吸引力与说服力

根据这一解释，我们的模型表明，尽管事先存在同质性，但设计分散仍然可能出现。A第3、4和5节证明A。引理3.2的证明这是引理a.1的特例，因此省略。A、 2命题3.3的证明该命题是定理4.3的特例；speci公司凯利，引理4.1的情况（iii）。A、 引理3.4证明。（i） 原子的存在还有那个(;)=1从（2）开始。原子的大小至少是/(1-). 通过（1），=(1-())×(-)()/(1-()).因为括号中的术语不大于1-, 我们有1个-()≥/(1-).（ii）分配给在后验概率上，隐含e的平均值目标值分布(·;)是(;)=-(;)=-()-1.=-(+-)=.我们获得通过部分积分的rst等式和通过DEE的第二等式起始日期(·;)（由（2）给出）。第三个等式使用保留值等式（1），这意味着()=+-. ■A、 4引理证明3.5防止。采取混合策略∈Δ（F）ofrm. 允许()≡({∶()≤})是保留值的隐含分布。允许(·|)∈Δ（F）是纯策略的条件分布诱导给定的保留值∈,.此外，dene，每个∈,, (;)≡()(|)后验概率分布条件分布的存在是Radon-Nikodym定理的结果，例如，参见Billingsley（1995）第33节。保留值.

e目标值分布(;)诱导人然后可以表示为(;)=Pr（最小值{,()}≤)=[()≤]+()[()>]()=()+()(|)(;)().相反，给定保留值分布∈Δ,和一个可行的后验分布(·;)∈每个保留值的F关于支持, 可以构建相应的混合策略∈Δ（F）由()=∩{(·;)∶∈支持{}}()对于每个FBorel可测量。■A、 5引理证明4.1防止。这里有一个证明路线图：1。权利要求A.1消除了e原子的可能性ective值不是0或.2、权利要求A.2确定了, 可能性rms提供完整信息。3、权利要求A.3得出speci公司引理陈述中的ed和veri这是可行的。权利要求A.4揭示了均衡支付的必要（弱）凹性 函数在[0，].5、权利要求A.5辩称，均衡支付 函数不能严格凹。6、权利要求A.6确定了均衡支付 函数不能是分段线性的。权利要求A.7揭示了e上的平衡分布目标值。权利要求A.1（除可能在0和/或). 在任何对称平衡中rm\'se公司目标值分布没有原子，除了0和. 因此，预期支出 面对个人rm, 作为其实现e的函数目标值, 采用以下形式∏(;)≡()-1，如果=0()-1，如果∈(0,)lim公司′→-1.-(′)(1-(′)), 如果=. (1） 证明。请记住，e目标值分布使用Armstrong（2017）和Choi et al.（2018）的离散ChoiceFormulation导出，其构造在引理3.5中进行了解释。认为有一个原子0,.

我们证明了∏的最佳响应(·;)不会产生任何正质量. 命题3.6暗示了对∏的最佳反应(·;)将正质量置于除非有>使得∏(;)=Π(;), 或者如果是最佳保留值。首先，一个原子在暗示∏(;)<lim公司→+Π(;).因此，∏(;)<Π(;)对于所有人>, 所以在每个保留值∈,, 在e处分配正质量是次优的目标值（回忆一下凹面第3.3.1节的阳离子法）。因此∏(;)必须是连续的∈(0,].下一个也不能是最佳保留值。要看到这一点，请回忆一下最大支付额给定保留值是()=1.-1.-×Π(();)+1.-×Π(;).像≠, ()∈(0,], 我们从上面知道Π(·;)持续时间为(). 这加上(·)暗示Π(();)持续时间为=. 原子在暗示∏(;)<lim公司→+Π(;); 因此，()<lim公司→+(). ■回想一下≡(1-lim公司→-())/是概率rmoers完整信息。索赔A.2（确定). （i） 如果≥, 对称平衡=1.（ii）如果∈,, 对称平衡由（6）确定。（iii）如果≤, 对称平衡=0.证明。如果对方rm以概率选择完整信息, 一rm的付款 从fullinformation是Π;+(1-)Π(0;)=, 如果=0-(), 如果∈(0,1), 如果=1，其中()≡(1-)-((1-))-(1-). 以下观察结果将非常有用：rst、0和1都是的根. 第二′′()>0<=><+-2(1-)-2.-1，所以′′changessign最多一次，更改只能从正到负。第三′()=1-和′()=1-(1-)-1、在特殊情况下=2和===1/2，arm\'spayo酒店 从完整信息中，1/2是另一个rm的选择.

