非流动性公司债券的封闭式公式及其应用

在市场方面，他们详细了解其经营的细分市场、投资于该公司或可能对该公司名称感兴趣的每一位相关投资者，他们建议该公司在一级市场获得融资，监督向该公司或严格相关公司投资者的一级债券销售。公司债券的做市非常集中：对于每种债券，通常很少有杰出的交易商，其中一个通常是债券承销交易商。这与O\'Hara等人（2018年）的观点一致。O\'Hara等人发现，在美国公司债券市场上，虽然有数百家交易商公司，但在许多债券中，每年只有一到两家活跃的交易商，顶级交易商平均占交易量的69%，而前两名交易商的平均样本债券市场份额为85%。如前所述，关于经验丰富的交易者的两个主要假设与i）在τ之前违约的知识和ii）在τ之前没有违约的情况下的完美时机能力有关。这两种假设对于能够访问上述软信息的做市商来说都是合理的。此外，可以对第一个假设说些什么；记住，在流动性最差的情况下，变现时间只有几个月，通常是几天或几周，而流动性最差的公司债券的交易活动大多集中在投资级或投机性评级最高的发行人身上。

在如此短的时间间隔内（与公司发行的典型到期日相比），对于这类做市商来说，很有可能知道公司发行人是否会在清算时间之前的（罕见的）发行人违约事件中违约；相反，他们不太可能知道确切的时间。第二个假设与Longstaff的假设相同，前提是τ之前没有违约。当然，在公司债券市场中，不对称信息有助于这些做市商选择市场时机，在这种情况下，价格上涨主要是由于对特定企业的新兴趣，例如，其融资政策的变化、一级市场的新发行或公司未预期的报告结果。同样可以肯定的是，这些信息在amarket听起来更有价值，就像在公司债券市场一样，在那里，市场滥用非常难以发现。尽管如此，经验丰富的交易者是一个理想化的交易者。正如Longstaff所言，纯粹的流动性溢价τ“对于市场时机不完善的实际投资者来说会更少。因此，增量现金流的现值代表了市场价值的上限”（参见Longstaff 1995，p.1769）。评论上述定义不考虑在起息日和τ之间支付息票的情况。我们已经强调，即使在大多数情况下，清算的时间也是几个月，然后在时间间隔（t，τ）内最多可以支付一次息票。当在τ之前支付第一张息票时，可以用联保债券中的其他息票分开；市场上称为息票剥离的一种技术。在实践中，corporatebond交易员认为，支付（即在未来的短时间内）非常具有流动性。

我们假设该息票对流动和非流动息票债券的贡献相同，即仅维持其利率和信用风险成分；因此，该息票不会出现在卖方流动性溢价中τin（8）。在下文中，我们仅考虑清算时间后的公司息票债券，即在定义（6）中，总额中的第一张息票是在τ之后支付的第一张息票。2.3节约模型选择值得注意的是，在DHJM框架内，绝对流动性溢价（8）可以用更简单的形式表示τ=B（t，τ）E（τ）[Mτ| G]- P（t，τ）P（t；c，t），（9），其中P（t，τ）是截至清算时间的发行人生存概率（关于DHJM内该简单等式的推导，另请参见附录a中的（21））。让我们注意到，（9）的第一项是非流动性价格中唯一的数量τ的计算相当复杂：它取决于Rt，而不是分别取决于Rt和λt。对于B（t，t）和B（t，t）的动力学（2），该性质适用于选择的任何零恢复DHJM模型（即选择的σ（t，t）和σ（t，t））。正如导言中所讨论的，由于数据集的不足和模型校准问题，在处理非流动性公司债券时，模型选择的主要驱动因素是节俭。Sch¨onbucher（2000）提出了DHJM中最简单、最简洁的模型之一，其中Rta和λt都遵循两个相关的一维Hull和White（1990）模型（rt=Дt+x（1）tλt=ψt+x（2），其中x（1）和x（2）是两个相关的Ornstein–Uhlenbeck过程（OU），具有零均值和零初值；ψtandψtar是时间的两个确定性函数。该模型的主要优点是允许在起息日t对零利率（通过ψt）和Zeta扩散曲线（通过ψt）进行基本的单独校准。

观察结果表明，只有RTM的动态影响流动性，这使得我们考虑一个更简单的模型，其中两个OU完全相关，即只有一个OU驱动因素，正如Baviera（2019）最近在多曲线问题中提出的那样。在这种情况下，无风险利率Rt和强度λ皮重建模为rt=Дt+（1- ^γ）xtλt=ψt+^γxt（10），xtan OU具有零均值和初始值dxt=-^a xtdt+^σdWtx=0，其中^γ∈ [0，1]，而^a，^σ是两个正常数参数。这种模式选择符合日常实践。在市场上，通常无法观察到允许分别校准无风险曲线波动率和信用利差波动率的选项，即没有足够的信息来区分这两种动态。人们可以将总动态的一部分^γ与信贷部分相关联，将其余部分与利率部分相关联。相反，两条初始曲线（无风险零利率和Zeta利差）可以在市场数据上轻松地分别校准，并且在给定成熟度t和给定成熟度t之间的积分与这两条曲线相关，直到t。我们提供了B（t，t）和B（t，t）的最终公式，因为这两条曲线都可以直接从市场数据进行校准。（10）的结果是可违约利率rt=rt+λtisrt=Дt+ψt+xt。它根据具有一维波动性的赫尔-怀特模型建模（参见，例如。

