帕累托指数与最高收入的有效最小距离估计

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英文标题：
《Efficient Minimum Distance Estimation of Pareto Exponent from Top Income
  Shares》
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作者：
Alexis Akira Toda and Yulong Wang
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We propose an efficient estimation method for the income Pareto exponent when only certain top income shares are observable. Our estimator is based on the asymptotic theory of weighted sums of order statistics and the efficient minimum distance estimator. Simulations show that our estimator has excellent finite sample properties. We apply our estimation method to U.S. top income share data and find that the Pareto exponent has been stable at around 1.5 since 1985, suggesting that the rise in inequality during the last three decades is mainly driven by redistribution between the rich and poor, not among the rich.
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中文摘要：
我们提出了一种有效的估计收入帕累托指数的方法，当只有某些最高收入份额是可观察的。我们的估计是基于阶统计量加权和的渐近理论和有效的最小距离估计。仿真结果表明，该估计器具有优良的有限样本性质。我们将我们的估计方法应用于美国最高收入份额数据，发现自1985年以来，帕累托指数一直稳定在1.5左右，这表明过去三十年来不平等的加剧主要是由富人和穷人之间的再分配驱动的，而不是富人之间的再分配。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Efficient_Minimum_Distance_Estimation_of_Pareto_Exponent_from_Top_Income_Shares.pdf (433.64 KB)

2022-6-11 09:21:20 上传

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关键词：帕累托指数 帕累托 高收入 Contribution distribution

来自最高收入股票的帕累托指数的有效最小距离估计Akira Toda*1和Yulong Wang+2加利福尼亚大学圣地亚哥分校经济系锡拉丘兹大学麦克斯韦学院经济系，2020年2月24日摘要我们提出了一种有效的收入帕累托成分估计方法，当只能观察到某些总收入份额时。我们的估计基于阶统计量加权和的渐近理论和有效的最小距离估计。仿真结果表明，ourestimator具有优良的有限样本性质。我们将我们的估计方法应用于美国最高收入份额数据，发现自1985年以来，帕累托指数一直稳定在1.5左右，这表明过去三十年来不平等的加剧主要是由富人和穷人之间的再分配驱动的，而非富人之间的再分配。关键词：最小距离估计，阶统计量，幂律。JEL代码：C46.1简介众所周知，收入分配以及许多其他经济利益的iz e分布都具有帕累托（幂律）尾部，这意味着尾部概率P（X>X）像幂函数X一样衰减-α对于大x，其中α>0称为帕累托指数。通常，了解帕累托指数α具有相当大的实际意义，因为它决定了富人收入分配的形状，从而决定了收入不平等。作为一个激励的例子，考虑一下最优税收理论。如果政府的目标*电子邮件：atoda@ucsd.edu.+电子邮件：ywang402@maxwell.syr.edu.Pareto（18961897）发现，收入的等级-规模分布在对数-对数图上呈直线模式，这意味着幂律。

城市规模（Auerbach，1913年；Zipf，1949年；Gabax，1999年；Giesen等人，2010年；R ozenfeld等人，2011年）、企业规模（Axtell，2001年）、财富（Klass等人，2006年；Vermeulen，2018年）和消费（Toda和Walsh，2015年；Toda，2017年）等都记录了经济变量规模分布的幂律。有关幂律的介绍，请参见Gabaix（2009）。更精确的说法是P（X>X）=X-αl（x） ，其中l 是一个缓慢变化的函数。参见Bingham et al.（1987），了解缓慢变化函数的性质和相关概念。则Saez（2001）表明，最优所得税率为τ=1+αe，其中α是收入帕累托指数，eis是上档收入相对于税率的弹性。如果我们将Piketty等人（2014）估计的e=0.3，以及经常提到的α=1.5–3，那么最佳税率范围为α=1.5时的70%和α=3时的53%。显然，帕累托指数的知识对政策设计很重要。当个人收入数据可用时，通过最大似然法（Hill，1975）、对数秩回归法（Gabaix a and Ibr agimov，2011）、固定k渐近法（M¨uller and Wang，2017）或其他方法对帕累托指数进行估计和推断相对简单。即使个人数据不可用，如果我们有装箱数据，我们仍然可以通过目测（Pareto，1897）或最大可能性（Virkar和Clauset，2014）来估计帕累托效应。然而，在实践中，经常会出现这样的情况（尤其是对于管理数据），即只报告最高收入股票，而个人数据不可用。下表1是一个典型的例子，总结了美国ho usehold的收入分配情况。这种以表格形式出现的数据非常常见，包括世界不平等数据库。表1：美国。

