股票市场的量子布朗振子

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英文标题：
《Quantum Brownian oscillator for the stock market》
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作者：
Jasmina Jekni\\\'c-Dugi\\\'c, Sonja Radi\\\' c, Igor Petrovi\\\'c, Momir
  Arsenijevi\\\'c, Miroljub Dugi\\\'c
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We pursue the quantum-mechanical challenge to the efficient market hypothesis for the stock market by employing the quantum Brownian motion model. We utilize the quantum Caldeira-Leggett master equation as a possible phenomenological model for the stock-market-prices fluctuations while introducing the external harmonic field for the Brownian particle. Two quantum regimes are of particular interest: the exact regime as well as the approximate regime of the pure decoherence (\"recoilless\") limit of the Caldeira-Leggett equation. By calculating the standard deviation and the kurtosis for the particle\'s position observable, we can detect deviations of the quantum-mechanical behavior from the classical counterpart, which bases the efficient market hypothesis. By varying the damping factor, temperature as well as the oscillator\'s frequency, we are able to provide interpretation of different economic scenarios and possible situations that are not normally recognized by the efficient market hypothesis. Hence we recognize the quantum Brownian oscillator as a possibly useful model for the realistic behavior of stock prices.
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中文摘要：
我们利用量子布朗运动模型，对股票市场的有效市场假说提出量子力学挑战。我们利用量子Caldeira-Leggett master方程作为股票市场价格波动的可能现象学模型，同时引入布朗粒子的外部谐波场。有两个量子区特别令人感兴趣：卡尔德拉-莱格特方程的纯退相干（“无后坐力”）极限的精确区和近似区。通过计算可观测粒子位置的标准差和峰度，我们可以检测量子力学行为与基于有效市场假说的经典行为的偏差。通过改变阻尼因子、温度以及振荡器的频率，我们能够解释不同的经济情景和可能的情况，而这些情况通常不被有效市场假说所认识。因此，我们认识到量子布朗振子对于股票价格的现实行为可能是一个有用的模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Quantum Physics        量子物理学
分类描述：Description coming soon
描述即将到来
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PDF下载：
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2022-6-11 12:35:17 上传

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关键词：股票市场 股票市 Quantitative Applications Fluctuations

股票市场的量子布朗振荡器Jasmina Jekni'c-Dugi'ca、Sonja Radi'cb、Igor Petrovi'cc、Momir Arsenijevi'cb、Miroljub Dugi'c*博伊尼大学，科学与数学学院，Viˇsegradska 3318000 Niˇs，塞尔维亚克拉古耶瓦茨大学，科学学院，Radoja Domanovi\'ca 1234000 Kragujevac，塞尔维亚萨维亚茨维托格省98，18230 Sokobanja，SerbiaAbstractWe通过使用量子布朗运动模型来研究量子力学对股市有效市场假说的挑战。我们利用量子Caldeira-Leggett主方程作为股票市场价格波动的可能现象学模型，同时引入布朗粒子的外部谐波场。有两个量子区特别令人感兴趣：Caldeiralegett方程的纯退相干（“无后坐力”）极限的精确区和近似区。通过计算可观测粒子位置的标准偏差和峰度，我们可以检测量子力学行为与经典对应物的偏差，而经典对应物是基于有效市场假说的。通过改变阻尼因子、温度以及振荡器的频率，我们能够解释不同的经济场景和可能的情况，而这些情况通常不被有效市场假设所识别。因此，我们认识到量子布朗振子对于股票价格的现实行为可能是一个有用的模型。关键词：经济物理学、股市非理性、量子布朗运动、谐振子、厚尾现象*通讯作者：mdugic18@sbb.rs1.

简介回报率的高斯（所谓正态）分布的偏差是不同市场的普遍经验事实，从发达国家（如德国[1]和美国[2，3]）的市场到发展中国家（如印度[4]和中国[5]）。除其他外，它表现为“厚尾”以及收益概率分布的正超额峰度。在足够长的时间间隔【6-8】之后，预计该分布将收敛到标准高斯行为，从而证明了某些（希望是普遍的）规律存在于复杂的金融系统中【9-11】。肥尾偏差和正超额峭度显示非马尔可夫行为的出现，表明股票市场不满足经典布朗运动模型，这是显著有效市场假说（EMH）的特征【12】。作为一种自然而然的进步，这些尝试包括了某些量子模型[13-15]，这导致了许多不同的方法和模型在定量金融领域遵循量子范式[15-23]。作为量子力学方法的一种理性，它经常被称为马尔科非理性，与EMH形成鲜明对比。行为经济学家承诺，代理人的非理性在现实股票交易中扮演着重要角色，因此，即使没有信息推动股票价格，非理性也会对股票价格的持续波动（经验上众所周知）做出重大贡献。

