一种基于agent的高等教育投机博弈的开发

此外，超额需求D（t）由数量qi（t）和动作aj计算得出*策略j推荐的i（t）*使用中：D（t）=NXi=1aj*i（t）qi（t）。（5） 此外，方程式4中价格变化的定义意味着存在一个在游戏市场中提供充足流动性的做市商；因此，过剩的需求总是可以由对应方立即平衡。量化价格变动h（t）基于以下定义确定：式4中的p如下：h（t）=2 (p>C）1（C≥ p>0）0(p=0）-1 (-C≤ p<0）-2 (p<-C） 。（6） 认知阈值C用于区分重要的价格变化（玩家认为这是一个重大变化）和不重要的价格变化。由于认知历史H（t）只包含关于p、 需要准备一种指定的粗略价格p（t），而不是市场价格p（t），以供参与者正确决策。注意，如果玩家直接用市场价格来评估他们的策略，投机游戏将不会很好地工作。事实上，由于认知历史中信息的准确性与市场价格之间的不一致性，没有一个玩家能够在这种情况下取得优势。因此，有一种假设是，参与者仅在其认知世界中计算其投资损益，在认知世界中也会做出交易决策。这一假设（即，使用简单回报而非真实回报的估值）与De等人的实证研究一致【41】，该研究表明，投资者存在认知偏差，因此他们当前的交易决策更多地受到过去交易结果（正面或负面）的影响，而不是这些交易的实际规模。在目前的研究中，P（t）被定义为认知价格，其计算如下，让P（0）=0，P（t）=P（t- 1） +小时（t）。

（7） 因此，参与者的战略收益是基于该认知价格计算的。如果具有策略j的玩家i在时间步打开一个头寸，并在时间步t关闭ITA，则其在该往返交易中的策略收益为：Gji（t）=aji（t）（P（t）- P（t））。（8） 玩家i的策略j的表现通过其累积策略增益来衡量，如下所示：Gji（t）=Gji（t）+Gji（t）。（9） 玩家的市场财富wi（t）以类似的方式更新，同时考虑订单数量qi（t）。当使用的策略是j*, Gj公司*i（t）应转换为球员的投资调整，如下所示：wi（t）=f(Gj公司*i（t）qi（t）），（10），其中f可以是任意单调递增函数。在以下文本中，wi（t）=Gj公司*i（t）qi（t）用于简单。请注意wi（t）将不同于直接基于市场价格计算的wi（t）。在这里，我们假设差异可以从外部进行调整。换句话说，在投机游戏中，自我融资不是假设的。调整后，玩家i的市场财富更新如下：wi（t）=wi（t）+wi（t）。（11） 正如等式9和11之间的差异所示，单位体积增益用于计算战略绩效。这是因为战略只能根据订单下达的时间进行评估。图1总结了迄今为止解释的模型框架。如图所示，投机游戏继续进行，玩家在现实世界和认知世界中交替行为。图1：投机游戏中现实世界和认知世界之间的相互投影。此外，每位玩家根据其市场财富进入或退出游戏市场。当wi（t）<B时，这意味着玩家没有足够的财富订购哪怕是最小的单位，那么玩家必须从市场中抽取。

在这种情况下，另一个玩家将以随机给定的一组新的S策略作为替代者加入，和bB+U[0，100）c产生的初始市场财富。综上所述，与少数游戏类型的模型不同，玩家的“主动”和“非主动”概念以及动态资本[29，30]都是通过实现订单量可变的往返交易在该模型中实现的。3、结果和讨论：程式化事实的再现性为了评估投机游戏中程式化事实的再现性，我们计算市场价格回报率为r（t）=ln（p（t））- ln（p（t- 1） ）（遵循先前研究中的分析方法）并研究Cont[1]报告的11种特定风格的行为，这些行为长期以来被公认为金融市场的一般定性特征。模拟在固定参数设置下进行：N=1000，M=5，S=2，B=9，C=3。此基线计算仅作为投机游戏的演示；样式化的事实也可以在其他参数设置下复制，这将在另一篇文章中详细介绍。3.1. 波动性聚类和间歇性波动性聚类是指价格收益的大幅度变化趋向于聚集在一起[1、24、42]。换言之，一旦波动性（通常以r（t）或r（t）衡量）增加，价格就会剧烈波动，反之亦然。这一特征在收益率分布中引入了重尾，并与波动率自相关的缓慢衰减有很强的关系。同时，间歇性描述了价格回报时间序列中任何时间尺度上的间歇性爆发。换言之，波动性大的相位与波动性小的相位发生无序变化，这些变化的周期长度不同。