最高收入份额（%）。年度最高收入百分比0.01 0.1 0.5 1 5 101917 3.37 8.40 14.34 17.74 30.64 40.51。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2017年4月95日10.43 17.16 21.47 38.14 50.14此类收入共享数据的现有研究通常依赖于整个分布的一些参数假设。在给定参数密度的情况下，不网格可以表示为未知参数的函数，然后用基于矩的估计量进行估计。统计推断是通过使用渐近正态性或自举来构造的。例如，McDonald（1984年）、Kleiber和Kotz（2003年）建议使用广义beta-typeII分布（GB2）来近似整个收入分布。在此假设下，Chotikapanich et al.（2007）、Chotikapanich et al.（2012）和Hajarg asht et al.（2012）为分组平均数和共享数据开发了基于矩的估计器和推理方法，Chen（2018）进一步构建了一个支持分组数据一般形式的统一框架。这些方法都侧重于中间样本矩，可以用knownSee Atkinson和Piketty（2010年，表13A.23）表示，以获取收入帕累托指数（Pareto IndonentsCross time）列表和根据最高收入份额数据估计的国家。

使用Toda（2012）和Ibragimov和Ibragimov（2018）等微观数据的研究也发现了类似的数字。这些数字取自Piketty和Saez（2003）最新电子表格的表A.3（包括资本收益在内的最高收入份额），可下载athttps://eml.berkeley.edu/~saez/TabFig2017prel。xls。https://wid.world/However，Toda（2012，2017）表明，作为收入和消费分布的模型，GB2的表现优于双帕累托正态分布（dPlN）。GB2分布参数的功能。然而，当感兴趣的对象位于尾部时，整个分布的参数估计可能会导致亚本质的误判错误。这是因为尾部特性（如非常大的分位数）通常规模较大，因此样本中部的小误判可能会被数据中的大因素放大。例如，标准非正态分布和自由度为20的Student-t分布在中样本中几乎共享相同的形状，但表现出次不同的顶部分位数。Brzezinski（2013）在一项拉伸模拟研究中记录了此类规范。除了中间样本中潜在的误判之外，在研究尾部相关对象时，还有另一个偏差来源，即大阶统计量的依赖性。假设我们对基础分布的右尾感兴趣，那么本质上只有最大阶统计量才是有用的。即使观测值是独立的，最大阶统计量也不是。如果忽视了这种依赖性，可能会再次产生巨大的误判错误，尤其是当考虑到最高收入份额（如0.01%）时。例如，将人口规模想象为10。

排名前0.01%的份额仅涉及十大订单统计数据，其分布必须联合建模，以捕捉这种趋势。在本报告中，我们只关注最高收入的股票，并提出了一种有效的帕累托检验方法。与现有方法相比，新的估计量考虑了大阶统计量之间的依赖性，并且对中样本的误判具有鲁棒性。特别是，我们的方法基于以下观察结果。根据定义，最高收入份额是一些最高百分位数的订单统计和总收入之间的比率。假设收入分布的上尾是帕累托分布，我们利用Stigler（1974）关于加权序和统计量的结果，导出了归一化最高收入份额的联合渐近分布。根据这一结果，我们定义了经典最小距离（CMD）估计量（Chiang，1956；Ferguson，1958），并推导了其渐近性质。更具体地说，如果不观察个别数据，我们通常无法确定潜在分布的形状。然而，如果我们假设样本大小足够大（但不一定已知），并且基础分布有一个帕累托上尾，我们可以证明，顶部份额是联合对称高斯的，平均向量和方差协方差矩阵由帕累托指数和尺度参数表征。由于尺度参数仅在给定份额的情况下是不确定的，我们通过施加尺度不变性并考虑自规范化统计来消除它，其分布仍然是联合正态的，但现在完全由帕累托指数来表征。因此，该问题渐近等价于使用一个r andom图估计联合正态分布中的单个参数。