作为非理性的一个可能模型，量子力学的不确定性因此被解释为市场不确定性，驱动了相对性【18,20,22】（以及其中的参考文献）。已经使用了不同的量子模型，如势阱中的粒子【19,20】、量子阻尼振子【20】、谐波振子【21,23】、量子布朗运动【22】等。考虑到量子布朗运动可以被视为经典布朗运动的量子力学对应物，量子布朗运动尤其有趣，支持深刻的市场假说[1 2]。因此，对于值得追求的有效市场假说，有一个详细的量子力学讨论，尤其是参考文献[22]。在本文中，我们利用由著名的Caldeira Leggett（CL）ma ster方程[22,24,25]模拟的量子布朗运动。我们超越了现有的模型，因为我们引入了布朗粒子的外磁场，而另一方面，我们特别关注CL-Master方程的纯退相干（所谓的“无后坐力”）极限。消相干限值与o f-对角线项ρ（x，x′）=hx |ρ| x′i有关，这通常仍是一个悬而未决的问题[22]。与类似的方法不同，weregard将CL方程视为“唯象”主方程，这意味着我们不关心导致该方程的潜在微观物理细节。

相反，我们在经济物理学研究的背景下研究谐振子方程的有用性。一般来说，外部领域的出现是为了模拟外部宏观对股票市场的影响，例如中国股票市场的每日价格限制[21,22,26]，或者区分英国金融时报股票交易所（FTSE）所有股票指数中的“正常”和“非正常”回报[19]。在这方面，我们认为我们的谐振子布朗粒子模型可能比自由布朗运动模型更真实。根据标准智慧，我们计算了量子调和布朗粒子的精确极限和无后坐力极限的标准偏差和峰度，并将所得结果与经典结果进行了比较。比较不仅可以得到阻尼率γ或镀液温度，还可以得到振荡器的频率ω。我们对简谐布朗粒子模型的解释也来自于类似的考虑[21,23]，以及（经典）阻尼谐振子的类似模型[27]，该模型被认为是EMH的可能物理基础[12]。在一定程度上，经典谐波布朗nparticle正确地建立了EMH，我们提供了一些证明市场效率的证据，以及可能有用的股票市场物理（量子力学）模型。在第2节中，我们介绍并简要讨论了该模型。在第3节中，我们提供了本文的主要结果。在第4节中，我们通过特别注意在可能的经济情景和情况下解释我们的发现，对所获得的结果进行了讨论和总结。2.

简谐振荡器的Caldeira-Leggett主方程在Schr¨odinger图中，一维系统的Caldeira-Leggett主方程（“密度矩阵”）为：【24,25】：d^ρ（t）dt=-i～[^H，^ρ（t）]-γ~[x，{p，ρ（t）}]-2mγkBT～[^x，[^x，^ρR（t）]]。（1） 在等式（1）中，粒子的唯一自由度是笛卡尔坐标^x，而^p代表其共轭动量；交换关系，[^x，^p]=^x^p- ^p^x=i~。系统的哈密顿量^H产生由等式（1）rhs上的第一个换向器描述的幺正动力学，而第二项和第三项分别模拟量子力学耗散和退相干（有时也称为“退相”），这两项均由非负阻尼系数γ和时间无关阻尼系数γ确定。我们用m表示系统的质量，而kb和T分别表示玻耳兹曼常数和热基温度。系统的哈密顿量（忽略La-mb位移项）^H=^T+^V=^p2m+V（^x），（2）其中，外电势^V=0描述自由布朗粒子，而^V=mω^x/2考虑频率ω和零平衡位置的外谐波粒子。方括号代表换向器，而花括号代表反换向器，{A，B}=AB+BA。在本文中，我们采用给定的、规定的方程（1），而不需要借助其微观起源的细节。这为我们提供了改变参数γ、m、T、ω–T值的自由。在CL方程（1）的微观推导中，温度高和相互作用弱的假设限制了这些变化【24,25】。对于非常大的T和/或非常大的质量m，可以近似精确的方程式（1），从而产生退相干极限（所谓的“无后坐力极限”）【25】。

在这个极限下，第三个（退相干）项支配着系统的动力学，因此允许f或忽略等式（1）的第二个（耗散）项。然后粒子经历了环境诱导的相干（25,29），而没有耗散。考虑到（在海森堡图片中）CL方程（1）有一个以朗格文方程的形式定义的经典对应物【24,25】，将退相干极限结果与已知和精确的经典表达式进行比较尤其有趣。一般模型假设在经济物理学背景下的规定是标准的，例如，【22】：自由度^x表示（对数）价格，动量^p表示价格趋势，而m现在表示量化市值的股票惯性。浴槽的温度量化了外部感应的温度，而阻尼系数γ量化了外部感应的阻尼强度【22】。因此，参数变化可能会考虑股票交易的不同场景，例如市值（m）和外部干预频率（ω）。表征分布ρ（x，x′）的矩均为形式tr（^A^ρ（t））（薛定谔图中与时间无关的^A）。通过使用恒等式tr（A[B，C]）=tr（[A，B]C）和tr（A{B，C}）=tr（{A，B}C），它很容易遵循力矩的微分方程，一般形式如下：d（tr^A^ρ（t））dt=-i~ tr（[^A，^H]^ρ）-iγ~tr（{[^A，^x]，^p}ρ）-2mγkBT~tr（【^x，【^x，^A】】^ρ）。(3)3. 结果使用公式（3），在本节中，我们提供了^x标准偏差的结果，以及量子调和布朗粒子的峰度的结果。

