贝叶斯非参数自适应谱密度估计

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英文标题：
《Bayesian Nonparametric Adaptive Spectral Density Estimation for
  Financial Time Series》
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作者：
Nick James, Roman Marchant, Richard Gerlach, Sally Cripps
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Discrimination between non-stationarity and long-range dependency is a difficult and long-standing issue in modelling financial time series. This paper uses an adaptive spectral technique which jointly models the non-stationarity and dependency of financial time series in a non-parametric fashion assuming that the time series consists of a finite, but unknown number, of locally stationary processes, the locations of which are also unknown. The model allows a non-parametric estimate of the dependency structure by modelling the auto-covariance function in the spectral domain. All our estimates are made within a Bayesian framework where we use aReversible Jump Markov Chain Monte Carlo algorithm for inference. We study the frequentist properties of our estimates via a simulation study, and present a novel way of generating time series data from a nonparametric spectrum. Results indicate that our techniques perform well across a range of data generating processes. We apply our method to a number of real examples and our results indicate that several financial time series exhibit both long-range dependency and non-stationarity.
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中文摘要：
在金融时间序列建模中，区分非平稳性和长期依赖性是一个长期存在的难题。本文使用一种自适应谱技术，以非参数方式联合建模金融时间序列的非平稳性和相关性，假设时间序列由有限但未知数量的局部平稳过程组成，其位置也未知。该模型通过在谱域中建模自协方差函数，允许对依赖结构进行非参数估计。我们所有的估计都是在贝叶斯框架内进行的，在这个框架中，我们使用了一个可逆跳马尔可夫链蒙特卡罗算法进行推理。我们通过仿真研究了估计的频率特性，并提出了一种从非参数谱生成时间序列数据的新方法。结果表明，我们的技术在一系列数据生成过程中表现良好。我们将我们的方法应用于一些实际例子，结果表明，一些金融时间序列同时表现出长期依赖性和非平稳性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Papers on all aspects of machine learning research (supervised, unsupervised, reinforcement learning, bandit problems, and so on) including also robustness, explanation, fairness, and methodology. cs.LG is also an appropriate primary category for applications of machine learning methods.
关于机器学习研究的所有方面的论文（有监督的，无监督的，强化学习，强盗问题，等等），包括健壮性，解释性，公平性和方法论。对于机器学习方法的应用，CS.LG也是一个合适的主要类别。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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关键词：贝叶斯 谱密度 非参数 stationarity Applications

金融时间序列的贝叶斯非参数自适应谱密度估计Nick James1 Roman MarchantRichard GerlachSally Cripps1抽象范围依赖性是金融时间序列建模中的一个难点和长期存在的问题。本文使用了一种自适应谱技术，该技术在一个非参数有限但数量未知的局部平稳过程中联合建模金融时间序列的非平稳性和相关性，这些局部平稳过程的位置也是已知的。该模型通过在谱域中建模自协方差函数，允许对依赖结构进行非参数估计。我们所有的估计都是在aBayesian框架内进行的，在这个框架中，我们使用可逆的Jump马尔可夫链蒙特卡罗（RJMMC）算法进行推理。我们通过模拟研究研究了估计的频率特性，并提出了一种从非参数谱生成时间序列数据的新方法。结果表明，我们的技术在一系列数据生成过程中表现良好。我们将我们的方法应用于许多实际例子，我们的结果表明，几个金融时间序列同时表现出长期依赖性和非平稳性。1、简介自worldcult任务放松管制以来，金融时间序列的波动性建模一直是备受关注的主题。第一个金融时间序列通常是非平稳的，atic。其次，即使是平稳的金融时间序列也表现出非标准特征，如波动率聚类（Mandelbrot，1963）和相关峰度。第三，信号噪声比很高，因此很难检测出任何潜在的趋势。