然后，有效的解决方案是考虑持续更新的最小值。在应用部分，Chen（2018）使用了中国关于十分之一收入份额的数据，以及美国关于五分位数系列、前5%份额和样本分位数的数据。这些都是相对于本文中考虑的最高收入份额的中等样本矩。Beach和Davidson（1983）以及Beach和Richmond（1985）提出了一些估计和推断Lor-enz曲线的无分布方法。他们的方法需要重新估计总体均值、方差和其他一些矩，这在我们的情况下是不可行的。此外，他们更关注Middle样本，而不是尾部。距离估计器（CUMDE）。正如我们在模拟中所显示的那样，当模型正确指定时，该估计器具有极好的有限样本特性。我们注意到，只有尾部而不是整个收入分布需要帕累托假设，这就是为什么我们的方法对中样本中的误判具有鲁棒性。特别是，当数据生成过程不是精确的帕累托过程时，当我们只使用足够小的top百分位数（如前1%）且样本大小足够大时，我们的估计器仍然表现良好，这通常是基于ta x回报的收入份额数据的情况（其中房屋数量在一百万左右）。我们应用我们的新方法估计了美国和法国的收入帕累托指数。在美国，我们估计收入帕累托指数已从1975年的约2.2下降至1985年的约1.6，自那时以来，该指数一直保持在1.5左右的相对稳定，95%的保守置信区间长度不超过0.1。

这一发现与其他不平等指标形成了鲜明对比，如收入最高的1%所占比例，从1985年的约10%增加到目前的20%，并表明上个十年不平等的加剧主要是由富人和穷人之间的再分配驱动的，而非富人之间的再分配。在法国，我们发现帕累托指数在战后第二轮是稳定的。2阶统计量加权和在本节中，我们推导了帕累托分布的阶统计量加权和的渐近分布，随后我们用它来构造帕累托指数的估计量。设{Yi}ni=1为正随机变量Y的独立同分布（i.i.d.）副本，累积分布函数（CDF）F（Y），密度F（Y）=F′（Y）。莱蒂（1）≥ ··· ≥ Y（n）表示顺序统计。根据Stigler（1974），考虑加权sumLn=nnXi=1J输入+1Y（n-i+1），其中J：[0，1]→ R是一个关于Lebes-gue测度几乎处处有界且连续的函数。当j（x）=1[1- q<x≤ 1.- p] （2.1）对于某些0<p<q≤ 1，Ln可以解释为顶部100p a和100q百分位数之间的Y（i）之和除以s样本大小n。下面的引理表明Ln是渐近正态的。引理2.1。设J如（2.1）所示。然后√n（Ln- u（J，F））d-→ N（0，σ（J，F）），其中u（J，F）=ZJ（x）F-1（x）dx，（2.2a）σ（J，F）=ZZJ（x）J（x）F（F-1（x））f（f-1（x））（最小{x，x}- xx）dxdx。（2.2b）证明。这个陈述来自Stigler（1974，定理5）和变量x=F（y）的变化。注意，J（x）=1[1- q<x≤ 1.- p] 当x>1时，表示J（x）=0- p、 在本文的其余部分，我们假设Y是Pareto分布，Pareto expo ne ntα>1，最小尺寸c>0，因此F（Y）=1- （是/c）-αfory≥ c、 帕累托指数α捕捉形状，最小尺寸c表征尺度。

