股权债务评估

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英文标题：
《Evaluation of equity-based debt obligations》
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作者：
Alexander Fromm
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a class of participation rights, i.e. obligations issued by a company to investors who are interested in performance-based compensation. Albeit having desirable economic properties equity-based debt obligations (EbDO) pose challenges in accounting and contract pricing. We formulate and solve the associated mathematical problem in a discrete time, as well as a continuous time setting. In the latter case the problem is reduced to a forward-backward stochastic differential equation (FBSDE) and solved using the method of decoupling fields.
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中文摘要：
我们考虑一类参与权，即公司向对基于绩效的薪酬感兴趣的投资者发行的义务。尽管具有理想的经济属性，但基于股权的债务义务（EbDO）在会计和合同定价方面提出了挑战。我们在离散时间和连续时间内制定和解决相关的数学问题。在后一种情况下，问题归结为一个正倒向随机微分方程（FBSDE），并使用解耦场方法求解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：Mathematical Quantitative Compensation Differential Obligations

基于权益的债务评估Alexander Fromm*+1耶拿大学数学研究所，Ernst Abbe Platz，07 743 Jena，Germany 2019年1月9日摘要我们考虑一类参与权，即公司向对绩效薪酬感兴趣的投资者发行的义务。尽管拥有理想的经济属性，但基于股权的债务义务（EbDO）在会计和合同定价方面带来了挑战。我们在离散时间和连续时间设置中制定并解决相关的数学问题。在后一种情况下，问题归结为一个前向-后向随机微分方程（FBSDE），并使用解耦场方法进行求解。2010年数学学科分类。91G50、91G80、60H30。关键词。参与权、夹层资本、前后向随机微分方程、去耦场。简介基于股权的债务义务（EbDO）是一种参与权形式：它们构成了投资者和公司之间的法律安排，根据该安排，投资者可以获得公司的股份。与普通股相反，EbDO并不构成公司的共同所有权。这在法律上是一种债务形式。同时，债务量不是固定的，而是取决于公司未来的业绩。EbDO在其他类型的参与权中是独一无二的，因为它们提供了对公司未来股权最直接、最可靠的访问：EbDO定义为任何债务，根据该债务，所欠资金在未来某个时刻（到期日）是公司股权的增加函数。在这里，公司的权益定义为其所有资产的总和减去其在给定时刻的所有未偿债务的总量。我们在第1节中讨论了EBDO背后的动机，并将其与其他形式的参与进行了比较。

EbDOs的一个关键优势是，公司和各自的投资者可以同时胜负。因此，一方利用另一方的可能性大大降低。*A、 from感谢德国研究基金会通过项目AN 1024/4-1提供的支持。+亚历山大。fromm@uni-耶拿。然而，在实践中使用EBDO存在一个障碍：虽然EBDOI的薪酬是股本的函数，但股本也是未偿EbDOs预期薪酬的函数，因为在计算股本时必须考虑所有债务。因此，公司股本以及未偿EbDO债务的价值并没有明确定义，而只是通过未偿EbDO的支付功能隐含地给出。从数学角度来看，我们面临以下问题：给定一家公司的总股本，即其资产价值减去所有未履行债务的价值，并给出一系列未偿EBDO的薪酬函数，明确计算总股本如何在公司和投资者之间分配，这样，公司剩余的股份（即净股本）在对其应用支付函数时会产生投资者的股份。一个更根本的问题是，在第一个计划中，这一问题有一个独特的解决方案。能够解决这一问题对EbDOs在实践中的适用性至关重要：首先，公司通常有法律义务了解并报告其股票。更重要的是，公司必须在EbDO到期时了解其权益，否则无法确定支付金额。最后，了解grossequity的变化如何影响实际股本非常有用：例如，这将允许公司管理层确定新EbDO的售价。

