资产价格、回报和多重预期的经济物理学

为了描述事务Trk（t，x）的演化，我们应该考虑（Olkhov，2018b）事务Trk（t，x）的运动，这些运动是由e空间上独立e粒子的速度ν=（Д，…Дn）引起的。事实上，速度νi（t，x）=（ν，…νn）描述了e粒子i的风险坐标x的变化，从而描述了e空间上e粒子i的交易流trik（t，x）与流体流类似。velocityνi（t，x）和transactions trik（t，x）的乘积描述了在velocityνi（t，x）方向上执行的事务trik（t，x）的数量。这样的乘积νi（t，x）trik（t，x）类似于交易的“冲动”。我们用“冲量”这个概念来勾勒出物理学中事务运动和粒子运动之间的一种平行关系：“冲量”νi（t，x）trik（t，x）是一个加性变量。让我们将k型预期下的电子粒子i交易“脉冲”定义为（2.5.1）：     （2.5.1）事务“脉冲”pik（t，x）是相加的，两个e粒子1和2的“脉冲”之和p1k（t，x）+p2k（t，x）等于两个e粒子组的脉冲pk（t，x）：   (2.5.2)  (2.5.3)  （2.5.4）关系（2.5.1-2.5.4）表明，交易量Qk（t，x）的风险速度νkQ（t，x）和交易值SVk（t，x）的速度νkSV（t，x）可以不同。

与（2.1）类似，将单位体积中k类电子粒子的预期值V（x）下的交易“脉冲”和时间Δ期间的平均值，并将k=1，…k类预期值下的交易“脉冲”和速度定义为x的函数（2.1.1）：  (2.6.1)       (2.6.2) (2.6.3)     (2.6.4)               （2.6.5）“冲动”的经济含义非常简单。脉冲pik（t，x）描述了由于电子空间上的代理运动，在独立代理i的k型期望下的交易流。脉冲Pk（t，x）描述了交易流Trk（t，x）通过垂直于速度νk（t，x）=（νkQ（t，x）的单位表面；在时间dt期间，νkSV（t，x））（2.6.5）。脉冲Pk（t，x）描述了在时间Δ期间单位体积dV（x）中所有e粒子的集体风险运动诱发的k型期望下的传递流。k类预期下交易的脉冲Pk（t，x）定义了所有k=1，…类型预期下交易Tr（t，x）的脉冲P（t，x）（2.1-2.4；2.7.1-2.7.3），。。K：        (2.7.1) (2.7.2) （2.7.3）关系（2.1-2.7.3）定义了在所有类型SK=1，。。K、 以及它们的“脉冲”P（t，x）和速度ν（t，x）作为空间坐标x的函数。

这些关系式（2.1-2.7.3）通过对交易Tr（t，x）的描述，取代了根据k类预期在x点进行的单独电子粒子的建模交易trik（t，x），该交易Tr（t，x）是根据所有可能的预期进行的，在e空间上的准确性较低，这是通过对单位体积dV进行粗化，并在时间Δ内进行平均来确定的。这种处理方法与物理学中的流体力学近似方法有一定的相似性（Landau和Lifshitz，1987；Resibois和Delener，1977）。流体力学近似忽略了分离粒子的粒度，将系统的物理性质描述为连续介质。我们发展了类似经济的连续介质近似来描述一个空间中电子粒子（代理）的交易。交易Tr（t，x）与变量x在e空间上的积分Rn定义了t.2.3时刻整个经济中所有e粒子执行的特定资产的所有交易Tr（t）。对电子空间的期望在本小节中，让我们将期望视为电子空间的函数。要做到这一点，我们需要强调的是，预期应该被视为密集型（非加性）变量。事实上，批准交易trik（t，x）的k类电子粒子（代理）i的期望sik（t，x）具有与交易trik（t，x）的价值成比例的财务“权重”。交易量Qik（t，x）的预期exikQ（t，x）具有与交易量Qik（t，x）成比例的“权重”。交易价值SVik（t，x）的期望exikSV（t，x）具有与交易价值SVik（t，x）成比例的“权重”。合理的做法是按照特定类型预期下执行的交易金额按比例计算预期。

