非流动性公司债券的封闭式公式及其应用

我们假设在最低到期日的债券到期日之前，Zeta价差曲线保持不变，之后我们对Zeta价差使用线性插值规则；Zeta价差的日数惯例为Act/365，作为市场标准。最后，应对公司债券期权的波动率参数（^a、^σ和^γ）进行校准。不幸的是，BNPP和桑坦德债券的流动期权价格在起息日无法在市场上获得。我们考虑使用代理来校准波动率参数；我们注意到，在起息日，两家银行都是具有系统重要性的金融机构（SIFI），属于对欧元银行同业拆借利率作出贡献的银行集团。欧元银行同业拆借利率和OIS曲线之间的利差动态可以被视为具有上述特征的金融机构平均信贷利差动态的良好代表。正如Grbac和Runggaldier（2015）所述，该利差建模了与欧元银行间市场相关的风险，违约风险是该银行间风险的一个重要组成部分。让我们强调一下，我们使用此代理仅校准波动性参数，而信用利差是在发行人流动债券市场上校准的。欧元银行同业拆借利率掉期利率上的ATM掉期期权在欧洲非常具有流动性：我们可以在tas代理使用这些OTC期权合同，以校准波动性参数。彭博社提供掉期期权ATM正态波动率；Baviera（2019）中报告了它们在和校准程序中的值。校准值为^a=12.94%、^σ=1.26%和^γ=0.07%。如第2节所述，在所分析的两个案例中，将违约风险纳入ttl的修正很小。所有生存概率P（t，τ）都接近1：我们在表4中报告了默认概率1- 感兴趣的时间间隔中的P（t，τ）。

所有值的顺序为10-4.BNPP Santander2w 1.27×10-41.80 × 10-42m 5.42×10-47.73 × 10-4表4：违约概率1-2周和2个月的两次ttl中，BNPP和Santander的P（t，τ）。在流动性利差中，由于违约风险至ttl的修正可以忽略不计：这一事实正好证明了债券利差在第3.1节中提出的无风险、信贷和流动性三个组成部分以及我们所考虑的流动性利差的形容词（纯粹）中的分解。4.2非流动性债券价格在本节中，我们表明，考虑到两组非流动性债券具有与流动性债券相同的特征（如息票和付款日期）和ttl等于两周或两个月，绝对流动性溢价的上下限之间的差异τ的数量级为10-面值的8倍。图2显示了BNPP的这种差异，图3显示了桑坦德的这种差异。如果我们评估τ具有这些边界之一。就所有实际目的而言，这是微不足道的。此外，作为稳健性测试，我们考虑了估计值周围广泛波动性参数的两个界限之间的差异，保持所有其他债券特征相同：^a∈ (0, 30%), ^σ ∈ （0，4%）和γ∈ (0, 0.2%). 我们观察到，在最坏的情况下，这种差异每百万面值不到1欧元。我们再次发现，从所有实际目的来看，两个界限之间的差异可以忽略不计。这一事实允许我们将（14）中的下限或上限分别视为τ.在第3节中，我们已经表明，为了考虑流动性，可以将纯粹的流动性利差（17）添加到每个ZC中。

从业者通常将流动性收益率利差视为图2所示的术语：纯粹流动性溢价的上限和下限之间的差异τ表示BNPPbonds。我们考虑具有与表2中债券相同特征（如息票、付款日期）的非流动性债券，ttl等于两周（连续蓝线和正方形）和两个月（红色虚线和三角形）。这种差异大约为10-在最坏的情况下，它是面值的8倍，因此在所有实际用途中都可以忽略不计。图3：绝对流动性溢价的上下限差异τ表示桑坦德债券。我们考虑具有与表3中债券相同特征（如息票、付款日期）的非流动性债券，ttl等于两周（连续蓝线和正方形）和两个月（红色虚线和三角形）。这种差异大约为10-面值的9倍。图4：BNPP债券收益率。我们考虑了表2所述到期日少于10年的所有基准债券及其收益率（连续蓝线和方框）。我们还显示了具有相同特征（如息票、付款日期）的非流动性债券的收益率，ttl等于两周（红色虚线和三角形）和两个月（绿色虚线和圆圈）。图5：桑坦德债券收益率。我们考虑了表3中到期日低于10年的所有基准债券及其收益率（连续蓝线和正方形）。我们还显示了具有相同特征的非流动债券的收益率（例如。