这就产生了文本中描述的多重性。对于其余的证明，假设≥3.（i）出租≥. 如果=0，全部信息支付 是, 超过1/无论何时≥.因为≥, ′（）<0和′()≥0.因为′′只更改一次标志，′只能更改符号一次（从负到正），依此类推()<0适用于所有人∈(0,1). 这将产生完整的信息支付 超过1/, 这是不可能的。因此必须等于1。（二）出租∈,. 再次，如果=0完整信息支付 是>1/, 这是不可能的。=1均衡也是不可行的，因为它意味着完全的信息支付 共1个/, 这远远低于无信息支付 共（1）个-)-1无论何时<. 这将离开∈（0,1）为唯一可能。因为∈,, ′（）<0和′()<0. 像()=（）=0，连续性()意味着必须存在内部根。此外，作为′′()仅更改符号一次，最多存在一个间隔′()是积极的。的内部根()isthus独特，以及()=0等于（6）。（三）出租≤. =1在均衡状态下是不可能的，因为这意味着完全的信息支付 共1个/,严格低于无信息支付 共（1）个-)-1无论何时≤<. ≤暗示′()≥0和′()<0; 因为′′仅更改一次标志′此外，只更改一次标志。像()=()=0, ()>0适用于所有人∈(0,1). 因此，一个均衡不可能有一个anonzero; 否则，全部信息支付 低于1/, 矛盾。这将离开=0作为平衡的唯一可能性。■索赔A.3（确定). 在任何具有线性支付的对称均衡中 函数的值是支持()/, 按规范在引理的陈述中。此外是可行的。证据的情况≥是即时的，所以我们关注另外两个案例。如果≤, 权利要求A.2规定=0

此外，由于线性支付 面向每个功能rm表示付款 共1个/在平衡时，我们必须有∏(;)=1/. 只有当=. 显然≤担保≤.最后，如果∈,, 权利要求A.2规定∈(0,1). 同样，平衡支付 是1/需要∏(;)=1/和∏(;)-lim公司→0+Π(;)=Π;-lim公司→0+Π(;),重新排列后得到（7）。需要说明的是介于和.≥相当于-1.≤(1-)-1，紧随其后的是<和∈(0,1).直截了当的代数揭示了≤等于（1-)-1.≤/+(1-). 像和由（6）关联，最后一个不等式等于要求所有∈(0,1),-1+(1-)-1.-(1-)--1+(1-)-1.-(1-)≥0。要显示这一点，请表示()≡-1+(1-)-1，以便范围为--1,1. 通过变量的这种变化，上述不等式可以表示为()≡--1.-1.-1.--1(-1.-1)≤共1人∈--1,1.显然′()等于-(-2)-1+(-1)-2.-1，这显然是消极的<1，因为它在等于0at=1、因此，()≤--1.=1.■接下来，我们采取建立平衡点必要线性的第一步 函数∏(;), 通过证明它在区间[0]上一定是弱凹的，].索赔A.4。认为<. 每个rm可以获得均衡支付 由o没有任何信息。此外，∏(;)在区间[0，].证据证明rst语句，it suces显示∏(;)=1/处于平衡状态。应该不会。必须在inf中找到原子支持()∩,, 与∏相矛盾(;)没有内部原子。第二个语句相当于∏(;)=Π(;)对于所有人∈(0,]. 假设相反，有一些′∈(0,)使得∏(′;)<Π(′;).

