非流动性公司债券的封闭式公式及其应用

在第3节中，我们推导了封闭式公式，在第4节中，我们介绍了如何根据两个欧洲债券发行人的实际市场数据校准模型参数。第五节，我们做一些总结。2模型该模型包括两组财务成分：一方面是流动性公司债券的利率和信贷成分的模型设置，另一方面是流动性不足如何影响公司债券价格的描述。本节分为三个部分。在第一小节中，我们回顾了公司债券的建模框架（Du ffe and Singleton 1999，Sch¨onbucher 1998），而在下文中，我们介绍了流动性。在最后一小节中，我们指定了利率和信用利差的节约型动力学，这将允许获得第3.2.1节中非流动性公司债券的闭合公式流动性债券的建模框架根据Du ffe and Singleton（1999）和Sch¨onbucher（1998）引入的零回收模型对利率和信用进行建模。该简化模型是Heath等人（1992）模型对可违约案例的推广，由Du ffe和Singleton（1999）命名为可违约HJM框架（以下简称DHJM）。正如我们在本小节中强调的那样，DHJMis是一个灵活的建模框架，取决于所选的波动率结构：在第2.3小节中，我们在此框架内选择了一个特定的模型，该模型允许对非流动性公司债进行简单的封闭公式和基本校准。在本小节中，我们简要回顾了DHJM，我们描述了公司债券的动态以及写在其上的远期合同。我们使用了一种非常接近Sch¨onbucher（1998）的符号，这与标准教科书中的符号相似（参见，例如。

Sch¨onbucher 2003，第5章和第6章）。DHJM是一种基于强度的标准模型，其中公司债务人的违约是通过强度为λt的过程Nt的跳跃来建模的（参见Sch¨onbucher 2003）。市场从业者通过Zeta利差来看待公司债券利差：从建模角度来看，这对应于考虑零回收，并说明违约概率为债务人C的整个信用风险建模。特别是，我们将零回收模型视为分数回收模型的极限情况。A（流动）可违约ZC，在时间T和到期时间T之间具有分数回收率（FR），Bq（T，T），是可违约ZC的价格，其中，如果在时间T发生跳跃，则可违约资产的价值为1- q乘以其跳跃前值，0<q<1，即Bq（t，t）=（1- q） Bq（t-, T）。（1） 恢复率为零的可违约ZC B（t，t）可视为FR趋于1的ZC的特例（参见Sch¨onbucher 2003，Ch.6）。通常，将此建模透视图用于一般q，然后考虑q接近1的情况更简单。这是我们在本文中遵循的方法。DHJM w.r.t.基于标准强度（或简化形式）模型的唯一区别在于，强度和利率不是确定性函数，而是遵循连续随机动力学，通常由相关布朗运动Wt的d维向量驱动，即对于j，dW（j）tdW（l）t=ρjldt，l=1。d和ρ∈ <d×d瞬时相关矩阵。在概率论中，这种过程称为考克斯过程。

该建模框架的最大优势在于，一方面，它以基本的方式将违约建模为标准简化模型，另一方面，它不要求利率和强度具有确定性，但允许通过连续（随机）动力学对两者进行建模。一些术语可能很有用。与时间t之前的利息率和强度的连续路径相关的信息（以及直到t之前的布朗运动动态知识）用Gt表示，而整个信息（即包括已经发生的跳跃）用Ft表示。注意，当我们有期望时，这个术语很有用，这可以取决于Ft或Gt：在实践中，这一术语很有用，因为它可以将金融量的众所周知的特性（如Musiela和Rutkowski 2006）概括为公司债券的可违约量。该模型也被称为Du ffe-Singleton模型。DHJM的两个主要特性是：它允许i）在无风险和可违约的情况下关联利率和债券价格，以及ii）指示ZCs的动态。首先，无风险ZC，B（t，t）和无风险利率r通过随机折扣D（t，t）关联：=exp-RTtrsdsB（t，t）：=E[D（t，t）| F]。以类似的方式引入了具有分数恢复q的默认量。

可违约率rt：=rt+qλ和可违约ZC Bq（t，t）通过Bq（t，t）：=E相关D（t，t）（1- q） NT | F= EDq（t，t）| G,其中，可违约随机折扣为Dq（t，t）：=exp-RTtrsds.其次，在DHJM中，风险中性度量下的ZCs动态是针对一般的t∈ （0，T）dB（t，t）B（t，t）：=rtdt+σ（t，t）·dWtdBq（t，t）Bq（t-, T）：=rtdt+σ（T，T）·dWt- q dNt（2）以及B（t，t）和Bq（t，t）在起息日t的初始条件（参见Sch¨onbucher 1998，第173页，公式（46）和（44）（在零回收情况下））。挥发度σ（t，t）和σ（t，t）是d维向量，σ（t，t）=σ（t，t）=0∈ <d、 我们用x·y表示两个向量x，y之间的标量积∈ <带x的标量积x·ρx，x∈ <dandρ∈ <d×d上述瞬时相关性。如前所述，速率Rt和Rt由连续随机微分方程描述：附录A中报告了它们的动力学以及DHJM的一些基本关系。让我们介绍一个简单的衍生品合约，它将在建模流动性不足时发挥关键作用。时间t的远期可违约ZC债券是与参考债务人C签订的衍生合同，其特征是t、τ和t s.t.t为三倍≤ τ ≤ T该远期合同的特点是以τ为单位支付一笔金额，以便以τ为单位收取到期日为T的ZC。该金额等于t中确定的价格B（t；τ，t）的分数，其中分数取决于时间τ之前发生的跳跃次数。该价格B（t；τ，t）与可违约的ZC viaB（t；τ，t）=Bq（t，t）Bq（t，τ）相关。（3） 这是不允许在DHJM中套利的唯一价格，可以通过DirectComputement显示出来。此外，前向可违约ZC表示B（t；t，t）=Bq（t，t）的性质，即。