优惠券，付款日期），ttl等于两周（红色虚线和三角形），ttl等于两个月（绿色虚线和圆圈）。应添加到收益率中，以获得非流动债券价格（16）Pτ（t，t；c，t）=：NXi=1cie-[Y（T）+Lτ（T）]（ti-t） 式中，Y（t）是相应液体债券P（t；c，t）的收益率，Lτ（t）是ttl等于τ的流动性收益率利差。在图4和图5中，我们显示了BNPP和桑坦德银行在不同债券到期日和ttl等于两周零两个月的流动性收益率利差。我们观察到，在液化τ的同时，流动性收益率利差Lτ（T）仅略微取决于债券到期日T。5结论在本文中，当市场上观察到相应的流动性债券时，我们提出了一种通过简化形式模型对非流动性公司债券进行定价的方法。它允许在市场上无法获得非流动性债券价格时使用封闭式公式（16），并直接校准无风险曲线、利息发行人的Zeta利差曲线及其债券波动率上的参数。我们展示了金融领域两个欧洲公司发行人的详细模型校准。我们的方法将流动和非流动息票债券价格之间的差异（称为Sheerliquity premium）建模为投资者手中的权利。该公式分两步推导：i）在DHJM（10）中从绝对流动性溢价（8）的上方和下方进行界定，以及ii）在所有实际目的中显示这两个界限的等效性。这个封闭式公式（16）很简单，可以确定纯粹流动性的两个关键驱动因素：债券波动性和特定债券头寸的“清算时间”。它可供实践者用于不同的可能应用。让我们提到其中一些。该模型可以支持做市商的日常活动。

一方面，有经验的交易员可以事先评估ttl参数，该交易员对特定非流动性市场的特征（集中度、最近开展的具有类似特征的交易的频率）有深入了解，并希望清算给定头寸；该公式为市场实践提供了理论基础，即在定价非流动性债券或将其作为抵押品接收时，将流动性利差添加到债券收益率中。另一方面，如果流动性和非流动性价格都可用，该公式也可用于从市场报价中获得“隐含清算时间”，将可观察到的利差转化为平仓的时滞，进而为市场参与者提供有趣的信息。此外，该模型对风险管理者也很有用。通过在债券波动性和绝对流动性溢价之间建立明确的关系，它为风险经理提供了一种方法，证明基于类似流动性债券的波动性对非流动性债券头寸设定限制的市场实践是合理的，并为接受为抵押品的非流动性债券的折减提供了理论背景。此外，ttl可以由风险经理事后进行回溯测试，由于最近提供的交易数据，他们可以衡量清算给定规模的非流动性公司债券头寸所需的平均时间。Abudy和Raviv（2016）首次提出了衡量隐含清算时间的想法。拟议的方法表明，流动性不足是债券利差的内在组成部分，主要与累积波动率相关。

在存在流动信贷曲线的情况下，它允许在观察到的无风险利率利差中分离信贷和流动性这两个组成部分。致谢我们感谢欧洲投资银行（EIB）研讨会的所有与会者以及阿姆斯特丹第八届AMaMeF大会、第十八届量化金融研讨会、维也纳数学金融大会的与会者，出席在多伦多举行的暹罗金融数学与工程会议，以及在布达佩斯举行的10周年金融市场流动性会议。我们特别感谢皮诺·卡卡莫、罗伯特·捷克、约瑟姆。Corcuera、Damir Filipovic、Szabolcs Gaal、D’aniel Havran、Fabrizio Lillo、Jan Palczewski、Andrea Pallavicini、Oleg Reichman、Hans Schumacher、Pierre Tychon和Niklas Wagner提供有用的评论。R、 B.承认EIB学院知识计划下的EIB财务支持。本文件中的发现、解释和结论完全是作者的发现、解释和结论，不应以任何方式归因于EIB。任何错误都是作者的错误。参考Sabudy，M.M.和Raviv，A.，2016年。流动性不足对公司债务收益率的影响有多大？，《金融稳定杂志》，25，58–69。Asquith，P.，Covert，T.，和Pathak，P.，2013年。金融市场设计中强制性透明度的影响：来自公司债券市场的证据，技术代表，国家经济研究局。巴维拉，R.，2019年。《非常节俭的多曲线利率模型中的封底互换期权》，《国际理论与应用金融杂志》，22（5），1950027（1-24）。Bessembinder，H.、Maxwell，W.和Venkataraman，K.，2006年。《公司债券的市场透明度、流动性外部性和机构交易成本》，《金融经济学杂志》，82（2），251–288。Bouchaud，J.P.、Farmer，J.和Lillo，F.，2008年。