那周围一定有空旷的街区′没有最优eective value distribution指定任何正度量，并且∏(·;)必须是在这附近。As∏(′;)<Π(′;)意味着′′∈(′,]使得∏(′;)<Π(′′;), Π(·;)必须有一个混凝土跳跃（因此有一个原子）在间隔的某个地方(′,′′], 自相矛盾的索赔人。1以上。■注意∏的弱凹性的直接含义(;)在[0，]该值是否为0取决于. 建立payo的线性 功能开启0,, it sufces显示其在（0，).凹度意味着∏的左右导数(,)存在于所有点（0，)他们最多可以在许多点上意见分歧。允许≡sup{sup()∩[0,]}（注=如果∈支持()). If∏(,)在（0，], 有两种可能性：1。Π(,)是非线性的[-,]对于所有人∈(0,).2. Π(,)是线性覆盖[-,]对于一些最大∈(0,).其余的证据排除了这些可能性。扩散系数氖()≡(-(1-))/(-), 的反转(·); 然后让∈Δ,是保留值与密度的平衡分布. 下一个声明消除了rst可能性。索赔A.5。Π(·,)在某些区间上不是严格凹的[-,]. 此外，∏(·,)不能包含in任意邻域上直线段的nite序列.证据If∏(·;)在某个区间上是严格凹的[-,], 它一定在增加[-,].因此，e目标值[-,]必须在均衡分布的支持下. 此外，e目标值∈[-,]只能依靠（纯策略）e的支持带保留值的ectivevalue分布(). 因此，保留值[(),(-)]必须得到.

此外，所有保留值在[(),(-)]产生预期收益 共1个/意味着∏(·;)必然是严格对流的[(),(-)]. 因此，e中的目标值[(),(-)]仅作为保留值（而不是后验值）实现。此外，as∏(·;)是超过时[,]（如果间隔非平凡）和∏(;)=1/, 付款人 函数必须为在1处/结束[,()]; 否则，apayo 超过1/可以通过在此间隔内的某些保留值来实现。上述观察结果表明，以下情况必须成立。（一）[(),(-)]∈支持(), 和(())=0、原因如下。假设∏(;)=+-1.-/对于所有人∈(0,], 哪里=lim公司→0Π(;).如果有的话′∈,has∏(;)>+-1.-/, 然后是二进制e目标值分布{(),}实现支付 超过1/. 如果有的话′∈,has∏(;)<+-1.-/, 然后任何e具有此保留值的Objective valuedistribution无法生成付款 小于1/因此不能依靠.因为没有内部原子，一定是在上′,, 与de相矛盾起始日期.（ii）任何保留价值 ∈[(),(-)]由（唯一最优）二进制实现上支持的ective值分布{(),}, 各重量1-/(1-)和/(1-).（iii）保留值超出[(),(-)]将零度量值指定给e中的目标值[-,].使用（ii）和(())=Π(();)-1=Π(;)-1=-1.-1，预留值 ∈[(),(-)],()=-1+()1.-(). (2） 使用（iii），作为保留值∈[(),(-)], 我们有()-(())=(). (3） 我们可以结合三件事–i.保留价值∈[(),(-)]必须产生付款 1/,二。Π(;)=()-1对于所有∈0,, 和iii(3） –获得1.-()-1+1.-1.-(()-())-1=. (4） 使用(2), ′()=()/(1-).

