非流动性公司债券的封闭式公式及其应用

Sch¨onbucher 1998，公式（79）p.185）。因此，当进程跳转时，会出现默认的Bq（t，t）。如果在时间t发生跳转，跳转大小为Bq（t，t）=Bq（t，t）- Bq（t-, T）=-Bq（t-, T）q dNti。e、 如（1）中引入模型时所示，ZC损失了其预设值的一部分q。最后，我们表明，在q=1的DHJM框架内-, 流动性不足的价格（8）可以简化τ=ED（t，τ）Mτ| G- ED（t，τ）P（τ；c，t）| G+ (1 - P（t，τ））P（t；c，t）==B（t，τ）E（τ）[Mτ| G]- E（τ）P（τ；c，t）| G+ (1 - P（t，τ））P（t；c，t）==B（t，τ）E（τ）[Mτ| G]- P（t，τ）P（t；c，t），（21），其中P（t，τ）是发行人截至清算时间的生存概率。第一行来自迭代期望，第二行是由于τ-forwardmeasure（20）中度量属性的变化，而最后一个等式紧随其后，因为息票债券和相应的forward通过P（t；c，t）=B（t，τ）P（t，τ；c，t）相关联，这相当于（7）。附录B本附录中，我们推导了两个性质，这两个性质在推导流动性溢价的闭式边界时很有用：不等式（22）和联合概率（24）。首先，以下不等式成立：XiciB（t*; τ、 ti）≤ 最大值∈[t，τ]（XiciB（t；τ，ti））≤Xicimaxt公司∈[t，τ]B（t；τ，ti）t型*∈ [t，τ]，ti≥ τ（22），其中i以上的金额仅限于付款日期大于τ的所有优惠券。左不等式很明显，因为函数在时间间隔[t，τ]上的最大值大于同一函数在任何其他时间t上的值*在时间间隔内。正确的不等式是因为一个和的最大值小于或等于最大值的和。特别是我们可以选择t*等于时间位置t*= 闵t型B（t；τ，tN）=最大值∈[t，τ]B（t；τ，tN）, （23）即。

等于最后一次前向ZC，B（t；τ，tN）在区间[t，τ]达到最大值时的（第一次）时间。第二，给定x（t）：=c t+带漂移c t的Wta一维维纳过程，其中c∈ <, i）最大y的连接概率：=最大x（t）；t∈ （0，T）]和ii）其时间位置θ∈ （0，T），isp（θ，y；c，T）=πy√T-θθ3/2e-计算机断层扫描-y2θ+cy1.-p2π（T- θ） c ec（T-θ） Φh-c√T-θi（24）y=x（θ）>0。这种联合概率p（θ，y；c，T）（24）是由于Shepp（1979）中的已知结果。考虑Shepp（1979，p.424）方程（1.5）中的密度p（θ，y，x；c，σ），其中x是端点x（T）。联合概率p（θ，y；c，T）是通过设置σ=1并对x积分得到的∈ (-∞, y） 。附录C在本附录中，我们推导出（13），这是本文的主要理论结果，其中我们表明，绝对流动性溢价存在一个下限和一个上限，可以用简单的闭合形式表示。（13）中的上界对于给定的方程式（22）是明显的，并且在观察到方程式（5）中的每个ZC B（t；τ，ti）遵循一个无漂移GBM，在τ-正向测度下的波动率v（t；τ，ti）。因此，对于t，无漂移GBM B（t；τ，ti）的运行最大值的期望值∈ [t，τ]采用形式B（t；τ，ti）πUi（τ）（参见，例如Longsta ff 1995，以及其中的参考文献）。根据相同的方程式（22）（13）中的下限是B（t）的期望值在i上的和*; τ、 ti），i=1。N、 它们在时间t计算*s、 t.B（t*; τ、 tN）达到其FirstMaximum（对于给定的过程实现）。

在下限情况下，我们可以定义πLi（τ）s.t.B（t；τ，ti）πLi（τ）：=E（τ）B（t*; τ、 ti）.利用波动率（12）的可分性性质，我们得到（τ）B（t*; τ、 ti）= B（t；τ，ti）E（τ）经验值ζi-ζiZt*tν（s）ds+Zt*tν（s）dW（τ）s.通过时间变化▄t：=▄t（t）：=Zttν（s）ds∈ （0，|τ）其中|τ代表|Μt（τ），我们得到dW（τ）|Μt=ν（t）dW（τ）tandE（τ）B（t*; τ、 ti）= B（t；τ，ti）E（τ）经验值ζi-ζiθ+W（τ）θ= B（t；τ，ti）E（τ）经验值ζi-（ζi- ζN）θ+x（θ）我们定义了漂移布朗运动x（~t）：=-ζNt/2+W（τ）twitht∈ (0, ~τ). 我们还将y：=x（θ）及其（第一个）最大值与θ：=t（t*) .利用方程（24），让我们观察e（τ）经验值ζi-（ζi- ζN）θ+x（θ）=Z▄τdθZ+∞dy p公司θ、 y；-ζN，|τeζi(-（ζi-ζN）θ+y），其中p（θ，y；-ζN/2，|τ）已在（24）中获得。在计算了积分w.r.t.y之后，我们得到了下界中的πLi（τ）。这证明了提出的绝对流动性Premium的上下限（13）。此外，可以从模型（10）的定义p（t，τ）：=E[td>τ| F]=E开始计算模型（10）的生存概率（15经验值-Zτtλtdt|Gλt由方程（10）给出，xtis为零均值的OU过程的解xt=ZτtdWtσ（t，τ），其中σ（s，τ）在（11）中定义。We getP（t，τ）=exp-ZτtψtdtE经验值-^γZτtdWtσ（t，τ）|G= expZτtdt-ψt+^γσ（t，τ）.最后，评论一下为什么下限和上限在实践中非常接近的原因是很有趣的。下限根据时间t计算*在（23）中，最大化到期为intN的前向ZC（带面值），而上界是每个前向ZC B（t；τ，ti）的运行最大值之和，i=1。

N、 一方面，远期息票债券（7）是具有不同权重Sc的远期ZC与最后一个cN（包含面值）的总和，通常比其他债券大两个数量级。另一方面，远期可违约息票债券P（t，τ；c，t）中的每个ithforward ZC都遵循一个GBM，其随时间的最大值发生在最大值处：=argmaxt∈[t，τ]-ζiZttν（s）ds+Zttν（s）dW（τ）（s）.在上面的表达式中，随机部分是完全相同的i和differs仅适用于确定性漂移部分中的ζi，其中ζi很小，只要考虑使用市场数据校准的参数。因此，对于所有ForwardZC，最大值的时间位置完全相同，并且等于t*在（23）中，大多数情况下。