这种非周期稳定性也可以在几个物理系统中观察到，在物理学文献中称为on-o-off间歇性【21，43】。Mantegna和Stanley[3]Indeed注意到金融市场的价格变化与动荡中的速度波动之间的相似性。投机博弈成功地再现了波动的聚集性和间歇性。图2显示了r（t）的生成时间序列，其中可以观察到具有大挥发性聚集在一起的不规则喷发。请注意，在某些情况下（在不同的参数设置下），系统进入极端状态，而不是波动率聚集状态（见附录B）-0.08-0.0400.040.080 10000 20000 30000 40000 50000r（t）t图2：r（t）的间歇时间序列在投机博弈中表现出波动性聚类的时间结构。3.2. 厚尾众所周知，价格收益的分布比高斯分布具有更厚的尾特征。累积分布函数定义为asfr（x）=Pr[r（t）≤ x] ，（12）似乎显示出幂律或类帕累托尾部，尾部指数为α，对于大多数研究数据集而言，这是有限的（2<α<5）[1]。注意，当0<α<2时，概率分布变为具有有限方差的L'evy稳定分布，当α=2时，概率分布变为高斯分布[3，45]。在图3中，蓝色圆圈点显示了从100次投机游戏模拟试验中获得的50000个时间步的市场价格回报的平均概率分布。回报率标准化为无图形绘制，以往实证研究中发现的大多数幂律函数都是用最小二乘法直观拟合的，因此需要通过克劳塞特、沙利兹和纽曼最近提出的更可靠的统计技术进行双重检查【44】。3，其中纵轴为对数刻度。

投机博弈中获得的收益分布明显比高斯分布具有更厚的尾部，在同一图中显示为绿线。10-710-610-510-410-310-210-1100-30-20-10 0 10 20 30概率分布归一化r（t）归一化r（t）高斯图3：价格收益分布显示出比高斯分布更大的尾部。此外，其正负尾的平均（互补）累积分布F+r（x）=Pr[r（t）≥ x] 和F-r（x）=Pr[r（t）≤ x] ，如图4中的蓝色圆圈和红色正方形所示，似乎服从幂律。绿线是α\'3.8的渐近幂律函数，其稳定在尾部指数范围内：2<α<5，并符合收益的逆几何定律[46]。为了检查幂律分布的稳健性，我们还进行了Vuong\'stest[47]，使用“幂律”软件包将其与指数分布进行比较，作为一种竞争性的替代方案[48]。该软件包包含用于拟合、比较和可视化重尾分布的R函数，这些函数基于Clauset al提出的统计技术[44]。由于其计算时间随着数据量的增加呈指数增长，因此我们在本研究中仅分析10次试验模拟产生的标准化正回报。图5是通过找到渐近幂律函数10的下切函数得出的-710-610-510-410-310-210-110010110-1100101102累积分布归一化r（t）图4：价格回报的累积分布显示出渐近幂律。蓝色圆圈代表正尾的累积分布，红色方块代表负尾。带着包裹。红线是一个拟合的幂律函数，α=3.869，而绿色虚线是一个拟合的指数函数。

红色虚线明显优于绿色虚线。似然比为LR=10.70，p值为p=0.00（p<0.1）。因此，Vuong\'stest还得出结论，幂律分布更接近真实分布。3.3. 回报率中缺乏自相关性流动市场中的集合回报率通常不会表现出任何显著的自相关性，定义为ρr（τ）=Corr（r（t+τ），r（t）），（13），其中τ是时滞。ρr（τ）在非常小的时间尺度（\'20分钟）内呈指数衰减【1，3】。由于套利机会被迅速消费，回报中缺乏显著的线性自相关通常被认为是对有效市场假说的支持[49]。图6表明，投机游戏产生的市场价格回报没有显示出显著的自相关性。两条绿线代表0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 50.01e-05 1e-03 1e-01归一化r（t）累积分布图5：幂律函数（红线）比指数函数（绿色虚线）更能反映正回报的累积分布。这些结果来自于对10次模拟产生的249327个数据的“幂律”分析。发送高斯随机游动的95%置信区间。相关性在τ>13.3.4的置信区间内衰减。波动率自相关的缓慢衰减与收益率自相关的快速衰减相比，绝对收益率（波动率）的自相关函数作为时间间隔τ的函数缓慢衰减，由ρv（τ）=Corr（| r（t+τ）|，| r（t）|）定义。（14） 先前的经验研究表明，ρv（τ）的衰减似乎大致服从幂律[1，3]或对数律[50]；关于衰变ρv（τ）的函数形式，文献中没有达成一致意见【51】。

这种幂律行为也需要Clauset等人最近的统计技术来重新检验-0.2-0.100.10.20 5 10 15 20 25 30ρr（τ）τ图6：价格收益的自相关比波动率的自相关衰减更快。它以14个时差进入噪声区（绿线之间）。该结果是50000个时间步的100次模拟试验的平均结果。衰变可以解释为长程依赖（长记忆）的迹象，导致波动性根据其大小聚集在一起。图7显示了与图6中使用的数据集相同的绝对返回值的100次试验平均自相关。该图表明，直到τ=10，相关度仍为正，然而，ρv（τ）以指数形式衰减：6.0×10-3对于τ≤ 100，这与真实数据的统计分析具有可比性。例如，绝对收益自相关的衰减指数为5.0×10-3黄金（每日指数：1978.12.29–2018.8.10）和7.0×10-3对于IBM股票（每日价格：1962.1.2–2018.8.17）。3.5. 交易量/波动性相关性众所周知，交易量与所有波动性指标呈正相关[52，53]，这意味着价格波动越大，交易量越大。通过允许数量可变的订单，投机博弈使我们能够表达任意时间范围内平均交易量和波动率之间的相关性。当时的买卖订单总量10-410-310-210-1100100101102103ρv（τ）τ10-210-1100100101102图7：波动率自相关的缓慢衰减。