本文的主要贡献是在谱域中捕获和区分时间序列数据的特征，如非平稳性和长期相关性，并将这些特征的估计与使用参数时域模型获得的估计进行比较。金融市场波动性时变性质的模型始于Engle（1982），他引入了AuBollerslev（1986），并将该模型扩展到更为简约的广义ARCH（GARCH），而Taylor（1982；同一时期）。这些第一代波动率模型是条件高斯模型，具有动态波动性财务回报序列。Bollerslev（1987）允许不断提高这方面的水平。观察到的财务回报的各种显著特征，例如杠杆效应，即下跌时的波动性高于上涨时的波动性，以及非平稳方面，包括回报的条件分布的时变性质和可能的结构突变成分，在随后的扩展GARCH模型inGJR GARCH（Glosten et al.，1993）中得到了考虑，T-GARCH（Zakoian，1994）和T-SV（So等人，2002）模型，都试图捕捉杠杆效应；以及通过马尔可夫切换GARCH（MS-GARCH）（Cai，1994；Hamilton&Susmel，1994；Gray，1996；Haas et al.，2004）和MS-SV模型（So et al.，1998）。特别是对于SV模型，在不考虑潜在随机过程的情况下，概率在标准中不存在。随着高频数据变得越来越复杂，允许将已实现的测量作为输入，从而推动了Hwang&Satchell（2007）的研究。最近，Hansen等人测量。

所有这些模型都对金融时间序列噪声分布的分布贝叶斯非参数自适应谱密度估计进行了假设，并具有波动性演化的参数表示，尽管一些方法如果模型的参数形式与数据生成过程的基本现象不相似，它的性能将很差。通过光谱密度可以追溯到20世纪50年代（Whittle，1957）。然而，尽管Chaudhuri&Lo（2015）指出了这样做的几个吸引人的理由，但它并不经常适用于金融时间序列。首先，研究证券收益过程中的频率成分可以推动价格变动。其次，由于投资时间的特殊风险可以在投资组合构建决策中考虑。第三，频域分析还可以比较在不同时间尺度上运行的策略，以及在不同时间尺度上运行的策略。最后，频域测量为金融市场可能呈现的复杂周期动力学提供了更易于理解的表示。tral分析，尤其是用于估计时变光谱的局部平稳性参数方法的概念。回到时域。这使我们能够比较时间dostyle模型，我们假设数据生成过程是局部平稳过程的位置。选项3显示了对模拟和真实数据的验证。最后，第4节从我们的实验中得出结论。模型、先验和估计2.1。非平稳过程的模型{yt}t=1，。。。，Ta Dahlhaus局部平稳演化过程f（ν，t）假设时间序列由kPiecewise站NSS=1，KKξK=（ξ0，K，ξ1，K…ξK，K），其中ξ0，K=0，ξK，K=Tso，其设定值为{t；ξs-1+1<t<ξs}如中所示（Rosen等人，2012年）。

因此，我们可以重写yt=KXs=1y（s）tδ（t，As，K）（1），其中δ（t，As，K）=1，ift∈ Asandδ（t，As，K）=0y（s）t过程，fors=1，K、 每个都具有光谱密度fs，K（ν）。实现的联合概率密度函数y=（y，…，yT），给定单个谱K=（f1，K（ν），fK，K（ν）），分段数sk，和分割点ξKisp（y | fK，K，ξK）=KYs=1pyξ（s-1，K）+1，yξ（s，K）| fs，K（ν）(2)2.2. 优先级2.2.1。对于谱的先验知识，由K分段定义的分区及其响应ξKys）估计ν的未知谱K（ν）∈ (0.5, 0.5).fs，K（ν）估计时间序列的自协方差结构，给出了一个问题。实际上，将协方差估计问题转化为均值估计问题，这是一个更为节约和易于处理的问题。为详细说明，定义长度为ns的段s的离散傅立叶变换（DFT），频率为νkto bexs（νk）=√nsnsXt=1yt+ξs-1+1×（3）（cos（2πνkt）- i sin（2πνkt）），其中νk=k/nsk∈ {0，1，…（ns）- 1)}. 设频率νk，I（νk）处的周期图为DFTIs（νk）的平方模=xs（νk）(R)xs（νk）. （4） 金融时间序列的贝叶斯非参数自适应谱密度估计Whittle（Whittle，1957）表明，分布xs=（xs（ν），xs（νns））条件是复法线，因此xs~nsYk=1πfs（νk）exp-Is（νk）fs（νk）. （5） 这种表示法表明，theIs（νk）是i.i.d.with is（νk）~ exp（fs（νk））和thereforelog（Is（νk））=log（fs（νk））+kk~ log（exp（1））（6）Lettingws（νk）=log（Is（νk）），gs（νk）=log（fs（νk）），我们有ws（νk）=gs（νk）+k、 （7）在未知函数（νk）上放置先验，我们degs（νk）=αs0+hs（νk），并放置高斯过程先验（νk）1990）。具体而言，我们假设hs（νk）=τsW（νk）（8）或等效地，hs=（hs（ν）。

