t∈ [t，t]：xXt=1-Ztthy（s，Ys）xYsds+Zttσ·xXsdWs（7）和xYt=xXT型-ZTt公司xZsdWs，（8）用于P λ-几乎所有（ω，x）∈ Ohm ×R.通过重新定义(xX，xY）分别作为（7）和（8）的右侧，我们得到了过程(xX，xY）对于所有（ω，x）在时间上是连续的，但仍然是x，Y w.r.t.x的弱导数。从现在开始，我们总是假设xX和xY在时间上是连续的。我们还假设∈ [t，t]映射XXT和XT和Ytw的XYTAR弱导数。r、 t.x公司∈ R、 尤其是xXt=1 a.s.，几乎所有x∈ R、 为了得到弱导数ux的界，我们研究了过程Vt：=ux（t，Xt），t∈ [t，t]。回想一下，对于所有（t，x），Yt=u（t，Xt）a.s∈ [t，t]×R。因此，对于固定的t∈ [t，t]，方程w.r.t.x的两个边的弱导数∈ R必须与P重合 λ空集。弱导数的链式法则（见[1]中的推论3.2或[4]中的引理A.3.1）暗示，对于任何固定的∈ [t，t]，我们对P有 λ-几乎所有（ω，x）xYt公司{xXt>0}=ux（t，Xt）xXt型{xXt>0}=VtxXt型{xXt>0}。（9） 现在，选择一个固定的x∈ 如图所示xXt=1 a.s。，（9） ，（7），（8）满足almostall（ω，t）∈ [t，t]×Ohm 此外，对于t=t，P，几乎可以肯定，（9）是令人满意的。请注意，自xX，xY在时间上是连续的，（7）和（8）实际上对所有t保持不变∈ [t，t]，P-几乎可以肯定。观察Vtis有界，因为uxis有界。现在我们来看看V的动力学。引理6.1。

过程（Vt）t∈[t，t]有一个时间连续的版本，这是一个It^o流程。此外，存在一个平方可积渐进过程bZ，使得（V，bZ）是BSDEVt=1的唯一解-ZTtbZsdWs-ZTt公司Vshy（s，Ys）- σbZsds，t∈ [t，t]。证据设τn=T∧ inf{t≥ 电话：xXt型≤n} 。在[t，τn]上，我们有Vt=xYt公司xXt，a.e.因此VHA是一个版本，它是在[t，τn]上的It^o过程。我们用vt=ux（t，x）+ZttbZsdWs+Zttκsdt，t来表示It^oprocess分解∈ [t，τn]。乘积公式得出，on【t，τn】，d（VtxXt）=Vt(-hy（t，Yt）xYtdt+σ·xXtdWt）+xXt型κtdt+bZtdWt+ σ · xXtbZtdt。观察VtxXt=xYt。漂移和扩散系数与系数（8）一致。这意味着：xZt=VtσxXt+XXTBZ与0=-Vthy（t，Yt）xYt+xXtκt+σ·xXtbZt。使用简单的转换，我们得到了bzt=xZt公司xXt型- σVt和κt=Vthy（t，Yt）Vt- σbZt，再次关于随机区间[t，τn]。仍需证明τ：=limn→∞τn=T a.s.到此结束注意，根据（7），xXtsatis fies，on【t，τ】，线性SDEdxXt=αtxXtdt+σxXtdWt，其中αt=-hy（t，Yt）vt是一致有界的。因此xXt型∧τn=expZt公司∧τntαs-σds+Zt∧τntσdWs.现在如果（limn→∞对于某些ω，xXτn）（ω）=0，然后limn→∞|Wt公司∧τn（ω）|=∞ 表示相同的ω。然而，这几乎对所有ω都是错误的。换句话说，持续的过程xxx不以概率1达到0，因此limn→∞τn=T a.s.特别是Vt=xYt公司xXta。e、 V有一个时间连续的版本。在下面，我们假设V是引理6.1的时间连续版本。注意，存在一个概率度量Q~ P使得dqdp=expZTtσdWt-ZTtσdt.根据Girsanov定理WQt：=Wt-Rttσds，t∈ [t，t]是一个布朗运动w.r.t.Q。观察V satifiesvt=1-ZTtbZsdWQs-ZTtVshy（s，Ys）ds，t∈ [t，t]。在新的概率测度下，我们现在证明：引理6.2。对于所有t∈ 我们有a.s。

q≤ 及物动词≤ 1，其中q：=exp(-T khyk公司∞) ∈ (0, 1).证据定义切割函数c（v）：=（（v∨ 0) ∧ 1） 并考虑Lipschitz BSDEˇVt=1的解（V，Z）-ZTtˇZsdWQs-ZTtc（ˇVs）hy（s，Ys）ds，t∈ [t，t]。ˋV和V是否相同，这在先验上并不清楚。应用于（V，Z）和参数为（1，0）的BSDE的比较定理意味着≤ 1、与BSDEwith参数（1，-khyk公司∞c） ，其中-khyk公司∞c≤ -chy（s，Ys）指发电机y ieldsˇVt≥ q、 在确定了ˋV假设[0，1]中的值之后，我们得到了c（ˋVs）=ˋV，这样有界过程ˋV和V满足相同的局部Lipschitz BSDE，因此是相同的。因此，我们得到q≤ 及物动词≤ 1、请注意，我们选择了V的一个版本，以便Vt=xYt公司XXT适用于所有t∈ [t，t]。此外，对于t=t，我们有Vt=xYt=ux（t，x），a.s。由于x是在λ-null集之外任意选择的，因此ux（t，·）本质上是由1包围的。由于界限不依赖于t，根据定理5.4，它必须保持Imax=[0，t]，这就得出了FBSDE（2）适定性的证明。此外，以下观点是正确的：6.3号提案。对于（2）给出的问题，在[0，T]上存在唯一的弱正则解耦域u。除了强正则外，u还具有以下性质：ou是确定性的，即它只是（s，x）的函数。ou（s，x）=x每当x≤ 0.o弱导数Ux仅取[q，1]中的值。特别是，u在x中单调递增。最后，对于任何x=x∈ [0, ∞ ) 在满足[0，T]的条件下，FBSDE（2）存在唯一解（X，Y，Z）∈[0，T]E[| Xs |]+支持∈[0，T]E[| Ys |]+EZT | Zs | ds< ∞.这一独特的解决方案满足了0≤ Ys=u（s，Xs）≤ XS适用于所有s∈ [0，T]。证据（X，Y，Z）的存在性来自定理5.4。Ux假设[q，1]中的值这一事实是引理6.2的直接结果，引理6.2适用于任何t∈ [0，T]。