插图：前100个时滞衰减可以回归为指数函数：ρv（τ）=0.2853e-0.006τ，如绿线所示。步骤t，Qbuy（t）和Qsell（t）分别计算为Qbuy（t）=NXi=1qi（t）δai（t），1，Qsell（t）=NXi=1qi（t）δai（t），-1，（15）其中广义Kronecker三角洲定义如下：δai（t），1=0（ai（t）6=1）1（ai（t）=1），δai（t），-1=0（ai（t）6=-1） 1（ai（t）=-1). （16） 时间尺度的平均交易量hV（t）it可以如下计算：hV（t）i=max{hQbuy（t）i，hQsell（t）i}，（17），其中hi表示给定时间尺度上的平均值。图8是平均交易量和平均波动率之间的散点图t=5，数据集与图2相同。该图显示了它们与系数Corr（hV（t）i，h | r（t）| i）0.84的强相关性，显示了投机游戏再现一个主要程式化事实的能力。请注意，随着t褶皱。0 0.01 0.02 0.03 0.04 0  1500  3000  4500  6000  7500  9000|r（t）|V（t）图8：平均交易量与投机博弈波动率之间的正相关关系。3.6. 聚合高斯分布作为时间尺度，收益分布接近高斯分布t、 在计算收益的基础上，增加了[42、54、55]。换句话说，在不同的时间尺度上，分布的形状并不相同。峭度过剩可以用来定量描述高斯分布形式的差异。假设按时间尺度计算的回报率t是r（t，t） ，其峰度κ(t） 使用其标准偏差σ定义如下(t） ：κ(t） =h（r（t，t）- hr（t，t） i）iσ(t）- 3.（18）κ的正值越大(t） 这意味着收益分布的峰值更陡峭，尾部更丰满。

因此，聚集高斯性可以解释为峰度κ(t） 随着时间的推移而减少t增加。图9显示了通过应用不同的时间尺度来计算回报的平均峰度变化（超过100次试验）。在图9中，κ(t） 倾向于随着时间尺度的增加而减少，这似乎与观察到的收益分布在L'evystable制度之外有一个幂律尾一致。0510152025301 5 10 20 40 80 160 320 640 1280κ（Δt）Δt图9：在投机博弈中恢复聚集高斯性。每组数据t=5，10，····，1280是根据对于50000个时间步长，t=1。虽然结果表明投机博弈具有复制聚集高斯性的能力，但当t型≤ 20其中κ(t） 甚至可能增加100次试验平均值。请注意，在短时间尺度内，聚合高斯性的丧失不仅是该模型中出现的一种现象，也是真实市场中的一种观察结果[56]。事实上，Johnson等人指出t型≥ 通常需要60分钟才能将收益率的概率分布近似为高斯分布。这是因为i.i.d.（独立且同分布）回报和有限方差的假设在短时间尺度内不成立。3.7. 条件重尾GARCH型模型也可以在一定程度上恢复波动率聚集现象。

然而，即使在对波动性聚类的收益率进行校正后，剩余时间序列的概率分布仍然具有AVY尾部，这些尾部被定义为条件重尾，并且比原始收益分布中的尾部要轻【1】。在GARCH（p，q）过程中，用波动率σtas描述的回报率RTI如下[2]，rt=σttσt=a+qXi=1airt-i+pXj=1bjσt-j、 （19）其中p和q是非负整数，a>0，ai≥ 0（i=1，···，q），bj≥ 0（j=1，·p），和t型~ i、 i.d.N（0，1）。为了减少条件重尾，在GARCH框架中引入了各种类型的重尾分布，如Student t分布[57]、广义误差分布（GED）[58]等。投机博弈的价格收益具有条件重尾。图10显示了使用与图2相同的数据集（红色方块）的归一化收益分布，以及使用GARCH（1，1）模型（蓝色圆圈）对高斯（绿线）的残差分布。剩余分布的尾部比高斯分布的要粗，但比收益分布的尾部要细。10-510-410-310-210-1100-6-3 0 3 6概率分布残差，归一化r（t）归一化r（t）残差美国图10：从投机博弈中产生的价格回报分布观察到的条件重尾。3.8. 时间尺度上的不对称时间尺度上的对称性是一个与不同时间分辨率的波动性相关的特征。特别是，粗粒度波动率比其他方法更好地预测最终规模的演变，这表明价格信息从粗粒度波动到最终规模。时间尺度上的不对称性由两个时间分辨率之间的时滞τ的超前-滞后相关性来描述。