价格必须使公司因募集资金而增加的资产超过未偿债务的增加，从而使实际股本因交易而增加。我们解决了在离散时间模型和连续时间模型下评估EbDO债务和计算净权益的问题。虽然这两种模型各有优缺点，但两种方法都可以在实践中使用。然而，离散时间情况下的计算在数学上不太具挑战性，更容易实现。然而，连续时间模型更灵活，允许扩展到更复杂的问题。在研究连续时间模型的过程中，我们将EbDO债务评估问题简化为向前向后的随机微分方程（FBSDE）。不幸的是，结果系统是耦合的，即前向方程和后向方程都不能独立于另一个方程进行模拟。此外，这种耦合系统不一定是适定的。长期以来，要找到保证给定完全耦合的FBSDE拥有解决方案的条件是一个长期的挑战。例如，在【7】、【11】、【10】、【12】、【3】、【8】中提供了充分的条件（另请参见其中的参考文献）。[4]中开发的解耦领域的方法（另请参见前体文章[9]和[8]）对于确定是否存在解决方案非常有用。解耦场描述了后向部分Y对前向分量X的函数依赖性。如果完全耦合的FBSDE的系数满足Lipschitz条件，则存在一个具有解三元组（X，Y，Z）和具有良好正则性的解耦场的最大非消失区间。

解耦场的方法包括分析解耦场梯度的动力学，以确定FBSDE是否在整个时间间隔内有解[0，T]。该方法可以成功地应用于涉及耦合FBSDE的各种问题：在[6]中，构造了具有二维正演方程的二次强耦合FBSDE的解，以获得具有非线性漂移的高斯过程的Skorokhod嵌入问题的解。在[5]中，不完全市场中的效用最大化问题被视为一类效用函数，通过构造相关耦合FBSDE的解来解决。在最近的工作【2】中，该方法用于获得差异系数最优控制问题的解决方案。在本文中，我们遵循类似的方法来证明我们的FBSDE实际上是适定的。本文的结构如下：在第1节中，我们从纯经济学的角度讨论EBDO，并考虑其关键特性。在第二节中，我们用数学方法描述了离散时间内的BDO评估问题。在第三节中，我们解决了离散时间问题，证明了其适定性，并推导了一个简单的数值格式来计算解。在第4节中，连续时间问题以耦合FBSDE的形式表示。由于我们依赖解耦场的方法来研究该系统，因此我们在第5节简要介绍了该方法及其基本理论。最后，第6节显示了第4节中FBSDE解的存在性和唯一性。此外，对于一个简单的示例，显式地获得了解。

请注意，我们没有提供一个数值格式来近似第4节中介绍的FBSDE的解：FBSDE的数值处理是一个单独的主题，通常在更一般的上下文中考虑。1 EBDO与导言中提到的其他形式的参与相比，研究基于股权的债务的动机可以称为投资者的参与问题：投资者拥有可以帮助公司实现其生产目标的资产。假设投资者在特定时刻不需要或不使用这些资产，并且可以向公司提供这些资产，前提是其投资有足够的回报。很明显，这种回报应该来自投资者和公司之间的法律安排对公司资产的索赔。问题在于设计合同，使双方都能平均受益或预期受益。任何成功安排的第一个先决条件当然是公司拥有健全的业务战略，这样公司内部的资产可能会因利润而增长。请注意，这些利润往往不仅来源于公司现有的专有技术和专业知识，但事实上，通过投资者的参与，该公司能够积聚各种资源，以首先实施一个非琐碎的生产计划。换言之，资源集中本身，例如通过发行参与权，可以显著提高企业的能力和盈利能力。从数学上讲，利润可以定义为公司股本的及时变化。根据权益的含义（如总权益或净权益），可以进一步区分总利润和净利润。

除了对盈利能力的假设外，成功安排的第二个先决条件是对投资者获得公司未来盈利份额的含义有一个明确的定义。同意支付是一个很自然的过程，该支付是从作出安排的那一刻起到安排结束的一段时间内整体盈利的函数明确的到期日。由于目前的权益是已知的，只有未来的权益是一个随机变量，这相当于假设支付是未来权益的函数。与其他参与权不同，EbDO是净权益的函数，而不是任何其他权益概念的函数。请注意，净权益是公司的真实权益，因为这是在考虑并减去所有现有债务（包括未偿EBDO本身）后剩余的权益。我们进一步假设这种支付函数正在增加：未来净股本越大，投资者在到期时获得的收益就越多。假设净资产为零的情况下没有支付也是很自然的。典型的EbDO支付函数ish（y）：=α·（y- y） +，其中y≥ 0，α>0是固定常数，其中·+表示实数的正部分。换句话说，payoff等于α（y- y） 如果未来权益y大于y，则后者通常设置为签订合同时的权益。如果y≤ y、 另一方面，根本没有报酬。现在假设对于具有支付功能的EbDO，已达到到期日。然后，总股本x，即所有资产减去所有固定资产（即基于非绩效的负债）的总和是已知的或可以直接计算出来的。假设只有一个EbDO，没有其他基于绩效的债务，则值y仍然未知，并由条件y+h（y）=x隐式给出。如果y=0且x>0，则唯一解为y=x1+α。