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：关于trace：贸易报告和合规引擎zc：零息票债券。符号描述短期利率Rta中的^a、σ、γ参数和强度λt动态（10）B（t，t）无风险零息（ZC）债券到期时间为TB（t，t）可违约的ZC债券到期时间为t，零回收率为Bτ（t，t）不可违约的ZC债券到期时间为t，零回收率为t，ttl等于τB（t；τ，t）远期ZC债券C={ci}i=1，。。。，非违约息票债券流动（息票和面值）P（t；c，t）tPτ（t；c，t）时的违约息票债券非流动性违约息票债券，ttl等于t时的τP（t，τ；c，t）远期违约息票债券，按τP（t，τ）支付公司发行人截至清算τ时的生存概率τ绝对流动性溢价，ttl等于τD（t，t）随机贴现因子，等于exp-ZTtrsds公司D（t，t）可违约随机贴现因子，等于exp-ZTtrsds公司E【o】和E（τ）【o】在风险中性和τ-可违约远期计量下的预期τ（ti）ZC的绝对流动性利差和ttlτLτ（T）票面债券的流动性收益率利差，到期日为T，且ttlτN票面数量为可违约债券ntcox过程中的票面数量，随机强度λT，该模型模拟了公司发行人违约的损失分数FR型号；q=1-再现零恢复情况λtStocastic intensity at time trtrisk free short rate at time TrtDefault short rate at time t，定义为rt+qλtρ瞬时相关矩阵，单位<d×ds。t、 dW（i）tdW（j）t=ρi jdtσ（t，t）&σ（t，t）DHJM t和t之间的无风险和可违约ZC波动率<d∑i（τ）累积波动率s.t。

∑i（τ）：=Zτtv（s；τ，ti）dstvalue date（t=0）tdtime to defaultτtime to liquidate（ttl）t={ti}i=1，。。。，N到期日为tN的可违约息票债券的支付日期≡ Tv（t；τ，t）等于σ（t，t）- σ（t，τ）wt<ds中相关布朗运动的向量。t、 dW（i）tdW（j）t=ρi jdtx·y x，y之间的标量积∈ <dxan标量积x·ρx随x的缩写∈ <dandρ∈ <d×d公司债券P（T；c，T）与到期日的相关性（T）在本附录中，我们回顾了具有部分回收率的DHJM的一些基本特性（参见Du ffeeand Singleton 1999，Sch¨onbucher 1998）。我们还展示了这些属性对非流动性价格的应用（8）。无套利要求瞬时无风险利率Rt和可违约利率Rt满足rt：=- ln B（t，t）t+Ztttσ（s，t）ds-Ztt公司tσ（s，t）·dWsrt：=- ln B（t，t）t+Ztttσ（s，t）ds-Ztt公司tσ（s，t）·dWs，（18），对应于（Sch¨onbucher 1998）中的方程式（25）和（17），其中B（t，t）=Bq（t，t）t、 R的上述动态表明，在起息日t，可违约贴现和可违约ZC isDq（t，τ）=B（t，τ）exp之间的关系-Zτtσ（s，τ）ds+Zτtσ（s，τ）·dWs. （19） 这种关系与HJM中无风险利率的关系相同，因为所有数量都是连续的（参见Musiela和Rutkowski 2006）。方程（19）的一个结果是，τ-正向测量在取值日期t=0E时呈现出一个有趣的特性Dq（t，τ）o| G= B（t，τ）E（τ）[o| G]（20），这是Girsanov定理的应用（参见，例如Musiela和Rutkowski 2006）。此外，从方程（2）中，我们得到在一般时间t从初始条件开始的可违约ZC的值，即tisB（t，t）=B（t，t）（1- q） NtexpZtt公司卢比-σ（s，T）ds+Zttσ（s，T）·dWs.可使用广义It^o引理获得（参见，例如。