随着时间τ趋于t，远期可违约债券价格趋向于可违约债券价格。正如我们将在零回收情况下讨论的那样，该合同呈现出有趣的财务特征，而DHJM中的一个简单动态该分数等于（1- q） Nτ，对应的公司债券在τ之前发生的相同降价。dB（t；τ，t）B（t-; τ、 T）=dB（T；τ，T）B（T；τ，T）=[σ（T，T）- σ（t，τ）]·[dWt+ρσ（t，τ）dt]t∈ [0，τ]（4）可以使用广义It^o引理（参见Sch¨onbucher 2003，Ch.4，p.100）、动力学（2）和方程（3）推导出该性质。方程式（4）表明，远期违约ZC债券价格的动态是连续的，不取决于分数q：经必要的修改后，它与无风险远期ZC债券的相应动态相同（参见Musiela和Rutkowski 2006）。可以引入一个τ-可违约的前向测度（以下也称为τ-前向测度），即s.t。在新测度下，过程w（τ）t：=Wt+Zttρσ（s，τ）dS是一个d维布朗运动。我们用E（τ）[o]表示τ-正向测度下的期望。方程式（4）的结果是，在τ-正向测量中，正向可违约ZC B（t；τ，t）的动力学有一个特别简单的形式：dB（t；τ，t）=B（t；τ，t）v（t；τ，t）·dW（τ）t（5），v（t；τ，t）：=σ（t，t）- σ（t，τ）。在下文中，我们考虑零恢复模型，该模型是作为q=1的分数恢复模型的极限情况获得的-. 零恢复模型允许简化符号。零回收率的默认数量表示为分数回收率的默认数量，无子脚本q，即B（t，t）：=Bq=1-（t，t）和D（t，t）：=Dq=1-（t，t）。

它们在值date处的关系变为B（t，t）=E[D（t，t）td>t | F]，其中td为默认时间，对应于{Nt}t的第一次跳跃≥此外，在零回收情况下，可远期违约的ZC债券B（t；τ，t）成为基本合约。其特点是以τ为单位支付B（t；τ，t），如果债务人C在时间τ之前未违约，则为0，如果债务人C在时间t之前未违约（否则为零），则为1英寸t，其中价格B（t；τ，t）在t中确定。在图1中，我们显示了零回收情况下可转期违约ZC债券的特征。在本研究中，我们关注的是不可赎回、不可出售或不可转换的固定利率息票债券。债务人C isP（t；C，t）的（流动）公司息票债券：=NXi=1ciB（t，ti）。（6） 正如Sch¨onbucher（1998，p.165）所强调的，该衍生工具不是“经典”的τ-远期合约，可以作为可违约ZC债券的投资组合应用。图1：我们显示了在零回收情况下，如果在τ之前未发生违约事件，则在τ支付的可转债ZC债券的多头头寸的特征。远期违约ZC价格在时间t确定。如果在时间t之前未发生违约事件，合同有权收取1。在定义公司息票债券（6）时，价格取决于一组流动c：={ci}i=1。。。Nand付款日期集t：={ti}i=1。。。N、 我们用T表示债券到期日，即tN=T。i<N的ithpayment ciat time tifor i<N是具有相应天数的息票付款，而在tn的最后一次付款将债券面值添加到息票付款中。

公司息票债券P始终表示发票（或脏）价格，如标准固定收益模型中所示。我们用P（t，τ；c，t）表示t中的远期可违约息票债券，它将远期可违约ZC（3）推广到息票（6）P（t，τ；c，t）=NXi=1；ti>τciB（t，ti）B（t，τ）；（7） 其中，在远期P（t，τ；c，t）中，仅出现付款日期为ti>τ的息票。在下一小节中，我们将描述流动性不足如何影响公司息票债券（6）。2.2纯粹流动性溢价本小节主要关注主要建模假设，这是我们提出的非流动性公司债券定价方法的核心。正如引言中所述，我们根据Longstaff（1995）的期权方法对非流动性进行建模。我们认为，假设投资者在估值日t=0时持有非流动公司债券。流动性不足的一个主要特征是：投资者需要一段时间才能用一定规模的债券平仓。该假设投资者只有在以与具有相同特征（发行人、息票、支付日期）的流动债券相同的价格清算τ之后，才能出售非流动债券的头寸。我们假设这位投资者是一位经验丰富的交易员，在特定的公司细分市场上比其他市场参与者更了解情况：这位经验丰富的交易员了解发行人债券的所有特征，以及可能有兴趣购买他持有的债券的所有潜在客户。继Kyle（1985）的开创性论文之后，当从理论角度分析特定的交易机制和某些资产的价格形成过程时，一些市场参与者比其他人更有信息的假设非常普遍。