，hs（νns））~ N0，τsOhm（9） 其中W（.）是一个维纳过程，τsis是一个平滑参数，它是Ohm,ωij=cov（hs（νi），hs（νj））=min（νi，νj）。为了计算方便，我们通过对Ohm = QDQ。具体而言，我们将x=QD1/2作为设计矩阵和βs~ （0，τsIns）是回归系数的向量，因此hs=Xβ是所需的分布。我们遵循Wood et al.（Woodonly）的方法，仅针对与30个最大特征值相对应的基函数，以提高计算速度。2.2.2.对于分割段K和分割点，ξK，givenK，优先于分割Pr（K，ξS）=Pr（ξS | K）Pr（K）ξS，Kis，如下所示；Pr（K）=S（10）SKξKdiscrete统一先验，因此Pr（ξK | K）=K-1Ys=1Pr（ξs，K |ξs-1，K），（11）其中pr（ξj，m=t | m）=1/ps，K，fors=1，K- 1，ps，Kis分区点ξs，Kand的可用位置数等于toT- ξs-1，K- （K）- s+1）tmin+1。QuantitytMini是用户选择的数字。它代表了Whittle似然近似值。在本文中，我们将其设置为50，但我们注意到这是一个误判，事实上，有大量文献讨论了Whittle近似的质量。由于分区点上至少有ttminobservations，下一个分区点同样可能出现在任何可用位置，再次受到相同的约束，详情请参见（Rosen et al.，2012）。2.3. 时间数据的生成本文的贡献是使用（Rosen et al.，2012）中估计的时变谱生成时间序列，而不假设时域数据生成过程。

这是通过一个结果实现的，即过程实现的DFT大约正常地大于2，是绝对可和的（Brillinger，1975）。Letxr=（x（0，r）。。。，x（ns-1，r）），xi=（x（0，i）。。。，x（ns-1，i）），sns。零均值过程中这些量的分布为：；x（0，r）~ N（0，fs（ν））x（0，i）~ δ（0）x（1:ns-1，r）~ N0，fs（ν1：ns-1)/2x（1：ns-1，i）~ N0，fs（ν1：ns-1)/2式中δ（.）是Dirac delta函数。如果n为偶数，则x（ns，r）~ N0，f（νns/2）x（ns，i）~ δ(0) .为了确保对称性，我们设置x（n+1:n-1，r）=x（n-1： 1，r）x（n+1：n-1，i）=-x（n-1： 1，i），金融时间序列f（ν，t）ξs的贝叶斯非参数自适应谱密度估计-1，S<t≤ ξs，Swe generatexrandxind formx=xr+ixian，并应用逆DFT从非平稳过程生成时间序列对应域实现。2.4. 估计在本文中，我们采用贝叶斯方法，通过其后验均值[f（ν，t）| y]=SXK=1p（K，t）Xj=1{f（ν，t）| y，K，ξK）}×Pr（ξS | K，y）Pr（K | y），其中和在所有可能的分区上并且[f（ν，t）| y，K，ξK]=（12）ZE[f（ν，t）| y，K，ξS，FK]p（FK | y，K，ξK）dFK。我们使用可逆跳跃MCMC（RJMMC）来执行所需的跨维积分，详情请参见（Rosen et al.，2012）。3、实验本节验证了使用更灵活、自适应的非参数模型来估计金融时间序列的频谱及其波动性。实验设置如下，我们使用已知的生成过程和2002-2018年纳斯达克指数和2010-2018年英镑兑美元的数据，评估不同技术的拟合优度。第3.1节详细介绍了已知时变光谱密度的数据生成过程和结果评估。第3.3节显示了纳斯达克指数和英镑兑美元的汇率。3.1.