Di公司二连冠(4） 关于并替换infor′, 我们获得0=()-1.-(()-())-1.-(-1)(1--)(()-())-2.-()-2.().(5） 替换=()进入(5） 给予(())=0.对于任何∈((),(-)], ()>0，所以(5） 暗示（1--)(()-())-2.-()-2>0. 重新安排(5） 收益率()()=/(-1)(1--)(()-())-2.-()-2.()-1.-(()-())-1.()≡Υ().(6） 根据L\'H^opital的规则，Υ(())=/(1-)-. AsΥ()是连续的，可以在[(),(-)]; 判定元件氖Υ≡最大值{(),(-)}Υ(). 整合(6） 在一段时间内[,(-)], 我们获得()=自然对数((-))-(-)Υ()≥自然对数((-))-Υ×((-)-).因为它的右侧是nite和处没有原子(), 拿→()产生冲突。我们可以用这个证明来排除具有in的平衡减少“扭结”点的nite序列{}这样我。→(), 二。Π(·;)在每个[+1.], 和iii.∏(·;)isnon di在每一个扭结点都是可忽略的.首先(2） 适用于所有人∈[(),]. 其次，根据上述类似论点(3） 因此(4） 保持所有扭结点。类似于(5） 可以通过减去(4） 用于从那以后+1调用中值定理如下：0≤-(-1)(1--)(1--+1)(()-())-2.-(+1)-2+((+1)(-+1))+(+1)+(+1)-1.-((+1)-(+1))-1.,哪里+表示的右导数. 两边除以(+1） ，以限制（作为→∞) 和重新安排lim+(+1)/(+1） 是有界的。另一方面，∏的线性(·;)结束[+1.]意味着()正在减少在整个时间间隔内。因此()/()≤+(+1)/(+1） 对于所有人∈(+1.). lim的有界性+(+1)/(+1） 因此意味着lim→()()/()是有界的[(),]. 如上所述，这是一个矛盾。

■我们排除∏的可能性(·;)在某个极大值上是线性的[-,][0,].索赔A.6。对于所有人∈(0,)和∈(0,-), Π(·;)线性打开[--,].证据有两种情况需要考虑：i。=和ii。<.案例一。=: 假设∏(·;)线性打开[-,], 哪里∈(0,)是最大值。我们rstexplain为什么∏(·;)必须为线性打开[-,(-)]. 表示为>0付款直线段的斜率 功能开启[-,]. 假设有一些′∈(,(-)]使得∏(′;)>Π(;)+(′-). 然后是可诱导的e使用binarysupport实现有效的值分布{(′),′}可以实现支付 超过平衡水平∏(;), 矛盾。接下来，假设有一些′∈(,(-)]使得∏(′;)<Π(;)+(′-).E目标值′无法交付平衡支付 因此，不能依赖于以下理由的支持。()可以表示为(+)-1对于某些常量和>0.因此，′()=(+)--2.-1/(-1). 将此等同于′()=()/(1-)（召回(2） ），我们有()=(+)--2.-1(1-)/[(-1） ，这在.平衡e目标值分布. 由于没有内部原子，这意味着′≥和∏(;)<Π(;)+(-)对于所有人∈′,. 此外，由于以及∏的凹度(·;), 我们有∏(;)<Π(;)+(-)对于∈(0,-).因此，对于小于(-), 将正视图指定给e是次优的在（0，-). 这个，加上(-)>, 暗示e在区间（0，-)不能依赖于均衡分布的支持.

这个π的atness(·;)间隔（0，-)与引理A.4相矛盾。接下来，我们解释在平衡状态下，e上的目标值分布[-,(-)]是“自包含的：”任何保留值∈支持{}∩[,(-)]由e实现上支持的ectivevalue分发[-,]还有预订价值吗∈支持{}超过(-)必须通过e实现无质量的目标值分布[-,(-)].这个rst观测遵循以下最大值：; speci公司凯莉，无论如何∈(0,-), Π(;)<Π(;)+(-). 要查看第二个观察结果，请让∈支持{}某些保留值超过(-), 因此()<-. 如果其对应的e目标值分布将正质量分配给[-,(-)], 然后还必须将正质量指定给[0，()). ’s极大值表示∏(();)>Π(;)+(1-)Π(;)对于以下任意组合和因此≥-, <()和+(1-)=(). 因此，这不可能是异常的e给定的有效值分布.这些事实意味着()=-1+(-)-1用于∈[-,(-)]还有那个#()≡()-(-)((-))-(-),的条件分布∈[-,(-)], 是可诱导的。其余的证明通过证明平均条件(-)-#()=无法满足。我们的显示平均条件不可达到性的第一步是推导斜率参数的上限. 一方面∏的凹度(·;)超过（0，]意味着不能超过（1/-lim公司→0+Π(;))/. 另一方面，as∏((-);)是atmost lim→-Π(;), 不能超过lim公司→Π(;)--1./((-)-)任何一个Recalllim公司→0+Π(;)=((1-))-1和lim→-Π(;)=(1-)-1.