为了对电子空间的期望进行描述，并建立交易和期望之间的相互关系模型，让我们引入广泛的（相加）变量，我们将其记为k=1，….类型的预期交易etik（t，x），。。K、 e粒子i的：    （3.1）由于（3.1）N个电子粒子组的预期事务etik（t，x）之和可以表示为整个N个电子粒子组的预期事务etnk（t，x）。例如（3.2；3.3）给出了N个分项交易量QNk（t，x）k类预期交易etNkQ（t，x）的定义，如下所示： (3.2)（3.3）关系（3.2；3.3）定义了N个电子粒子组交易量QNk（t，x）的预期交易etNkQ（t，x）和预期交易exNkQ（t，x）。

与（3.2；3.3）和（2.1；2.3）类似，让我们定义k类预期交易Etk（t，x）为所有粒子i的预期交易etik（t，x）之和，坐标x为单位体积dV（x），时间Δ内的平均值（2.1.1）：  (3.4) (3.5) （3.6）关系式（3.4-3.6）和（2.5.3；2.5.4）定义了k=1，。。K、 单位体积中所有e粒子的平均时间ΔdV（x）：         （3.7）类似于（2.3）类型k的预期交易Etk（t，x），定义所有类型k=1，。。时间Δ内t时刻单位体积dV（x）的期望值K：      (3.8) (3.9) (3.10)           （3.11）关系（3.8-3.10）将预期交易Et（t，x）和预期Ex（t，x）（3.9-3.11）定义为所有类型的预期k=1，。。K、 预期Ex（t，x）（3.9-3.11）的演变由预期交易Et（t，x）（3.8-3.10）的演变决定。为了描述扩展（加法）预期事务Et（t，x）的演化，我们应该考虑预期事务Et（t，x）的运动，类似于e空间上独立粒子运动引起的“流体”运动。

为此，让我们引入k型预期交易etk（t，x）的脉冲∏k（t，x），以及k=1的所有类型预期交易Et（t，x）的脉冲∏（t，x），。。与事务Tr（t，x）的脉冲P（t，x）的定义（2.6.1-2.7.3）相似的期望值。实际上，由于电子粒子的速度Д=（Д，…Дn），电子粒子i的预期交易etik（t，x）类型改变了它们在espace上的坐标。预期事务etik（t，x）和速度ν=（Д，…Дn）的乘积定义了e粒子i的预期事务类型k的（4.1.1-4.1.3）脉冲ηik（t，x）：            (4.1.1) (4.1.2) （4.1.3）ηik（t，x）-描述交易量Qik（t，x）预期的“冲动”，ηikSV（t，x）-描述交易值SVik（t，x）预期的“冲动”。

“脉冲”ηikQ（t，x）描述了由于电子粒子i以速度运动而产生的预期事务流（3.1）.单位体积dV（x）中所有e粒子k型“脉冲”ηik（t，x）的聚集和时间Δ期间的平均值（2.1.1）确定了x点在t时刻k型预期脉冲，类似于（2.6.1-6.6.5）：  (4.2.1) (4.2.2) (4.2.3)              （4.2.4）由于（3.5；3.6）关系（4.2.2；4.2.3）形成： (4.2.5) （4.2.6）k类预期交易Etk（t，x）的“脉冲”k（t，x）的经济含义与交易Trk（t，x）的“脉冲”Pk（t，x）的含义相似：∏k（t，x）描述预期交易Etk（t，x）通过垂直于速度νke（t，x）=（ДekQ（t，x）的单位表面的流量；在时间dt期间的νkeSV（t，x））。这种流动是由e空间上e粒子的速度ν=（Д，…Дn）引起的。k型期望值的“脉冲”πk（t，x）定义所有k=1，。。K类似于（2.7.1-2.7.3），如下所示：        (4.3.1) (4.3.2) （4.3.3）关系（4.3.1-4.3.3）电子空间上交易Tr（t，x）和预期Ex（t，x）之间的演化和相互作用建模所需概念的完整集合。在下一节中，我们将讨论建立交易Tr（t，x）和预期Ex（t，x）之间动力学和相互作用模型的经济方程。3.

