吸引力与说服力

上限()在斜坡上因此()≡最小值-((1-))-1.-,(1-)-1.-1.-+=-((1-))-1.-如果≤-(1-)-1.-1.-+如果>-.(7） 请注意()是非递增的.的平均条件#’s诱导率可表示为ψ(,)=0，其中ψ(,)≡(-)-#()-((-)-).直接，ψ（0，)=0和Ψ(,)=-1.---2.-1.-1.-++1.-+--2.-1..括号内的术语在, 它最多可以更改一次标志增加，变化只能从负到正。因此，ψ(,)正在增加, 或者是aU形函数(邢). 在前一种情况下，ψ(,)显然没有非零解。因此，我们关注后一种情况。It suces显示ψ((),)<0适用于所有人∈(0,).考虑一下情况≤-. 请注意()独立于（参见(7)). Ψ(（），0）=0，和Ψ((),)=-1.---2.-1.-(1-)(+)+(1-)+--2.-1..括号内的术语在增加, 所以它最多可以改变一次标志增加（从负到正）。因此ces检查ψ((*),*)<0其中*≡-.直接，ψ((*),*)=()#()--<()()-(1-)(1-)-(1-)--=最后，考虑一下案例∈-,. 使用(7),Ψ((),)=-1.-(1-)-1.--11-(+)--2.-1.(1-)-1.--1.(+)(-1)(1-)>0、看到cuto 的值与相关, 请注意是唯一的保留值，因此点（0，lim→0Π(;)),(,Π(,)), 和,lim公司→Π(;)都位于∏图上的同一条直线上(·;).在=+≡和=(),Ψ+,+=#()--<()-(1-)(1-)-(1-)--=0，自-1.-()>((1-))-1（调用de起始日期(·), 这意味着()<-1.-((1-))-1./).案例二。<: 我们从一些观察结果开始分析这个案例。

首先，as∏(·;)是超过时[,], 也必须是超过时[,()]; 否则rm可以实现A支付 超过∏(;)（通过在和()). 第二，modied凹面阳离子法告诉我们间隔中的保留值[(),(-)]必须在均衡保留值分布的支持下. 第三，（平衡）任何保留值在时间间隔内[(),(-)]只能使用ane实现目标值分布形式如下：权重/(1-)穿上, 和补充重量1-/(1-)到间隔中的值[-,]以这样的方式，条件平均值是().最后，作为最优e保留值条件下的有效值分布∈[(),(-)]必须产生平衡支付 1/, 付款人 函数∏(·;)在…上∈[-,(-)]必须采用以下形式：∏(;)=+(-), 如果∈[-,), 如果∈[,()]-(-)-(1-)-(-), 如果∈((),(-)], (8） 对于某些坡度参数>第三个观察结果告诉我们[(),(-)], 和相关人员(2).因此′()=[/(1-)]×(). 此外，使用(8), Π(;)/=(-)/.As∏(;)=()-1、我们有()=(-)/(-1)×(1-)/()-2., 所以(())=-2.-1.(-1)(1-). (9） 下面，我们推导出(3） 对于这种情况。注意，由于payo的局部线性 函数，我们无法再保证保留值∈[(),(-)]我看到这个了，是苏ces需要注意的是，不应对间隔中的任何值进行加权((),). 应该不会。那一定有一些∈((),)在∏的图上(·;),(,Π(;))位于从该连接点延伸的直线上(-,Π(;))以及(,Π(;)).

显然，保留值产生付款 严格超过∏(;), 矛盾。由二进制e唯一生成上支持的ective值分布{(),}. 尽管如此，我们仍然可以依赖上面的第三个观察结果来推导(). 允许是一个正实数。对于任何保留值∈[(),], 其对应的eective valuedistribution指定质量为1-/(1-)到间隔中的值[-,]以这样的方式，条件平均值是(). 因此，根据Bayes规则，它分配给区间以外的值的质量[()-(-()),]不能超过（1-/(1-))×(-())/[(1+)(-())].因此，对于任何∈[(),(-)],()≤()-(()-(-()))+()1.-1.--()(1+)(-())().使用(·)=Π(·;)-1和付款 speci公司阳离子(8） ，上述不等式可以重写为()-()1.-1.--()(1+)(-())()≤-1.-[(-)-(1-)-(-)]-1.--1.-(1+)(-())-1. (10） 划分的左侧(10） 根据-()并达到极限→()给予：()-()1.-1.--()(1+)(-())()=()=(())1.-(1+)1.-1.-,通过L\'H^opital规则和(·). 对的右侧执行同样的操作(10） 收益率-2.-1.-1(-)1+(1+)-1.-,再次通过L\'H^opital的规则。这些计算(9） ，和(10） 暗示≤-(1-)√+1/21+. 这减少到 ≤1+1/√-1/√2as→0.因为 ≥ 0无论何时，这都是不可能的≤√2.-1、As>√2.-1用于≥4、仍需考虑以下情况：=2和3。