模拟数据返回和波动性，就模型恢复真实数据生成过程的能力而言，我们使用三种时间序列模型模拟数据。第一个模型是流程。第二个模型是一个制度转换GARCH（1,1）过程（Haas等人，2004；Ardia，2016），第三个模型是Rosen等人（2012）的AdapteSpec模型。YT给出了GARCH（1,1）模型1d的数据生成过程~ N（u，σt）（13）σt=α+αηt-i+βσt-1，（14）式中ηt-1=yt-1.- u. 我们设置u=0，α=1，α=0.1，β=0.1。，因此，过程在无条件方差下是平稳的，σuc=α（1-α-β). 图1a显示了样本光谱，图1d显示了相关的实时实现。我们生成数据的第二个模型是区域切换GARCH模型1e，如（Ardia，2016；Haaset al.，2004）。指定允许regimeswitching的模型是解释非平稳性的一种方法。对于时间t中的每个点，潜在状态变量stfort∈ {1，2，…，T}决定了观测产生的区域。LetPr（st=j | y）是由regimej，forj=1，…，生成时间t的观测值的概率，NR，其中NR是可能的政权数量。我们的制度转换模型如下（Bauwens et al.，2014；Haas et al.，2004）yt | st=j~ Nuj，σjt（15） σjt | st=j=α0，j+β1，jσt-1+α1，jηt-1（16）对于我们的模拟，我们设置NR=2。定义KR为该制度产生的细分市场数量，因此KR≥ n.状态开关的位置由切入点SC=（c，…，cKR）确定。Letr=（r，…，rKR）是一个指示向量，表示生成K段数据的状态，因此Rk=j，如果K段=3c=（1000，3000，5000）和r=（1，2，1）。在我们的区域切换模型中，我们的参数集是，α0,1=1，α1,1=0.1，β1,1=0.1，α0,2=1，α1,2=0.3和β1,2=0.2。现在描述生成数据的第三个模型。

使用（Rosen et al.，2012）中的模型，我们获得了2002年至2018年3月纳斯达克每日收益率局部平稳过程数量的后验模式估计值，用^KNAD表示，以及对应于DFT、xs、randxs的实部和虚部分的谱的后验平均值的估计值，分别是长度、^KNAD、，然后应用逆DFT获得50个时间序列，Y每小时长度，^KNAD，fors=1，^KNADas描述了第2.3节。将这些^KNADtime序列串联起来，从而获得了50个长度为1ns^KNAD的非平稳过程的实现。处理GARCH、政体和AdapteSpec。3.2. 衡量绩效的指标和AdapteSpec模型我们使用均方误差（MSE）和对称Kullback-Liebler（SKL）散度。金融时间序列的贝叶斯非参数自适应谱密度估计（a）GARCH对数谱（b）区域对数谱（c）AdapteSpec对数谱（d）GARCH时间序列（e）区域时间序列（f）AdapteSpec时间序列图1。光谱和示例实现。我们将数量定义如下SKL=TXt=1T-1Xk=0f（νk，t）logf（νk，t）^f（νk，t）+^f（νk，t）log^f（νk，t）f（νk，t）MSE=TXt=1Xk=1（νk，t）-f（νk，t））f（ν，t）^f（ν，t）是对该真谱的估计。在下面的内容中，我们使用subscriptsG、R和ad分别指代GARCH、region和adaptespec模型。

用于生成数据的真对数频谱图（ν，t）、fR（ν，t）和FAD（νt，t）以及实现示例如图1所示。三个估计器的log（SKL）和log（MSE）的箱线图以及所有三个数据生成模型都出现在三个估计器的SKL和MSE的值中，这三个估计器的值非常大。正如预期的那样，当数据从特定模型生成时，从假设特定模型提供最佳拟合的方法中获得的估计值（制度模型在某些情况下除外，稍后将讨论）。然而，曲线图还表明，当数据由GARCH或制度模型生成时，从AdapteSpec模型获得的估计值在不需要灵活性的情况下使用了灵活性模型。当数据为genOur使用模型的经验（Ardia，2016）时，制度模型的性能表明，这是一个过度识别的问题。如果一个GARCHmodel模型是真的，但有人使用一个制度转换模型来估计频谱，其中制度的数量是可以恢复真相的国家。虽然这不一定会对估计的收益率造成问题，也不一定是因为存在于特定制度中的概率每天都会突然变化。这些估计概率反过来对特定类型的GARCH模型的规格非常敏感。金融时间序列的贝叶斯非参数自适应谱密度估计（a）GARCH生成的数据（b）制度生成的数据（c）AdapteSpec生成的数据图2。三个估计器的对数（SKL）偏差箱线图，来自每个过程产生的50个实现。（a） GARCH生成的数据（b）区域生成的数据（c）AdapteSpec生成的数据图3。