相应地，h（y）=xα1+α。请注意，无论选择Howlageα>0，y均为正值。因此，公司可以发行的ebdo数量没有限制。除EBDO外，还有其他用于基本相同经济目的的参与计划。举个例子，让我们命名普通股、优先股和参与权，其中支付是总股本的函数或总股本在一段时间内的变化。作为一个具体的例子，我们可以考虑payoffh（x）：=α（x- x） +，其中x≥ 0指公司在未来某一固定时刻的总股本。在这种情况下，净权益为y=x- h（x），假设没有其他基于绩效的债务。请注意，α>0不应超过1，否则将发生破产，以获得足够大的收益！与上述备选方案相比，EbDOs是一种优越的解决方案有多种原因，从某种意义上讲，EbDOs作为一种安排，为投资者和公司提供了更好的交易。我们现在简要地讨论了关键优势：可预测性和可测量性：正如我们在以下章节中所看到的，投资者可以根据其对公司（未来）盈利能力的预期，明确计算其作为EbDO持有人的平均收入。这个随机变量的其他力矩也可以计算出来。除此之外，投资者知道随着合同中约定的到期日，付款何时发生。这是一个显著的优势。g、 普通股：在后一种情况下，投资者可能不知道何时会支付股息，以及是否会支付任何股息。此外，此类薪酬不一定与公司业绩挂钩：盈利的公司并不立即意味着他们将以股息的形式支付。

这很可能取决于管理层和/或其他投资者（股东）的决策，而isoften仅受到特定投资者的显著影响。这可能对少数股东尤其重要。如果该公司没有支付任何股息，并且没有可靠的机制迫使其支付股息，那么持有该公司的股份可能只会让纯粹的投机者感兴趣，而不会让实际投资者感兴趣。激励：EBDO的一个关键优势是，它们可以防止公司与各自投资者之间的利益冲突。这是因为支付是支付后公司剩余部分（以及所有其他支付和/或未来支付的预期价值）的增加函数。因此，在不减少自身净权益的情况下，公司无法采取任何行动来减少支付费用。相反，投资者在不帮助公司成长的情况下，无法采取任何行动来增加其回报。换句话说，公司和投资者“坐在同一条船上”。由此，所有EbDO持有者“坐在同一条船上”。公司的净权益是每个人都希望最大化的参考价值。EBDO的上述属性不容低估，因为它非常适合高管和其他对公司行使控制权或以其他方式影响其经济绩效的人员的薪酬。

当每个人都有兴趣增加相同的价值，即净资产时，它会推动这些人进行合作。灵活性：与普通股不同，EbDO可以根据个人投资者的需要量身定制，通过适当选择相应的支付函数和到期日来反映特定投资者的偏好。发行容易：普通股的一个主要问题是稀释：发行的股票越多，预计已发行股票的价值将下降得越多，特别是如果s股以相对较低的价格出售。这意味着，一方面，由于通过公共基金筹集的资金，公司股本增加，但另一方面，现有投资者不一定会从这一增加中受益。鉴于管理层保护现有投资者利益的承诺，没有直接的标准来决定在何种情况下发行新股是合适还是不合适。然而，对于EbDO来说，这个问题不会出现：任何增加公司净资产的行动都对公司和现有EbDO持有人都有好处。换句话说，公司管理层可以自由地集中精力提高净股本，例如通过发行EBDO。它必须只确保没有EbDO低于所谓的风险中性价格出售（见第3节）。这方面的另一个问题出现在以总股本为基础的参与权上：由于所有总股本最终都由现有投资者主张并在现有投资者之间分配，而剩余净股本相比之下变得微不足道，因此可以发行多少此类参与权就有一个自然的限制。