尤其是，Longstaff的想法简单而聪明：这位经验丰富的交易员“拥有完美的市场时机选择能力，可以在t时出售证券并将收益再投资于无风险资产，从而使其投资组合的价值最大化。[……]然而，只要投资者不能在时间τ之前出售[非流动性]证券，他就无法从完美的市场时机选择能力中获益。(...) [流动性不足]给这个假设投资者带来了重要的机会成本”（参见Longsta ff 1995，第1768-1769页）。综上所述，“这种增量现金流也可以被视为期权的支付”（参见Longsta ff 1995，第1769页）。流动性被视为投资者手中的一项增量权利（即期权），投资者可以随时以市场价格清算给定头寸。流动证券相对于非流动证券的额外价值是通过考虑该假设投资者的最优策略来计算的。更详细地说，有两个是我们的方法w.r.t.Longsta ff（1995）的差异/规格，这是因为我们专注于非流动性违约公司债券。首先，作为一个例子，Longsta off（1995）将他的注意力集中在IPO中的非分红股票上：t时出售的资产的价值∈ （t，τ）包括在τ之前的再投资，与t中的远期合约和在τ中到期的资产无关。在本文中，我们遵循这种方法，处理衍生工具而非标的资产：我们考虑的合同是前一小节中介绍的远期违约息票债券（7）。其次，我们只要求假设投资者有一个近乎完美的市场时机。经验丰富的交易员有两条相关信息：1。他知道公司是否会在τ（但他不知道确切的时间）和2之前违约。

如果在清算时间τ之前没有违约，他对τ之前的可违约息票债券具有完美的市场时机选择能力。我们在下面回到这些假设的合理性。因此，在处理固定收益证券时，我们必须考虑债券支付息票，并且它们可能会违约。两种情况是利息：要么公司发行人在清算时间τ之前违约，要么在τ之后违约。在前一种情况下，非流动头寸的τ值等于零（然后在起息日也等于零），而流动债券在起息日P（t；c，t）立即以其价格出售。这是因为假设投资者知道公司将在τ之前违约，但他不知道具体何时违约；他将尽快清算其流动头寸，而由于债券的零回收率，流动性差的债券持有人将恢复为零。在后一种情况下，经验丰富的交易员通过远期可违约的couponbond卖出流动头寸。它以最佳时机出售该远期合约，即售价isMτ：=maxt≤t型≤τP（t，τ；c，t）；该价格在时间τ收到（因为它是一种远期可违约债券，另见图1）。他还在P（τ；c，t）的τ中出售非流动债券。综上所述，流动和非流动债券的两种可能性如表1所示。流动性不足≤ ttd中收到的τP（t；c，t）0>τ表1中收到的τMτP（τ；c，t）：我们显示了经验丰富的交易员的流动和非流动债券的价值。一方面，如果在τ之前违约（即td≤ τ）由于零回收，非流动债券没有价值，而流动债券则立即以t的价格出售。另一方面，如果在τ之后违约（即。

td>τ），非流动债券以P（τ；c，t）出售，流动头寸通过远期可违约息票债券（最佳时机）出售：两种价格均以τ为单位。Longstaff的想法非常直观：与同一公司实体的可比债券相比，持有非流动债券的主要局限性在于暂时无法出售债券并将其价值转换为现金。清算时间τ是主要的外生模型参数：它将流动性限制建模为该假设投资者的机会成本。现在，我们可以陈述建模设置的主要假设。假设：绝对流动性溢价τ定义为具有相同特征（相同息票和付款日期）的同一公司发行人的债券的流动和非流动价格之间的差值。其现值等于τ： =ED（t，τ）td>τMτ- P（τ；c，t）+td公司≤τP（t；c，t）| F. （8） 纯粹的流动性溢价等于两个期限的总和。如表1所示，如果在清算时间τ之前没有违约，则第一期等于假设投资者对流动和非流动远期违约债券的卖出价格τ的差值；如果在τ之前违约，则第二个等于流动违约债券价格，单位为t。让我们来讨论上述假设的合理性以及经验丰富的交易者的作用。这位经验丰富的交易员密切模拟了一些在公司债券市场上运作的真实做市商。在这一市场中，一些做市商（通常是主要经销商）对少数发行人非常专业，有时只对特定发行人的少数发行进行专业化。在公司方面，这些贸易商通常亲自了解公司的最高管理层、流动性需求、融资政策以及一级市场的关系组织。