通过简单代数，我们得到F（y）=F′（y）=αcαy-α-1、（2.3a）F-1（x）=c（1- x）-1/α，（2.3b）f（f-1（x））=αc（1- x） 1+1/α。（2.3c）当Y是帕累托分布时，我们可以显式地计算引理2.1中的矩，如下所示。引理2.2。设J如（2.1）所示，F是指数α>1且最小尺寸c的帕累托CDF。设ξ=1/α<1，我们得到u（J，F）=u（p，q）：=cq1-ξ- p1级-ξ1 - ξ、 （2.4a）σ（J，F）=σ（p，q）：=2cξ1- ξ第一季度-2ξ- p1级-2ξ1 - 2ξ+p1-ξq-ξ- p-ξξ+2p1-ξq1-ξ- p2级-2ξ- 第2季度-2ξ2 - 2ξ,（2.4b）其中Q1-2ξ-p1级-2ξ1-2ξ被解释为logqpifξ=1/2。接下来，我们考虑了Y（i）之和在一些toppercentile群上的联合分布。支持有K个按K=1索引的组，K、 而第K-th组对应的pkto-pk+1%最高，当0<p<·····<pk<pk+1≤ 1、定义“Yk=n”npk+1Xi=npk公司+1Y（i），（2.5），其中x个 用引理2表示不超过x的最大整数。1和2.2，我们有√n（(R)Yk- uk）d-→ N（0，σk），我们排除了最大np公司 当α<2时，顺序统计量的平均值不满足中心极限定理的假设。式中，uk=u（pk，pk+1）和σk=σ（pk，pk+1）分别由（2.4a）和（2.4b）给出。设Y=（\'Y，…，\'YK）和u=（u，…，uK）. 然后通过theCram\'er Wold设备，可以得出如下结论√n（(R)Y）- u）d-→ N（0，∑），（2.6），其中∑是∑kk=σk的方差矩阵。下面的引理给出了∑的一个明确公式。引理2.3。（2.6）中的方差矩阵∑是对称的，∑jk=σk=σ（pk，pk+1），（j=k）-cξp1-ξj+1-p1级-ξj1-ξp-ξk+1-p-ξkξ+p1-ξk+1-p1级-ξk1-ξ. （j<k）（2.7）此外，∑是正定义。3最小距离估计在实践中，收入分配通常以表1所示的最高收入份额的表格形式呈现，微观数据不可用。

在这种情况下，研究人员被迫根据给定的前百分位的最高收入份额，对帕累托博览会进行推断，例如p=（p，p，p，p，p，p）=（0.01，0.1，0.5，1，5，10）（3.1），如表1所示。如果Y作为帕累托分布，指数α>1，最小尺寸c>0，则使用F（Y）=1- （是/c）-α、 人口最高p百分位数为1- （是/c）-α= 1 - p<==> y=cp-1/α.使用（2.3a），人口最多的p每百分位数的总收入为Y（p）：=Z∞内容提供商-1/αyαcαy-α-1dy=cαα- 1p1-1/α.因此，人口最高p收入份额isS（p）：=Y（p）/Y（1）=p1-1/α，仅取决于p和α。如果Y仅适用于上尾翼，则类似的计算屈服强度SS（p）/S（q）=（p/q）1-1/α<==> α =1 -log（S（q）/S（p））log（q/p）（3.2）表示0<p<q<< 1、Atkinson和Piketty（2010年，表13A.23）以及Aoki和Nirei（2017年，图3）使用p=0.1%和q=1%估计了（3.2）中的收入帕累托指数。一个自然的问题是，对于表1中的制表数据，这种方法是否可以在统计上得到验证。在这一节中，我们导出了这样一个估计量，并讨论了它的渐近性质。Kuznets（1953）和Feenberg及Poterba（1993）使用类似的方法来估计帕累托指数。3.1渐近理论let{Yi}ni=1be（未观察到）包括一些数据和Y（1）≥ ··· ≥ 是（n）orderstatistics。让K≥ 2并假设一些前百分位0<p<····<pK<pK+1≤ 1和相应的样本最高收入份额sk=Pnpk公司i=1Y（i）Pni=1Y（i），k=1，给出了K+1。假设pK+1足够小，以至于≤ npK+1, 我们可以假设Y（i）是从具有指数α和最小尺寸c的帕累托分布中实现的。为了构造仅基于{Sk}的α估计量，我们考虑了由's=（'s，'，'，'Sk'定义的自归一化非重叠最高收入份额向量-1):=S- SSK+1- SK，SK公司- SK公司-1SK+1- SK公司.