为此，请注意payo的局部分段线性 功能(8） 意味着e区间上的目标值分布条件[-,(-)], 表示为#, 由给出#()≡+(-)-1.---1./, 如果∈[-,)--1.-+-1./, 如果∈[,()]--1.((-)-(1-)-(-))-1.-+-1./, 如果∈((),(-)],哪里≡--1.((-)-(1-)-(-)(-))-1.-+-1.#必须是可诱导的。必要地(-)-#()-[(-)-]=0，或Υ(,)=0，其中Υ(,,)≡-1.(--)-1.-(-)--1++1.--+-1.+-1(1-)(--)-(-)(1-)--+-++1.--+-1.-(-)(--(-))--1.Υ(,,)是线性的, 所以它是苏ces显示Υ(,,)<两个都为0=0和=-对于所有可能的和. =-减少到实际情况=以上研究。还有待分析=0.对于=2,Υ(,,0)=---+(1-)-(-+)((-)+).像≤和>0，括号中的术语为正。对于=3,Υ(,,0)=-√-+(-)+√1.-3.+(1-)-(1-)1+31.--+.括号中的术语在. 此外，de氖≡为payo直线段的垂直增量 函数∏(·;). 不能超过1/3-((1-)), 哪里是（6）的非平凡解，当=3、表示该上限为(). It suces将向所有人展示这一点≤()和≥/,Υ(,)≡+--+-√1.-3.-(1-)1+31.-<结果如下：Υ(,)/<0和Υ(/,)<0■最后，（5）和(1） 允许我们恢复e上的平衡分布目标值。索赔A.7。e上的平衡分布有效值为()=(1-), 如果=0((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.-1，如果∈0,1.-, 如果∈(,)1，如果=. (11)■A、 6引理证明4.2Proof。

因为()结束0,, it suces表明，在该地区，有一种混合策略可以匹配其密度，表示为:()=(1-)-1.-((1-))-1(-1)((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.--2.-1. (12） 为此，dene a映射∶,→[0,]通过()=(()), 哪里∶0,→R是()≡((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.-1×+(-1)(1-)-1.-((1-))-1.((1-))-1.-,和参数和符合规范引理4.1中的ed。对于每个∈,, 允许(·;)成为具有支持的二进制发行版{(),}和平均值; 然后让·;是支持的二进制分布0,和平均值. 此外，让是具有anatom的保留值分布∈[0,1]at和密度∈,具体如下：()≡(1-)-1.-((1-))-1(-1)((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.--2.-1.-()-().我们声称混合策略,(·;)∶∈,∪, (13） 生成e目标值分布（de内德在(11)).首先，我们证明e目标值分布(·;)可为每个 ∈,∪. 请注意，映射是很好的奈德：直接计算表明()严格来说，在还有那个()=. 我们需要证明这一点()≤()≡--1.--（dened第4页）。此外，请注意，因为()=(), =0=≤, 和()是递减且严格凹的ces表明()是凸面的。为此，我们对变量进行了更改：let=-, 和()=-(+).隐式de起始日期暗示(+)=(-()); 或同等地(+)-1((-1)-)=(-())-1((-1)+()), (14） 在哪里≡+((1-))-1(1-)-1.-((1-))-1、因此()<.现在()凸当且仅当′′()≤0