Brigo andMercurio 2007）σ（t，t）=σa1.- e-^a（T-t）∈ < t型≤ T（11），然后波动率v（T；τ，ti）=σ（T，ti）- 方程式（5）中定义的σ（t，τ）是时间t和ti中的一个可分离函数，即v（t；τ，ti）=ζiν（t）（12），其中ζi：=（^σ/^a）1.- e-^a（ti-τ)和ν（t）：=e-^a（τ-t） 带t≤ t型≤ τ ≤ ti。在下一节中，我们将说明，利用所提出的模型（10），可以计算出资产流动性溢价τ（9）通过一个闭合公式，可以将流动性利差与信用利差关联为公司债券利差的一个组成部分。3非流动性公司息票债券的封闭式公式在本节中，我们给出了本文的主要结果：绝对流动性溢价τ（9）可以通过使用期权定价理论中的估值技术获得的简单闭合公式直接估值。这一结果远非显而易见。远期可违约息票债券P（t，τ；c，t）是远期可违约ZCs{B（t；τ，ti）}i=1。。。N、 每一个都遵循动力学（4），然后在我们考虑的确定性波动（11）的情况下描述为几何布朗运动（GBM）。对于GBMs总和的运行最大值，不存在已知的闭合公式。为了得到闭合公式，我们采取以下步骤。首先，我们考虑（8）的上下界，它可以通过闭合公式计算。然后，通过校准两个欧洲发行人的模型参数，我们表明，就所有实际目的而言，上限和下限之间的差异可以忽略不计。

然后，我们可以使用这两个边界中的一个作为我们正在寻找的闭合形式解；在本节中，我们将介绍这些界限，在下一节中，我们将展示其差异的紧密性。绝对流动性溢价的上下限τ（8）为：NXi=1ciB（t，ti）πLi（τ）- P（t，τ）≤ τ≤NXi=1ciB（t，ti）πUi（τ）- P（t，τ）（13） 其中，金额限于付款日期ti>τ和πUi（τ）：=4+σi（τ）Φ∑i（τ）+∑i（τ）√2πexp-∑i（τ）πLi（τ）：=Zdηe-∑N（τ）π√1.- η√ηe-η∑i（τ）（σi（τ）-∑N（τ））（1+rπ（1- η） ∑N（τ）e1-η∑N（τ）Φ√1.- η∑N（τ）)1+rπη（2∑i（τ）- ∑N（τ））eη（2∑i（τ）-∑N（τ））Φ√η（2∑i（τ）- ∑N（τ））（14） 累积波动率为∑i（τ）：=Zτtv（s；τ，ti）ds=ζi1- e-2^aτ2^a公式（12）中定义的ζiis，Φ[o]是标准正常CDF和发行人截至清算isP时间的生存概率（t，τ）=exp-Zτtψsds+^γZτtσ（s，τ）ds, （15） （10）中引入的强度的确定性部分为ψ，σ（s，τ）在（11）中定义。绝对流动性溢价的界限τ（13）是本文的关键理论结果：感兴趣的读者可以在附录C中找到这些不等式的推导。在第4节中，我们展示了两个发行人的这些界限似乎非常紧密，因为他们在10个数量级上的差异-8最坏情况下的面值（即，以欧元计，它对应于每一亿欧元中的e1）：在所有实际用途中，它可以被视为可忽略不计。在实践中，可以分别使用两个闭式解（下界或上界）中的任何一个，尤其是两个界的最简单表达式，即上界。

这一事实基本上允许定义纯粹的流动性利差，如下一小节所述。3.1纯粹的流动性分布方程（13）和两个界限之间差异的紧密性的结果是非流动性公司息票价格Ispτ（t；c，t）：=P（t；c，t）- τ=NXi=1ciB（t，ti）1+P（t，τ）- πUi（τ）（16） 其中πUi（τ）在（14）中定义，生存概率P（t，τ）可在（15）中找到。我们还可以定义非流动性ZC asBτ（t，ti）：=B（t，ti）1+P（t，τ）- πUi（τ）其绝对流动性利差asLτ（ti）：=-ti公司- tlnBτ（t，ti）B（t，ti）=-ti公司- tln公司1+P（t，τ）- πUi（τ）. （17） 因此，我们可以将非流动性ZC债券分解为三个部分：无风险贴现、信贷和流动性：Bτ（t，t）=e-R（T）（T-t） |{z}风险-自由人-Z（T）（T-t） |{z}信用-Lτ（T）（T-t） |{z}流动性，其中R（t）是零速率，z（t）是液体键的Zeta扩散。这与Jarrow（2001）的观点相对应，在Jarrow（2001）中，流动性被视为债券收益率的一个组成部分，除了违约之外，从注释的角度来看，文献中的标准是表明无风险息票债券与P，以及可违约息票债券与P（参见Sch¨onbucher 2003）。