交易的经济方程交易的演化Tr（t，x）（2.3）由交易的动力学Trk（t，x）（2.1）根据预期Exk（t，x）（3.4-3.7）确定。让我们按照（Olkhov，2018a；2018b）推导描述交易动态的经济方程Trk（t，x）（2.1）。交易Trk（t，x）的组件SQK（t，x）和SVk（t，x）（5.1）：         （5.1）是广泛（相加）变量。有两个因素会在点x和力矩t处改变单位体积v中的Qk（t，x）。第一个因素将Qk（t，x）随时间的变化描述为Qk（t，x）/t、 单位体积dV中扩展变量Qk（t，x）的第二个因子变化值，由于Qk（t，x）ДkQ（t，x）通过单位体积表面的通量。实际上，在时间dt期间，Qk（t，x）的某些值可能流出或流入单位体积dV，这将改变dV中Qk（t，x）的量。流量Qk（t，x）用Qk（t，x）ДkQ（t，x）表示。这种通量Qk（t，x）ДkQ（t，x）的起源是e粒子在e空间上的运动。代理人的风险评级在时间dt期间可能会发生变化，这可以通过电子粒子在电子空间上的运动来描述。特定电子粒子i的速度νik（t，x）在一个空间中携带该电子粒子的交易量Qik（t，x）。点x处e粒子运动的集合定义了描述交易量通量Eqk（t，x）（2.6.1-2.6.5）、值SVk（t，x）和（4.2.1-4.2.6）的“脉冲”Pk（t，x）（2.6.1-2.6），描述了预期交易量EtkQ（t，x）和Tksv（t，x）的通量。通过单位体积dV表面的Qk（t，x）ДkQ（t，x）通量可以增加或减少单位体积dV中的交易量Qk（t，x）。

根据散度定理（Strauss 2008，p.179），单位体积dV表面上通量Qk（t，x）νkQ（t，x）的积分等于散度的体积积分：      （5.2.1）因此，单位dV中交易量Qk（t，x）的总变化描述为：            （5.2.2）因此，我们得出x点单位交易量dV中交易量Qk（t，x）的变化为：             （5.2.3）由于（2.6.2）： 关系（5.2.3）可以采取以下形式：   （5.2.4）关系（5.2.1-5.2.4）至少在五十年（Batchelor，1967；Resibois和De Leener，1977；Landau和Lifshitz，1987）的任何连续介质物理学论文中都有再现，并且对于定义为类似于（2.1；2.6.1-2.6.5；3.4-3.6；4.2.1-4.2.5）的任何广泛（相加）经济或金融特征都有效，作为相应特征的集合e-空间上x点的e-粒子（代理）数量。任何具有经济、金融或物理属性的连续媒体的动态都遵循关系（5.2.1-5.2.4）。让我们强调（5.2.1-5.2.4）的重要性质：（5.2.1）右侧对经济域（1.4）的积分等于通过经济域（1.4）外表面的通量积分。根据经济领域的定义（1.4），不存在代理人，因此不存在经济领域以外的经济或金融变量。因此，对于任何广泛的经济变量或经济交易，积分（5.2.1）过经济域（1.4）等于零。

因此，（5.2.4）在经济域（1.4）上的积分等于Qk（t）的简单有序时间导数：    （5.2.5）方程（5.2.5）确定了方程（5.2.3；5.2.4）和整个经济学的经济或金融变量的普通时间导数之间的关系，这些变量定义为时间t的函数。在e空间上，通常的普通时间导数算符d/dt被关系式（5.2.3）所取代，该关系式考虑了单位体积dV中的Qk（t，x）的变化，该变化是由e空间上的e粒子运动引起的通量Qk（t，x）νkQ（t，x）引起的，该运动是由其风险等级的变化引起的。交易量Qk（t，x）的经济方程描述了Qk（t，x）（5.2.3；5.2.4）在x点的变化与影响这种变化的经济和金融因素之间的平衡。让我们把这些因素记为FkQ（t，x）。交易量为Qk（t，x）的交易可能取决于交易值Vk（t，x）（2.1；2.2）、脉冲Pk（t，x）（2.6.1-2.6.5）以及其他经济或金融变量或使用其他资产进行的其他交易或其他经济变量。