股权债务评估

此外，u是确定性的，因为h具有此性质（参见[4]中的引理2.5.13）。我们接下来显示u（t，x）=x代表x≤ 0和t∈ [0，T]：在这种情况下，可以显式提供（2）的解：Xt=x expZttσdWs-Zttσds,Yt=E[XT | Ft]=XT，t∈ [t，t]。由于h（t，Yt）=0，很容易验证这些非正鞅过程实际上解决了FBSDE。因此，u（t，x）=u（t，Xt）=Yt=Xt=x。它仍然显示0≤ Ys=u（s，Xs）≤ Xsfor x≥ 0：因为u（s，0）=0，并且因为u在x中递增，导数最多为1，所以我们有0≤ u（s，x）≤ x、 对于所有x≥ 一般问题（2）中的一个示例无法以闭合形式求解，需要使用耦合FBSDE的数值格式来计算或近似解耦场u:[0，T]×R→ R.一旦获得解耦场，正向方程（即（2）中的第一个方程）将被向前追踪以进行模拟，Y将从Ys=u（s，Xs）中获得。然而，在特殊情况下，可以方便地获得解决方案：假设h是时间齐次线性的（对于非负净股票），即h（s，y）=γy+，某些常数γ>0。让t∈ [0，T]和x=Xt∈ [0, ∞). 根据命题6.3（应用于区间[t，t]），过程Y是非负的，因此引理6.1 yieldsVt=1-ZTtbZsdWQs-ZTtVsγds，t∈ [t，t]。因为1和γ是确定性的，所以很自然地推测V只依赖于时间，这样的bz就会消失。这意味着V解出一个二次常微分方程，这个解很容易得到。实际上，很容易检查t 7→1+γ（T-t） 是引理6.1中V所满足的BSDE的丰富解，这意味着Bz=0，Vt=1+γ（t- t） ，t∈ [t，t]。尤其是ux（t，x）=Vt=1+γ（t-t） 对于所有x∈ [0, ∞) 和所有t∈ [0，T]。这意味着u（t，x）=x1+γ（t- t） ，（t，x）∈ [0，T]×[0，∞)使用命题6.3。

尤其是Y=u（0，X）=X（1+γT）-接下来我们观察（2）并得出结论，对于X∈ [0, ∞) [0，T]上对应的过程X是线性SDEXs=X的唯一解-Zsγ1+γ（T- r） Xrdr+ZsσXrdWr。这允许在没有内在增长或收缩的假设下模拟总股本X。鼓励感兴趣的读者将It^o公式应用于u，以验证t 7→ Yt=u（t，Xt）实际上是一个鞅。如果投资者希望在指数增长率参数u>0给出的正增长假设下工作，则要模拟的SDE为xs=X+Zsu -γ1+γ（T- r）Xrdr+ZsσXrdWr。不考虑u∈ R函数s 7→ E【Xs】满足线性ODE。此外，在一个时间间隔[a，b]内到期的EBDO的相应值 [0，T]计算为v iaZbaE[h（s，Ys）]ds=ZbaE[h（s，u（s，Xs））]ds=ZbaγE[Xs]1+γ（T- s） ds。请注意，在上述示例中，波动率参数σ影响过程X、Y的波动率，但不影响其预期值。预期收益（分别为BDO的价值）也不受影响。这只是线性情况的特征。参考文献【1】L.Ambrosio和G.Dal Maso。分配导数的一般链式规则。过程。是数学Soc。，108(3):691–702, 1990.[2] S.Ankirchner和A.From。通过解耦场优化控制扩散系数。《暹罗控制与优化杂志》，56（4）：2959–29762018。[3] F.德拉鲁。关于非退化情形下FBSDE解的存在唯一性。随机过程。应用程序。，99(2):209–286, 2002.[4] A.弗洛姆。正反向随机微分方程解耦场的理论与应用。柏林洪堡大学博士论文，2015年。[5] A.弗洛姆和P.伊姆凯勒。通过解耦领域实现效用最大化。预印本XIV:1711.0603320017。[6] A.弗洛姆、P.伊姆凯勒和D.普罗梅尔。

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