我们用Pτ表示非流动性可违约耦合债券，其中除利率和信贷风险外，还考虑了流动性风险以及清算时间τ。风险构成；这也符合做市商在日常活动中的做法：他们为债券信用利差增加了与流动性相关的基础。需要强调的是，（17）中的绝对流动性利差Lτ（ti）不受利率成分的影响，而只受信贷成分的轻微影响：该资产符合其名称（绝对）。ZC价格Lτ（ti）中的流动性成分是1+P（t，τ）- πUi（τ）, 因此，它主要取决于累积波动率∑i（τ），因为正如我们将在数值示例中所示，数量1- P（t，τ）是小于1的两个数量级- πUi（τ）。让我们强调本研究中提出的理论公式的相关结果。它允许识别流动性利差中的两个关键风险因素：相应流动债券的波动性和清算时间。4欧洲债券市场中金融部门的应用在本节中，我们说明了将公式（16）应用于欧洲两个主要金融机构发行的不同期限债务的流动性不足的影响。我们还表明，就所有实际目的而言，非流动性溢价的上限和下限之间的差异可以忽略不计。4.1模型参数校准我们在本研究中考虑的两个欧洲金融机构是法国巴黎银行。A、 （以下简称BNPP）和桑坦德银行S.A。

（桑坦德）2015年9月10日（生效日期）。结算日期为2015年9月14日。在起息日，根据标准普尔的规定，BNPP被评为A级，桑坦德被评为A级。如第3节“非流动性债券价格的封闭公式”所述，除了债券特征（到期日、付款日期、息票、偿债特征、清算时间等）外，包括observedi）零利率曲线，ii）利息发行人的信用利差期限结构，以及iii）债券波动性。这些“成分”可以按照标准技术用市场数据进行校准。首先，我们考虑的无风险曲线是作为市场标准的OIS曲线；它是从OIS报价中提取的。估值日的报价由彭博社提供。折扣曲线B（t，t）按照标准程序引导；Baviera（2019）报告了OIS费率和贴现系数。累积波动率∑i（τ）可以看作是B（t；τ，ti）in（t，τ）的平均债券波动率与ttl平方根之间的乘积。此外，这种平均债券波动率接近波动率v（t；τ，ti），因为在利息^aτ的情况下 1（参见等式（12））。在本研究中，我们考虑金融部门的两个示例，主要原因有三个。首先，公司债券市场的近一半由金融发行组成。其次，大多数金融机构同时发行了一些流动性很强的基准债券和一些针对客户投资组合中某些特定客户的非流动债券：这就是我们在本研究中描述的非流动债券。

最后，公司债券期权并不总是频繁交易；对于金融机构来说，通常可以使用这些选项的流动代理。结算日期等于欧元区利率和信贷产品起息日后两个营业日。到期息票（%）清洁价格2017年11月27日2.875 105.57512-2018年3月1.500 102.76821-2018年11月1.375 102.55528-2019年1月2.000 104.53623-2019年8月2.500 106.92713-2021 1月2.250 106.08324-2022年10月2.875 110.28120-2024年5月2.375 106.007表2：BNPP流动债券的清洁价格。到期日小于或等于10年的高级无担保基准债券。优惠券为年度日数惯例法案/法案。价格为2015年9月10日当天的中段价格。到期息票（%）清洁价格2017年3月27日4.000 105.37204-2017年10月4.125 107.35815-2018年1月1.750 102.76620-2018年4月0.625 99.88514-2019年1月2.000 103.98413-2020年1月0.875 99.50024-2020年1月4.000 112.83614-2022年1月1.125 98.16610-2025年3月1.125 93.261表3：桑坦德高级无担保基准债券到期日小于或等于10年的清洁价格。优惠券为年度日数惯例法案/法案。价格为起息日当天的中间价。其次，为了构建Zeta利差曲线，即利差中的（流动）信贷部分，我们考虑所有到期日小于或等于10年的高级无担保基准债券（即发行规模大于5亿欧元）。根据Act/Act day countconvention每年支付两套债券的息票。表2和表3列出了收盘日中间价。对于两个发行人中的每一个，其随时间变化的Zeta价差曲线z（T）：=-T-tlnB（t，t）B（t，t）可以从流动债券发票价格中引导（参见Sch¨onbucher 2003）。将应计项目与表2和表3中的净价格相加，即可获得发票价格。