提供了两组结果：精确的量子力学表达式和退相干极限，其中假设忽略等式（3）中的第二项。这些结果（分别）与简谐布朗运动的精确经典物理结果进行了比较。除了阻尼系数γ和温度T的变化外，我们还考虑了由于振子频率ω引起的变化，这在考虑自由布朗粒子时是不存在的。3.1标准偏差使用公式（3）获得标准偏差很简单，但很繁琐^x，我们从参考文献[30]中的方程式（B.2）中超越，同时将旋转器的量与平移运动的量交换：(^x（t））=kBTmωOhmOhm+ e-2γt（ω- γcosh（2Ohmt）- γOhm 新罕布什尔州（2Ohmt） （）+(^p（0））mOhme-2γtsinh(Ohmt）+(^x（0））Ohme-2γt(-ωcosh(Ohmt） +γcosh（2Ohmt） +γOhm 新罕布什尔州（2Ohmt） ）+e-2γtσ（0）2mOhm（2γsinh(Ohmt） +Ohm 新罕布什尔州（2Ohmt） ）。（4） 式（4）中：Ohm= γ-ω、 而量子方差σ≡ h^x^p- ^p^xi-2h^xih^pi。放置经典允许的零初始力矩，^x（0）=0，^p（0）=0，σ（0）=0，而在没有任何一般性损失的情况下，方程式（4）中的h^x（0）i=0=h^p（0）i仍然是第一项，即经典布朗谐振子的x（t）[30]（及其参考文献）：(^x（t））=kBTmωOhmOhm+ e-2γtω- γcosh（2Ohmt）- γOhm 新罕布什尔州（2Ohmt）. （5） 对于退相干极限，忽略等式（1）rhs上的第二项，遵循相应的表达式^x（t）。为此，我们直接超越了参考文献[30]中的方程式（C.2），其中平移运动的量为：(^x（t））=(^x（0））cosωt+(^p（0））mωsinωt+σ（0）2mωsin 2ωt+2γkBTmωt-γkBTmωsin 2ωt。

（6） 当然，作为一种纯量子力学效应，纯退相干方程（6）没有一个杰出的经典对应物。因此，我们将精确（方程式（4））和退相干极限（方程式（6））量子表达式与（精确）经典方程式（5）进行比较。的依赖关系(分别研究了每个参数γ、Tandω的x（t））。图1和图2中分别显示了初始值的图形结果（对数曲线图）(^x（0））=10-7, (^p（0））=10，σ（0）=0.01，符合不确定度关系[^x，^p]=i~（keeping ~=1）和（量子力学）Cauchy-Schwartz不等式σ≤ 2.^x^p，而选择长时间间隔t=10。为简洁起见，weplacex代替(^x）。选择参数值和范围以及初始条件，以便于将获得的结果与参考文献[22]中给出的自由粒子结果进行比较，如图1标题中明确强调的那样。10-40.1kBT0.001D2X图1：精确量子（实线）和精确经典（虚线）表达式的比较。（左）ω=0.1，m=0.1，γ=10，变量kBT∈ [10-7, 10]; （中间）ω=10，m=10，kBT=0.1，变量γ∈ [10-2, 10]; （右）m=10，γ=1，kBT=0.1，变量ω∈ [10-2, 10].图2：量子退相干极限（实线）和精确经典（虚线）表达式的比较。曲线图和参数各自值的含义与图1相同，除了选择非常大的质量m=1000.3.2峰度外，请记住第3.1节，在本节中，我们仅考虑精确量子力学表达式公式（4）的峰度（κ=h^xi/（h^xi））。

在附录A中，我们为计算自由（κ自由）和调和（κ调和）布朗粒子的峰度提供了依据。对于自由布朗粒子和调和布朗粒子，我们得到了（附录A）微分方程的闭集，而无需使用（或计算）任何高阶动量。由于我们发现分析表达式超出了简洁的表述范围，并且在物理上是不透明的，因此我们在此给出了所选参数值以及相关力矩初值的结果。图3提供了κfree（虚线）和κharmonic（实线）结果的比较，作为时间t的函数，用于选择参数（欠阻尼状态）：m=20，γ=0.001，kBT=0.38。中国股市有一个价格限制规则：一个交易日的回报率与前一天的收盘价相比不能超过±10%，这适用于中国大多数股票。为此，我们选择圆频率的实际值ω=18·10-3分钟。因此，图3的时间单位为1min。图3：两个时间间隔的欠阻尼区域（假设~=1）的峰度f。两个图的时间刻度均为1min。实线表示谐振子的结果，虚线表示自由粒子的结果。对于t≥ 120（右），谐波振荡在κ=3的渐近极限附近显示小振荡。接近自由粒子极限的速度较慢，几乎是单调的。结果对感兴趣的力矩（高达四阶）的初始值的选择相当敏感，并且给出的结果为cho sen，以便提供谐振子模型的“最佳”拟合，并提供参考文献中图2c中蓝线所示的证据da t a。