使用(14), ′′()≤0当且仅当′′(-())(′(-()))≥′′(+)(′(+)).导数的直接计算表明，上述不等式成立的充要条件是-()+-1.≤(-1)-()(())/(-1)+.使用(14） 同样，上述不等式等于()<.仍需验证e混合策略de隐含的目标值密度nedabove匹配项()（在中给出(12)). 观察e上述有效值在混合策略中实现为保留值(13). 对于≥, 混合策略所暗示的密度为()×-()-()=(1-)-1.-((1-))-1(-1)((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.--2.-1.-()-()×-()-()=().e以下为有效值在混合策略中实现为低后验实现。扩散系数ne by公司∶[0,]→,映射的逆. 对于≤, 混合策略所暗示的密度为-′()×()-()-×(())=-′()′(())×()-()-×(())=((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.--2.-1.((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.()--2.-1×-()-×(())=(),凭直觉，(·)表示“re第节关于根据功能.要准确了解这一点，请注意函数(+)-1((-1)-)-(-)-1((-1)+)等于0时=0并且正在增加对于所有人≥0.此外(-)-1((-1)+)正在减少对于所有人≥0.其中rst相等使用de映射的初始化, 第二个和最后一个等式使用de函数的定义和, 分别地■A、 7推论4.4证明。的情况>是平凡的，因为分布是二进制的，支持{0,1-/}.考虑下一个案例<. 如引理4.1所示，独立于, 所以它是苏ces检查cdf的连续部分和.

后者是线性的，在, 其中连续部分(11） 在. 最后，根据Choi et al.（2018）的推论1，并根据重复期望定律（因为我们是从事前的角度评估福利），消费者的事前支付 由最高e的期望值给出目标值。更糟的e经济价值分配rst顺序随机优势因此降低了消费者的事前支付. ■A、 8命题5.1证明。对于 =0，eective值只是后验值，因为任何可行的后验分布都有一个等于1的保留值。对称平衡分布ofe公司ective值在Au和Kawai（2020）中计算，并采用以下形式()=(1-)×-1，如果∈0,1.-, 如果∈,1.1，如果=1、通过对齐隐含付款的斜率 功能（π1.=Π(;)如果>0）和theBayes合理性条件(()=), 这个和可以按如下方式固定。如果≤=1/, =0和=. 如果>, 然后=(1-)-11-(1-), 哪里是唯一的解决方案（1-)=1.-.对于该案例≤, 的收敛性到*通过比较引理A.7中报告的分布与如上所述。接下来，考虑一下这个案例∈,. 具有→0, →; 因此*由给出(11） 带（1-)-((1-))=1.-, 和=(1-)-1.-((1-))-11/-((1-))-1.. 撤回索赔人的证明。2当∈,, ()≡(1-)-((1-))-(1-)为负的当且仅当小于内部根部属于. 像()<0，如下所示<. 现在，π;是完全线性的0,, 具有零垂直截距，并通过点(,1/)和,(1-)-1.; 鉴于∏(;*)是线性覆盖0,, 具有正垂直截距(((1-))-1） ，并通过点(,1/)和,(1-)-1..

因此∏;和∏(;*)在以下位置具有唯一的交点：内部e上方有效值（0,1）。像和*没有内部原子，π;=()-1和∏(;*)=*()-1用于∈(0,1). 因此和*具有独特的内部交叉点, 在那里切割*从下面。作为两者和*具有相同的平均值, 因此*是一种保持平均值的传播.的情况 ≥立即生效：*对应于完全披露，而完全是片面的。■参考B。C、 阿尔布雷希特。政治说服。Mimeo，2017年9月。马克·阿姆斯特朗。有序消费者搜索。《欧洲经济协会杂志》，15（5）：989–10242017年6月。马克·阿姆斯特朗和周继东。为突出地位付费。《经济杂志》，121（556）：F368–F395，2011年。Pak Hung Au和Keichi Kawai。多个发件人披露竞争信息。《游戏与经济行为》，119:56–782020。帕特里克·比林斯利。概率和度量。Wiley，第3版，1995年。Simon Board和Jay Lu。搜索市场中的竞争性信息披露。《政治经济杂志》，126（5）：1965-2010，2018。Raphael Boleslavsky和Christopher Cotton。评分标准和教育质量。《美国经济杂志：微观经济学》，7（2）：248–792015年4月。Michael Choi、Anovia Yifan Dai和Kyungmin Kim。消费者搜索和价格竞争。《计量经济学》，86（4）：1257–12812018。Michael Choi、Kyungmin Kim和Marilyn Pease。搜索商品的最佳信息设计。AEA文件和诉讼，109:550–562019年5月。Daniele Condorelli和Balazs Szentes。滞留问题中的信息设计。《政治经济杂志》，128（2）：681–7092020年2月。地理位置roy De Clippel，Kr Eliaz和Kareen Rozen。争夺消费者的注意力。《政治经济学杂志》，122（6）：1203–12342014。彼得是一颗钻石。价格调整模型。《经济理论杂志》，3（2）：156–168，1971年。丁玉成、张天乐。

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